概率與統(tǒng)計類解答題

規(guī)范答題系列六

概率與統(tǒng)計類解答題

例（2021.濟(jì)南一模）（12分）某機構(gòu)為研究考生物理成績與數(shù)學(xué)成績之間的

關(guān)系，從一次考試中隨機抽取11名考生的數(shù)據(jù)，統(tǒng)計如下表:

數(shù)學(xué)

4665798999109110116123134140

成績X

物理

505460636668070737680

成績y

（D由表中數(shù)據(jù)可知，有一位考生因物理缺考導(dǎo)致數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常，剔除該組數(shù)

據(jù)后發(fā)現(xiàn)，考生物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)這10

組數(shù)據(jù)建立y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程，并估計缺考考生如果參加物理考試可能取

得的成績；

（2）已知參加該次考試的10000名考生的物理成績服從正態(tài)分布Na,內(nèi),用

剔除異常數(shù)據(jù)后的樣本平均值作為〃的估計值，用剔除異常數(shù)據(jù)后的樣本標(biāo)準(zhǔn)差

作為。的估計值，估計物理成績不低于75分的人數(shù)Y的期望.

附：參考數(shù)據(jù)：

1111111111-

口］E（V-y）22586

i=1i=1i=1i=1i=18326

11106606858612042647700.31

上表中的方表示樣本中第i名考生的數(shù)學(xué)成績,V表示樣本中第i名考生的物

一111

理成績，y=五￡"

i=\

參考公式：①對于一組數(shù)據(jù)Ml,M2,…，Un,其方差

]〃一]〃一

M2；②對于一組數(shù)據(jù)（MI,Vl）,（M2,02）,…，（.Un,

i=li=l

AAAA

Vn）,其經(jīng)驗回歸直線0=。+/^的斜率和截距的最小二乘估計分別為6=

n——

YjUiVi-nuv

i=1

n—

工詔-nu2

i=1

A_A_

a=v-bu③若隨機變量服從cr2）,則尸3-0</忘〃+（7）q0.683,

P（pi-+2（7）^0.955,P（U-+30^0.997.

A

解題思路（1）結(jié)合題中數(shù)據(jù)以及公式可得y=0.31x+35,將x=110代入即可

得結(jié)果；

（2）先得考生的物理成績服從正態(tài)分布N（66,92）,根據(jù)正態(tài)分布的概率特征求

不低于75分的概率，進(jìn)而可得Y的期望.

AAA

解（D設(shè)根據(jù)剔除后的數(shù)據(jù)建立的y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為y=bx+a,

1110-110

剔除異常數(shù)據(jù)后的數(shù)學(xué)平均分為—訪—=100'（1分）

660-0

剔除異常數(shù)據(jù)后的物理平均分為15-=66,（2分）

人68586—110X0—10X66X1002586

22^0.31.（3分）

貝匠—120426-110-10X100—8326

A

則*66-0.31X100=35,（4分）

A

所以所求的經(jīng)驗回歸方程為y=0.3U+35.（5分）

又因為物理缺考考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?10.

A

所以估計其可能取得的物理成績?yōu)閥=0.31X110+35=69.1.（6分）

（2）由題意,知〃=66,（7分）

1111--（660、

因為2M=28-y）2+ily2=4770+□*［亓尸=44370,所以。=

i=ii=i

、^X44370-662=兩=9,（9分）

所以參加該次考試的10000名考生的物理成績服從正態(tài)分布N（66,2）,

則物理成績不低于75分的概率約為

1-0.683

~_20.1585,(10分)

由題意可知y?5（10000,0.1585）,

所以物理成績不低于75分的人數(shù)y的期望

E（Y）=10000X0.1585=1585.（12分）

踩點得分

1.求出剔除異常數(shù)據(jù)后的數(shù)學(xué)平均分得1分；

2.求出剔除異常數(shù)據(jù)后的物理平均分得1分；

AA

3.求出經(jīng)驗回歸方程中的。和各得1分；

4.寫出經(jīng)驗回歸方程得1分；

5.將x=110代入經(jīng)驗回歸方程求得結(jié)果得1分；

6.用樣本均值估計正態(tài)分布的參數(shù)〃得1分；

7.用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計正態(tài)分布的參數(shù)。得2分；

8.根據(jù)正態(tài)分布的概率特征求得不低于75分的概率得1分;

9.判斷￥服從二項分布并求出期望值得2分.

答題啟示

概率與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析交匯的數(shù)學(xué)問題常見的主要有兩類：一類是結(jié)合

回歸分析問題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，這里需要注意非線性回

歸方程的求解思路；另一類是概率與獨立性檢驗交匯問題，這里需要注意的是進(jìn)

行獨立性檢驗時，提出的假設(shè)是兩者無關(guān).

［跟蹤訓(xùn)練］

（2021.青島二模）（12分）現(xiàn)對某市工薪階層對于“樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)

查，隨機抽調(diào)了50人，他們月收入（單位：百元）的頻數(shù)分布及對“樓市限購令”

贊成人數(shù)如下表：

月收入[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)

(百元)

頻數(shù)510151055

贊成人數(shù)4812521

(1)根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的2X2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率

不大于0.05的情況下，推斷“某市工薪階層對于'樓市限購令'的態(tài)度與月收入

以65百元為分界點有關(guān)”？

月收入不低于月收入低于

合計

65百元的人數(shù)65百元的人數(shù)

贊成

不贊成

合計

(2)若從月收入在［55,65)和［65,75)的被調(diào)查人中各隨機選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)

查，求在選中的4人中有人不贊成的條件下，贊成“樓市限購令”的人數(shù)^的分

布列及數(shù)學(xué)期望.

n(ad-6c)2

附:72=;————，n=a+b+c+d.

A(tz+b\c+d)(a+c)(Z?+d)

下表給出了％2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解(D零假設(shè)為Ho：某市工薪階層對于“樓市限購令”的態(tài)度與月收入以

65百元為分界點無關(guān).

由題意完成2X2列聯(lián)表如下：

月收入不低于月收入低于

合計

65百元的人數(shù)65百元的人數(shù)

贊成32932

不贊成71118

合計104050

（2分）

50X(3X11-29X7)2

%2=32X18X10X40「6.27>3.841=xo.os,(3分)

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們推斷冊不成立，即認(rèn)為某市工薪

階層對于“樓市限購令”的態(tài)度與月收入以65百元為分界點有關(guān)，此推斷犯錯誤

的概率不大于0.05.(4分)

(2%的所有可能取值為0,123,4,

C3C?1

P^=0)=c|XC^=T5^

*na?eg△Cgxcg3

pq=i)=-crxc^+ax-c?^=To>

0、GegaC?cicicici19

P.=2)E瓦+厘X瓦+*=后

Ged+C?CiCi17

尸儀=3)=C?C?o=90，

rZrg1

%=4)=醞?=后(7分)

44