人教版初三數(shù)學(xué)第10講中心對(duì)稱-教案

第十講中心對(duì)稱

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)

適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)(分120

鐘)

知識(shí)點(diǎn)1、兩個(gè)圖形關(guān)于一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱的性質(zhì)。

2、中心對(duì)稱圖形的概念和性質(zhì).

3、兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P

(x,y),關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-x,-y)及其運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)1.了解中心對(duì)稱、對(duì)稱中心、關(guān)于中心的對(duì)稱等概念。

2.理解關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)

稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分；理解關(guān)于中心對(duì)稱的兩

個(gè)圖形是全等圖形；掌握這兩個(gè)性質(zhì)的運(yùn)用.

3、理解P與點(diǎn)P'點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的橫縱坐標(biāo)的關(guān)

系，掌握P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-x,-y)的運(yùn)

用.

教學(xué)重點(diǎn)利用中心對(duì)稱、對(duì)稱中心、解決問題；中心對(duì)稱的兩條基本

性質(zhì)及其運(yùn)用.兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相

反及運(yùn)用.

教學(xué)難點(diǎn)體會(huì)從一般旋轉(zhuǎn)中導(dǎo)入中心對(duì)稱；區(qū)別關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)

圖形和中心對(duì)稱圖形；運(yùn)用中心對(duì)稱的知識(shí)導(dǎo)出關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)及其運(yùn)用它解決實(shí)際問題.

教學(xué)過程

一、課堂導(dǎo)入

1、如果將一個(gè)圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得到一個(gè)新的圖形，這樣的兩個(gè)圖形

是什么關(guān)系呢？

2、(多媒體演示62頁思考)

--理-稱一-]

?1)如圖23?21.把其中一個(gè)圖案&1S。.可白什久發(fā)熨？

23.2-123.2<2

<2>如圖23.2-2?我,&八U.X”相交于點(diǎn)C?OA(X\OBOO.

把△CX7)絳點(diǎn)。旎轉(zhuǎn)180°.你有什么發(fā)現(xiàn)？

(1)、把其中一個(gè)圖案繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。,你有什么發(fā)現(xiàn)？

(2)、線段AC,BD相交于點(diǎn)0,OA=OC,OB=OD.把^OCD繞點(diǎn)0旋

轉(zhuǎn)180。,你有什么發(fā)現(xiàn)？

B

復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

如圖，AABC繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D處，畫出旋轉(zhuǎn)后的三角

形，并寫出簡(jiǎn)要作法.

分析：本題已知旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D,且旋轉(zhuǎn)中心也已知，所以關(guān)鍵

是找出旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向.顯然，逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)都符合要求，一般我

們選擇小于180。的旋轉(zhuǎn)角為宜，故本題選擇的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向；已

知一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心，很容易確定旋轉(zhuǎn)角.如圖，連結(jié)OA、OD,則N

AOD即為旋轉(zhuǎn)角.接下來根據(jù)“任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角

都是旋轉(zhuǎn)角"和"對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等"這兩個(gè)依據(jù)來作圖即可.

作法：（1）連結(jié)。A、OB、OC、OD;

(2)分別以O(shè)B、0B為邊作NBOM=NCON=NAOD;

(3)分別截取OE=OB,OF=OC;

(4)依次連結(jié)DE、EF、FD;

即：ADEF就是所求作的三角形，如圖所示.

三、知識(shí)講解

考點(diǎn)1中心對(duì)稱的概念:

問題：作出如圖的兩個(gè)圖形繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。的圖案，并回答下列的問題：

1.以。為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180。后兩個(gè)圖形是否重合？

2.各對(duì)稱點(diǎn)繞O旋轉(zhuǎn)180。后，這三點(diǎn)是否在一條直線上？

?o

可以發(fā)現(xiàn)，如圖所示的兩個(gè)圖案繞O旋轉(zhuǎn)180。都是重合的，即甲圖與乙

圖重合，AOAB與ACOD重合.

像這樣，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖形

重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中

心.

這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn).

考點(diǎn)2中心對(duì)稱的作圖與性質(zhì):

隨便畫一三角形，以三角形一頂點(diǎn)為對(duì)稱中心，畫出這個(gè)三角形關(guān)于這

個(gè)對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形，并分組討論能得到什么結(jié)論.

畫一個(gè)三角形ABC,分兩種情況作兩個(gè)圖形

(1)頂點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形；

(2)作關(guān)于一定點(diǎn)。為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形.

第一步，畫出AABC.

第二步，以"BC的C點(diǎn)(或。點(diǎn))為中心，旋轉(zhuǎn)180。畫出和次

B'C',如圖1和用2輛.

(1)(2)

從圖1中可以得出AABC與AABC是全等三角形；

分別連接對(duì)稱點(diǎn)AA'、BB'、CC',點(diǎn)。在這些線段上且。平分這些線

段.

下面，我們就以圖2為例來證明這兩個(gè)結(jié)論.

證明：(1)在SBC和"'B'C'中，

OA=OA',OB=OB',NAOB=NA'OB'

」.△AOB孚A'OB'

??.AB=A'B'

同理可證:AC=A'C',BC=B'C

??.△ABC斗ABC'

(2)點(diǎn)A，是點(diǎn)A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180。后得到的，即線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)

180。得到線段OA',所以點(diǎn)O在線段AA'上，且OA=OA',即點(diǎn)。是線段

AA'的中點(diǎn).

同樣地，點(diǎn)。也在線段BB和CC'上，且OB=OB',OC=OC,即點(diǎn)。

是BB和CC的中點(diǎn).

因此，我們就得到

1,關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且

被對(duì)稱中心所平分.

2.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

考點(diǎn)3中心對(duì)稱圖形概念與性質(zhì)

一、作圖.（1）作出線段A0關(guān)于。點(diǎn)的對(duì)稱圖形，如圖所示

A

（2）作出三角形AOB關(guān)于0點(diǎn)的對(duì)稱圖形，如圖所示.

（3）延長(zhǎng)人0使82=人0,延長(zhǎng)B0使OD=BO,連結(jié)CD,

則ACOD為所求的，如圖所示.貝必COD為所求的，如圖所示.

二、探索

從另一個(gè)角度看，上面的（1）題就是將線段AB繞它的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,

因?yàn)镺A=OB,所以，就是線段AB繞它的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后與它重合.

上面的（2）題，連結(jié)AD、BC,則剛才的兩個(gè)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,

就成平行四邊形，如圖所示.

?.AO=OC,BO=OD,zAOB=zCOD

.,.△AOB^^COD

.1.AB=CD

也就是，ABCD繞它的兩條對(duì)角線交點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。后與它本身重合.

因此，像這樣，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形

能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的

對(duì)稱中心.

線段、平行四邊形都是中心對(duì)稱圖形外，舉出一些圖形，它們也是中心

對(duì)稱圖形.

中心對(duì)稱圖形具有什么特點(diǎn)？

——中心對(duì)稱圖形具有勻稱美觀、平穩(wěn).

考點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)：

如圖23-74,在直角坐標(biāo)系中，已知A(-3,11B(-4,0XC(0,31

D(2,2\E(3,-3XF(-2,-2),作出A、B、C、D、E、F點(diǎn)關(guān)于原

點(diǎn)O的中心對(duì)稱點(diǎn)，并寫出它們的坐標(biāo)，并回答：

這些坐標(biāo)與已知點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

畫法：(1)連結(jié)A。并延長(zhǎng)AO

(2)在射線AO上截取0A'=OA

(3)過A作AD'_LX軸于D，點(diǎn)，過A作AD"_Lx軸于點(diǎn)

???△AD'O與AA'D"。全等

??.AD'=A'D",OA=OA'

??.A'(3,-1)

同理可得B、C、D、E、F這些點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

討論：關(guān)于原點(diǎn)作中心對(duì)稱時(shí)，①它們的橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)絕對(duì)值什么關(guān)

系？縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值又有什么關(guān)系？②坐標(biāo)與坐標(biāo)之間符號(hào)又有什

么特點(diǎn)？

(1)從上可知，橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)

值相等.(2)坐標(biāo)符號(hào)相反，即設(shè)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)P'(-x,

-y)-

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，

即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)0的對(duì)稱點(diǎn)P'(-x,-y).

四、例題精折

考點(diǎn)一

例1

【題干】如圖,已知3BC和點(diǎn)0,畫出ADEF,使ADEF和AABC關(guān)于點(diǎn)0

成中心對(duì)稱.

【答案】解：(1)連結(jié)A。并延長(zhǎng)A0到D，使OD=OA,于是得到點(diǎn)A的

對(duì)稱點(diǎn)D,如圖所示.

(2)同樣畫出點(diǎn)B和點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)E和F.

(3)順次連結(jié)口￡、EF、FD.

貝必DEF即為所求的三角形.

【解析】中心對(duì)稱就是旋轉(zhuǎn)180°,關(guān)于點(diǎn)。成中心對(duì)稱就是繞。旋轉(zhuǎn)180。，

因此，我們連AO、BO、CO并延長(zhǎng)，取與它們相等的線段即可得到.

考點(diǎn)二

例2

【題干】如圖等邊3BC內(nèi)有一點(diǎn)0,試說明：OA+OB>OC.

【答案】解：如圖，把AAOC以A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。后，至必

AO'B的位置,則小08306.

??.AO=AO',OC=O'B

又??NOAO'=60°,.?.△AO'。為等邊三角形.

??.AO=OO'

在曲0,中，OO，+OB>BCT

即OA+OB>OC

【解析】要證明OA+OB>OC,必然把OA、OB、0c轉(zhuǎn)為在一個(gè)三角形內(nèi)，

應(yīng)用兩邊之和大于第三邊（兩點(diǎn)之間線段最短）來說明，因此要應(yīng)用旋轉(zhuǎn).以

A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)60。，便可把OA、OB、0C轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形內(nèi).

考點(diǎn)三

例3

【題干】如圖，矩形ABCD中,AB=3,BC=4,若將矩形折疊，使C點(diǎn)和A

點(diǎn)重合，求折痕EF的長(zhǎng).

【答案】解：連接AF,

???點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為EF,即EF垂直平分AC.

.-.AF=CF,AO=CO,zFOC=90°,又四邊形ABCD為矩形，zB=90°,

AB=CD=3,AD=BC=4

設(shè)CF=x,則AF=x,BF=4-x,

由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52

.-.AC=5,OC=-AC=-

22

?.AB2+BF2=AF2/.32+(4-x)=2=x2

25

.?.X=—

8

?.zFOC=90°

.-.OF2=FC2-OC2=(—)2-(-)2=(—)20F=—

8288

同理0E=—,即EF=OE+OF=—

84

【解析】將矩形折疊，使C點(diǎn)和A點(diǎn)重合，折痕為EF，就是A、C兩點(diǎn)關(guān)

于0點(diǎn)對(duì)稱，這方面的知識(shí)在解決一些翻折問題中起關(guān)鍵作用，對(duì)稱點(diǎn)連線

被對(duì)稱軸垂直平分，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為中垂線性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，求線段長(zhǎng)度

或面積.

五、課堂練習(xí)

1.如圖，已知AD是3BC的中線，畫出以點(diǎn)D為對(duì)稱中心，與MBD成中

心對(duì)稱的三角形.

【答案】解：(1)延長(zhǎng)AD,且使AD=DA',因?yàn)镃點(diǎn)關(guān)于D的中心對(duì)稱點(diǎn)

是B(C'),B點(diǎn)關(guān)于中心D的對(duì)稱點(diǎn)為C(B')

(2)連結(jié)A'B'、A'C.

則AABC'為所求作的三角形，如圖所示.

【解析】因?yàn)镈是對(duì)稱中心且AD是AABC的中線，所以C、B為一對(duì)的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)，因此，只要再畫出A關(guān)于D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.

2.在圓、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形等圖形中，是中心

對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是________.

答案：平行四邊形

解析：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形；

矩形、菱形、正方形即是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形;

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形。

3.如圖，正方形O