理論力學-課件第6章

第6章

點的合成運動本章內(nèi)容

1點的合成運動的概念

2點的速度合成定理

3牽連運動為平動時點的加速度合成定理

4牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理第一節(jié)點的合成運動的概念引例圖6-1（a）所示的沿直線軌道滾動的車輪，其輪緣上的點

，對于固結(jié)在地面上的坐標系來說，其軌跡是旋輪線，但是對于固結(jié)在車廂上的坐標系來說，其軌跡則是一個圓；又如，圖6-1（b）所示的等速直線上升的直升機螺旋槳端點

，對于固結(jié)在地面上的坐標系

是做空間螺旋線運動，而對于固結(jié)在機身上的坐標系

則做圓周運動。（a）

（b）圖6-1第一節(jié)點的合成運動的概念一、動點了有效地應用點的合成運動理論，首先應明確研究對象是誰，這就是通常所稱的動點。二、兩個坐標系固結(jié)在地面的坐標系稱為靜坐標系，簡稱靜系，常用

表示；相對于靜坐標系運動的坐標系稱為動坐標系，簡稱動系，常用

表示。三、三種運動為了區(qū)分動點相對于不同坐標系的運動，我們把動點相對于靜坐標系的運動稱為絕對運動；動點相對于動坐標系的運動稱為相對運動；而把動坐標系相對于靜坐標系的運動稱為牽連運動。以沿直線軌道滾動的車輪為例，當我們研究輪緣上

點的運動時，即可選取

點為動點，靜坐標系固結(jié)在地面上，動坐標系固結(jié)在車廂上，則上述

點的平面曲線（旋輪線）運動即為絕對運動；

點相對于車廂的圓周運動即為相對運動；而車廂自身相對于地面的直線平動即為牽連運動。四、三種速度和三種加速度動點在絕對運動中的軌跡、速度和加速度，稱為絕對軌跡、絕對速度和絕對加速度。動點在相對運動中的軌跡、速度和加速度，稱為相對軌跡、相對速度和相對加速度。在動坐標系上與動點相重合的那一點（又稱重合點或牽連點）的速度和加速度稱為動點的牽連速度和牽連加速度。例如，直管

以勻角速度

在靜坐標系

平面內(nèi)繞

軸轉(zhuǎn)動，初始時位于

點的小球

以勻速

沿直管

運動，如圖6-2所示。現(xiàn)取小球

為動點，直管

為動坐標系，經(jīng)

時間，小球運動到直管的

點處，且有

，則此時動點

的牽連速度大小

，其方向與直管

垂直，指向由

轉(zhuǎn)向決定；牽連加速度的大小

，其方向指向

點。圖6-2第二節(jié)

點的速度合成定理設有一動點

按給定規(guī)律沿著固結(jié)有動坐標系的曲線

運動，而曲線

同時又隨動坐標系相對于靜坐標系運動，如圖6-3所示。圖6-3在瞬時

，動點位于曲線

上的

點。經(jīng)過時間間隔

后，曲線

隨動坐標系運動到新的位置

；同時，動點沿弧

運動到

點，則弧

即為動點的絕對軌跡。首先，動點隨曲線

上的重合點，沿弧

運動到

點；然后，動點沿曲線

，由

點運動到

點，

曲線為相對軌跡，則矢量

，

，

分別為動點的絕對位移、牽連位移和相對位移。由圖6-3可觀察到如下矢量表達式：用除上式兩端，并令，取極限，得根據(jù)點的速度定義，動點

在瞬時

的絕對速度為它的方向沿絕對軌跡

的切線。相對速度它的方向沿在點處相對軌跡的切線。牽連速度同樣，它的方向沿曲線

的切線。由上述關(guān)系，便可得到（6-4）式（6-4）表示：動點的絕對速度等于動點的牽連速度與相對速度的矢量和，這就是點的速度合成定理，即動點的絕對速度

可由它的牽連速度

與相對速度

構(gòu)成的平行四邊形的對角線來確定，如圖6-3所示。該平行四邊形稱為速度平行四邊形。在應用速度合成定理式（6-4）解題時，要注意如下兩點。（1）在選擇動點及動系時，應注意兩條原則：即動點、動系不能選定在同一物體上；動點的相對軌跡必須要明顯。（2）在三種運動及三種速度的分析中，特別要注意牽連點及牽連速度的概念和分析。例6-1直升飛機以速度

垂直降落，在直升機的正下方一軍艦以速度

直線行駛，如圖6-4所示。求直升機相對軍艦的速度。圖6-4解取飛機為動點，用

表示，則其絕對運動為垂直下降的直線運動。將動系固結(jié)在軍艦上，則牽連運動為直線平動。由于牽連運動為直線平動，所以動點的牽連速度

的大小為其方向與

同向。又由于動點的絕對速度

，則根據(jù)速度合成定理，可畫出速度平行四邊形，由此可最后確定相對速度的大小為的方向如圖6-4所示，其中。例6-2如圖6-5（a）所示，半徑為

的半圓形靠模凸輪以等速

沿水平軌道向左運動，帶動受有約束的桿

沿鉛垂方向平動。求當

時，桿

的速度。圖6-5（a）解桿

做平動，且在

點與已知運動的凸輪相接觸，故只需求桿上

點的速度。在速度合成定理的矢量式中，只有絕對速度和相對速度的大小兩個未知量，可求得取凸輪上的

點為動點，把動系固結(jié)在桿

上，如圖6-5（b）所示。圖6-5（b）由于凸輪做平動，動點的絕對運動是水平直線運動，速度的大小和方向均是已知的。牽連運動為桿

沿鉛垂方向的平動，桿上

點為牽連點，牽連速度方向已知，大小未知。相對運動即凸輪上動點

相對于桿

的運動不明顯，不能清楚地判定相對運動軌跡，自然無法判定相對速度的方向和大小，不能求解。本例的兩種解法說明，如何適當選擇動點和動系是用合成法分析問題的關(guān)鍵。在應用速度合成定理時，有下列兩點請讀者注意。（1）分析由主動件和從動件構(gòu)成的機構(gòu)時，一般取它們的連接點為動點，但動點固連于主動件或從動件應由相對軌跡能否容易被觀察而判定。（2）如果構(gòu)件

上的點相對構(gòu)件

運動軌跡易知，則動系固連于

；反之，如構(gòu)件

上的點相對構(gòu)件

運動軌跡易知，動系應固連于構(gòu)件

。當然動點和動系決不應在同一構(gòu)件上，否則就沒有了相對運動，合成法也就毫無意義了。例6-3如圖6-6（a）所示，曲柄

上一端

與滑塊鉸接，滑塊運動時帶動桿

繞

點擺動。設

，

，當

以角速度

轉(zhuǎn)動時，求搖桿

的角速度

。解圖6-6（a）取曲柄

上的

點為動點，將動系

固結(jié)在桿

上，如圖6-6（a）所示，則絕對運動為

點繞

點的圓周運動，絕對速度方向已知，大小為

；相對運動為動點沿

方向的直線運動，相對速度方向已知但大小未知；牽連運動為桿

的定軸轉(zhuǎn)動，牽連速度為桿

上與動點

相重合的點

的速度，方向應垂直于

，但大小未知。由速度矢量圖，顯然有則圖6-6（b）取

，，則

。先寫出相對軌跡方程，離散成180個點，借助計算機繪圖，以短折線代替曲線，可繪出相對軌跡如圖6-6（b）所示。第三節(jié)

牽連運動為平動時點的加速度合成定理設動點沿曲線

做相對運動，而曲線

隨動坐標系一起平動，如圖6-7所示。圖6-7在瞬時

，動點在曲線

的

位置，其絕對速度為

、相對速度為

，牽連速度為

。由速度合成定理有（a）經(jīng)過時間間隔

后，曲線

平動到

，動點運動到曲線

的

位置，該瞬時動點的絕對速度

，相對速度為

，牽連速度為

。同樣由速度合成定理有（b）現(xiàn)以

表示動點的絕對加速度。根據(jù)動點的加速度定義，則動點的絕對加速度

可寫成（6-5）將式（a）和式（b）均代入（6-5）式并整理，得到（c）

下面分別討論式（c）等號右端各項的力學意義。首先，假設動點不做相對運動，經(jīng)過時間間隔

后，動點隨重合點一起牽連運動到曲線

的

位置，此時動點的牽連速度為

，相對速度為

。如以

表示動點的牽連加速度，根據(jù)動點的牽連加速度定義，則（6-6）由于牽連運動是平動，在同一瞬時各點速度應相等，即

，故式（6-6）可改寫成（d）因此，式（c）右端的第一項即為動點的牽連加速度。

假設曲線

不動，動點在同一時間間隔

內(nèi)，由曲線

的

位置相對運動到

位置，如以

表示動點的相對加速度，根據(jù)動點的相對加速度定義，則（6-7）由于牽連運動是平動，在動坐標系同一位置處的相對速度應相等，即

，故式（6-7）可改寫成（e）因此，式（c）右端的第二項即為動點的相對加速度。將上述分析結(jié)果——式（d）和式（e），代入式（c）得（6-8）

這就是牽連運動為平動時點的加速度合成定理，即當牽連運動為平動時，動點在每一瞬時的絕對加速度等于牽連加速度與相對加速度的矢量和。式（6-8）的各加速度項均可能由法向加速度和切向加速度組成，則式（6-8）的一般形式應為式中共有6個矢量，每個矢量含有大小和方向共12個因素，必須已知其中的10個因素，才能求解其余2個未知量。

例6-4如圖6-8所示往復式送料機，曲柄

，它以角速度

、角加速度

勻變速轉(zhuǎn)動，帶動導桿

和送料槽

往復運動。當曲柄與鉛垂線成

角時，求

的速度和加速度。圖6-8解取曲柄上的

點為動點，動系固結(jié)在導桿

上，則動點

的絕對運動是以

點為圓心，

為半徑的圓弧運動。

點的相對運動是沿導桿滑槽的上下直線運動。牽連運動是動系即導桿

沿水平方向的直線平動。

速度合成定理

式中，絕對速度方向垂直于

，大小為

；相對速度方向沿

軸，大小未知；牽連速度方向水平，大小未知。畫速度平行四邊形，可解出該速度即導桿和料槽

的平動速度。

絕對運動是曲線運動，加速度應分解為兩項

和

，由牽連運動為平動時的加速度合成定理有式中，

方向垂直

，大小為

；

方向沿

指向

點，大小為

；

向水平，大小未知；

方向沿

軸，大小未知。即為導桿和料槽的平動加速度，負號表明在此瞬時

的實際指向與圖中所設方向相反。用解析法將矢量合成式投影到

軸，有例6-5如圖6-9（a）所示，已知半徑

的半圓板

，沿

的斜面以

勻速向上滑動，推動桿

繞

點轉(zhuǎn)動，

，求在圖6-9所示位置時，

桿的轉(zhuǎn)動角速度

及轉(zhuǎn)動角加速度

。圖6-9（a）解（1）取

桿上的

點為動點，動坐標系固結(jié)在半圓板

上，如圖6-9（a）所示，則動點

的絕對運動為以

點為圓心、以

為半徑的圓周運動，動點的相對運動為沿半圓板表面的圓周運動，牽連運動為直線平動。已知動點的牽連速度

，且

，

方向已知，由動點的速度合成定理

，可畫出速度平行四邊形，由此可得到由此可得到

桿的轉(zhuǎn)動角速度

為（2）由于牽連運動為平動，則由動點的加速度合成定理

，可得到式中，

；

；

。

各項加速度方向均為已知，可作出動點的加速度矢量圖，如圖6-9（b）所示。將式（a）向

軸上投影，可得到加速度的投影方程圖6-9所以

最后可得

桿的角加速度第四節(jié)牽連運動為定軸轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理由于動坐標系為轉(zhuǎn)動，牽連運動與相對運動的相互影響而產(chǎn)生了一個附加的加速度，由于這項加速度是法國工程師科里奧利（G．G．deCoriolis1792—1843）提出的，故稱為科里奧利加速度，簡稱科氏加速度，通常以符號

表示。這時動點的絕對加速度可寫成即當牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度等于牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。這就是牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理。設動點沿直桿

運動，桿

又以角速度

繞

軸勻速轉(zhuǎn)動。將動坐標系固結(jié)在桿上。在瞬時

，動點在

桿的

位置，它的相對速度、牽連速度分別為

和

，經(jīng)時間間隔

后，桿

轉(zhuǎn)動

角，動點運動到

桿的

點處，這時動點的相對速度、牽連速度分別為

和

，如圖6-10（a）所示。圖6-10（a）據(jù)點的速度合成定理，在

瞬時，動點的絕對速度在瞬時，動點的絕對速度則動點的絕對加速度由定義可寫成矢量，的幾何意義如圖6-10（b）、（c）所示（a）下面分析式（a）右端兩項的速度變化

，

的力學意義。由圖6-10（b），可知式中，表示相對速度大小變化而引起的相對速度增量；表示由于牽連運動為轉(zhuǎn)動使相對速度方向改變而引起的相對速度增量。圖6-10（b）（b）又由圖6-10（c）可知（c）式中，

表示由于牽連速度方向變化而引起的牽連速度增量；

表示由于存在相對運動使牽連速度大小變化而引起的牽連速度增量。將式（b）、式（c）一起代入式（a），可得（d）式（d）的第一項應為動點的相對加速度

，即式（d）的第三項應為動點的牽連加速度

，即

（e）（f）圖6-10（c）分析并計算附加加速度的大小和方向。先確定第二項，即

的大小和方向。由圖6-10（b）可知，于是其方向垂直于，并與轉(zhuǎn)向一致。再確定第四項，即的大小和方向。由圖6-10（a）、（c）可見，，的大小應分別為，式中，為動系的轉(zhuǎn)動角速度。所以其方向也垂直于，并與轉(zhuǎn)向一致。由于這兩項附加加速度的大小相同，方向一致，所以，兩項合并成一項，用

表示，它的大小為它的方向與

垂直，并與

轉(zhuǎn)向一致。這項加速度稱為科氏加速度。將式（e）、式（f）和式（6-11）一并代入式（d），于是牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理得到證明，即式（d）可寫成所得結(jié)論也適用于一般情況?？剖霞铀俣鹊谋磉_式為

根據(jù)矢量積運算法則，

的大小為式中，

是矢量

與

的夾角；如圖6-11所示。如果

，即機構(gòu)在平面內(nèi)運動時，可將相對速度

按著牽連運動角度速度

方向轉(zhuǎn)過

角后，

的指向即為

的指向，其大小為圖6-11如果

，則

，

。如圖6-12所示，

為靜系，

為動系，繞定軸

轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度為

和

。動點

的相對速度和相對加速度分別為圖6-12式中，

，

和

為動系各軸方向的單位矢量；而，

和

為動點在動系中的坐標。動點的牽連速度和牽連加速度為，式中，

為動點在靜系中的矢徑；

表示動點在動系中的矢徑，顯然有

，

為動系原點

在靜系中的矢徑。動點的絕對速度和絕對加速度應為，但由于牽連轉(zhuǎn)動與相對運動的相互影響，，

，將

表示式代入上式中的第一項可得將

表達式代入

可得如圖6-13所示，

矢量端點

的速度等于

，也可用矢量積表示為

，因此有圖6-13將

代入上式得式中，第一個括號內(nèi)各項之和即為相對加速度；第二個括號中包含動系各坐標方向單位矢的變化率，以

為例分析如下。又由于

，因此得同理可得

和

。代入

式后成為因此可得

例6-6地球上北緯

度處一動點

，沿經(jīng)線向北以

勻速運動，如圖6-14所示?？紤]地球的自轉(zhuǎn)，求

點的加速度。圖6-14解為研究地球自轉(zhuǎn)的影響，顯然動系應固結(jié)在地球，靜系以地球球心為原點，三個軸指向三個恒星。地球的自轉(zhuǎn)為牽連運動即定軸轉(zhuǎn)動，

沿地軸指向北極。動點

沿經(jīng)線的相對運動是勻速曲線運動，則有，，其中

為地球半徑。地球自轉(zhuǎn)視為勻速轉(zhuǎn)動，有，，科氏加速度

應垂直于

和

所決定的平面，大小為過

點取投影坐標系

，如圖6-14所示。得到

在這些軸上的投影為例6-7如圖6-15所示為一凸輪機構(gòu)。在圖示瞬時，

，凸輪輪廓線在

點曲率半徑為

，法線與

夾角為

。設凸輪以

勻速轉(zhuǎn)動，求頂桿的加速度。圖6-15解取頂桿上

點為動點，動系固結(jié)于凸輪，則絕對運動是