必修第一冊北師大版第二章單元測試卷

第二章函數單元檢測卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.函數y=x-1+1x+1的定義域為(A.{x|x>-1} B.{x|x≥1} C.{x|x≥0} D.{x|x≥-1}2.已知2≈1.41421,如果對應關系f將n對應到2的小數點后第n位上的數字,則f(2)+f(4)=()A.5 B.6 C.3 D.23.函數y=x|x|的圖象可能是()ABCD4.函數f(x)=2x2+1xA.是奇函數且在區(qū)間(22,+∞)B.是奇函數且在區(qū)間(22,+∞)C.是偶函數且在區(qū)間(22,+∞)D.是偶函數且在區(qū)間(22,+∞)5.甲、乙兩人在一次賽跑中,路程s與時間t的函數關系如圖1所示,則下列說法正確的是()圖1A.甲比乙先出發(fā) B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙兩人的速度相同 D.甲先到達終點6.對于任意實數a,b,定義:F(a,b)=a,a≥b,b,a<b.若函數f(x)=x2,g(x)=x+2,則函數G(x)=F(f(A.0 B.1 C.2 D.47.偶函數y=f(x)在區(qū)間[0,4]上單調遞減,則有()A.f(-1)>f(π3)>f(-π) B.f(π3)>f(-1)>f(-π) C.f(-π)>f(-1)>f(π3) D.f(-1)>f(-π)>f8.已知函數f(x)=ax2-x+1(a≠0),若對任意x1,x2∈[1,+∞)且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)A.[1,+∞) B.(0,1] C.[2,+∞) D.(0,+∞)二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列函數中,定義域是其值域子集的有()A.y=85x+6 B.y=-x2-2x+5 C.y=x-1 D.y=110.德國數學家狄利克雷在1837年時提出:如果對于x的每一個值,y總有一個完全確定的值與之對應,那么y是x的函數.這個定義較清楚地說明了函數的內涵.只要有一個法則,使得取值范圍中的每一個x,有一個確定的y和它對應就行了,不管這個法則是用公式還是用圖象、表格等形式表示,例如狄利克雷函數D(x),即:當自變量取有理數時,函數值為1;當自變量取無理數時,函數值為0.下列關于狄利克雷函數D(x)的性質表述正確的是()A.D(π)=1 B.D(x)的值域為{0,1}C.D(x)的圖象關于直線x=1對稱 D.D(x)的圖象關于直線x=2對稱11.已知函數f(x)的定義域為R,對任意實數x,y滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+12,且f(12)=0,當x>12時,f(x)>0.則下列結論中正確的是(A.f(0)=-12 B.f(-1)=-32C.f(x)為R上的減函數 D.y=f(x)+12三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數f(x)=x2-4,0≤x≤2,2x,x>2,若f(x013.我國的酒駕標準是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于20mg/100ml,已知一駕駛員某次飲酒后體內每100ml血液中的酒精含量y(單位:mg)與時間x(單位:h)的關系是:當0<x<113時,y=-27011x2+108011x;當x≥113時,y=110x.14.已知f(x)是定義在R上的偶函數,且f(x)在[0,+∞)上單調遞增,如果對于任意的x∈[1,2],f(ax+1)≤f(x-3)恒成立,則實數a的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)在①a=-2;②a=1;③a=5這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并完成解答.已知函數f(x)=(x-a)2-3|x-1|-b,且.

(1)判斷f(x)的單調性;(2)若f(x)的圖象與x軸有兩個交點,求實數b的取值范圍.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

16.(15分)已知冪函數f(x)=(k2+k-1)·x(2-k)(1+k),且f(2)<f(3).(1)求實數k的值,并寫出相應的函數f(x)的解析式;(2)對于(1)中的函數f(x),是否存在正數m,使函數g(x)=1-f(x)+2mx在區(qū)間[0,1]上的最大值為5?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

17.(15分)已知f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數,且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)求證:f(8)=3;(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.

18.(17分)我們把函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值的差稱為f(x)在區(qū)間[a,b]上的極差,記作d(a,b).(1)若f(x)=x2-2x+2,求d(1,2);(2)若f(x)=x+mx,且d(1,2)≠|f(2)-f(1)|,求實數m的取值范圍

19.(17分)我們知道,函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱的充要條件是函數y=f(x)為奇函數,有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數.(1)若f(x)=x3-3x2,①求此函數圖象的對稱中心;②求f(-2020)+f(-2021)+f(2022)+f(2023)的值;(2)類比上述推廣結論,寫出“函數y=f(x)的圖象關于y軸成軸對稱的充要條件是函數y=f(x)為偶函數”的一個推廣結論.

第二章函數單元檢測卷參考答案1.B由題意知x-1≥0,x+1≠0,解得x2.C根據題意,對應關系f將n對應到2的小數點后第n位上的數字,則f(2)=1,f(4)=2,則f(2)+f(4)=3,故選C.3.C因為函數y=x|x|為奇函數,故排除A,B,D,選C.4.A∵函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關于原點對稱,f(-x)=2x2+1-x=-f(x),∴f(x)是奇函數,排除C,D.∵f(2)=92,f(1)=3,f(2)>f5.D從題圖可以看出甲、乙的出發(fā)時間相同;甲、乙兩人所走的路程相同,即s甲=s乙,故可排除A,B.從題圖中的橫坐標可以看出甲用的時間小于乙用的時間,故甲先到達終點,而兩人的路程相同,所以甲的速度大于乙的速度,故D正確,C錯誤.6.B由題意可得G(x)=F(f(x),g(x))=x當x≥2或x≤-1時,G(x)≥1;當-1<x<2時,1<G(x)<4.所以G(x)≥1,因此G(x)的最小值是1.7.A函數y=f(x)為偶函數,所以f(-1)=f(1),f(-π)=f(π),又函數在區(qū)間[0,4]上單調遞減,所以f(1)>f(π3)>f(π),所以f(-1)>f(π3)>f(-8.A任取x1,x2∈[1,+∞),不妨設x1>x2,則由f(x1)-f(x2)x1-x2>1,可得f(x1)-x1>f(x2)-x2,則y=f(x)-x在[1,+∞)上單調遞增.∵f(x)-x=ax2-2x+1的圖象的對稱軸為直線x=19.AC對于A,y=85x+6的定義域、值域均為R,符合要求對于B,y=-x2+2x+5的定義域為R,值域為(-∞,6],不符合要求;對于C,y=x-1的定義域為[1,+∞),值域為[0,+∞),符合要求對于D,y=1x-1的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),值域為(-∞,-1)∪(-1,+∞),不符合要求故定義域是其值域子集的有A,C.10.BCD由題意可得D(x)=0,x為無理數,1,x∈Q,由于π為無理數,則D結合函數D(x)的定義及分段函數的性質可知,函數D(x)的值域為{0,1},故B正確;結合函數D(x)的定義可知,當x∈Q時,D(x)=1,相關圖象關于直線x=1,x=2都對稱,當x為無理數時,D(x)=0,相關圖象關于直線x=1,x=2都對稱,故C,D正確.故選BCD.11.ABD令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+12,即f(0)=-12,故A因為f(12)=0,令x=y=12,得f(1)=f(12)+f(12)+12=12,令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f即12+f(-1)+12=-12,解得f(-1)=-32,取y=-1,得f(x-1)=f(x)+f(-1)+12,即f(x-1)-f(x)=f(-1)+12=-1<0,即f(x-1)<f(x),故C令y=-x,得-12=f(0)=f(x)+f(-x)+12,即f(x)+12+f(-x)+12=0,即y=f(x)+12為奇函數12.4若0≤x0≤2,由x02-4=8,解得x0=-23或x0=23,均不符合題意,若x0>2,由2x0=8,解得x0=4.綜上可得,x0=4.13.5.5根據二次函數的單調性和反比例函數的單調性進行求解即可,當0<x<113時,y=-27011x2+108011x=-27011(x-2)2+108011,當x=2時,函數有最大值108011>20,當x=113時,函數值為30,大于20,且當0<x<113時,飲酒后體內每100mL血液中的酒精含量先單調遞增,再單調遞減.當x≥113時,函數y=110x單調遞減,令y=110x=20,得x=5.5,因此飲酒14.[-1,0]由題意可得|ax+1|≤|x-3|在x∈[1,2]上恒成立,即有|ax+1|≤3-x,即x-3≤ax+1≤3-x,所以1-4x≤a≤2x-1在x∈[1,2]由y=1-4x在x∈[1,2]上單調遞增,可得當x=2時,y取得最大值,最大值為y=1-2=-由y=2x-1在x∈[1,2]上單調遞減,可得當x=2時,y取得最小值,最小值為y=1-1=0故-1≤a≤0.15.f(x)=(x-a)2-3|x-1|-b=x選①.(1)當x≥1時,函數y=x2-(2a+3)x+a2-b+3圖象的對稱軸為直線x=-12,且-12所以f(x)在[1,+∞)上單調遞增.當x<1時,函數y=x2-(2a-3)x+a2-b-3圖象的對稱軸為直線x=-72,且-72≤1,所以f(x)在(-∞,-72)上單調遞減,在[-7綜上所述,數形結合可知,f(x)在(-∞,-72)上單調遞減,在[-72,+∞)(2)由(1)知,f(x)min=f(-72)=-b-45因為f(x)的圖象與x軸有兩個交點,所以f(x)min<0,即-b-454<0,所以實數b的取值范圍是(-454,+∞選②.(1)當x≥1時,因為函數y=x2-(2a+3)x+a2-b+3圖象的對稱軸為直線x=52,且57>1,所以f(x)在[1,52)上單調遞減,在[52,當x<1時,因為函數y=x2-(2a-3)x+a2-b-3圖象的對稱軸為直線x=-12,且-12<1,所以f(x)在(-∞,-12)上單調遞減,在[-1綜上所述,f(x)在(-∞,-12),[1,52)上單調遞減,在[-12,1),[52,(2)由(1)知,f(-12)=-b-94,f(52)=-b-94=f(因為f(x)的圖象與x軸有兩個交點,所以f(52)=f(-12)=0或f(1)<由-b-94=0或f(1)=-b<0,得b=-94或所以實數b的取值范圍是{-94}∪(0,+∞)選③.(1)當x≥1時,函數y=x2-(2a+3)x+a2-b+3圖象的對稱軸為直線x=132,且132>1,所以f(x)在[1,132)上單調遞減,在[132,當x<1時,函數y=x2-(2a-3)x+a2-b-3圖象的對稱軸為直線x=72,且72所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減.綜上所述,數形結合可知f(x)在(-∞,132)上單調遞減,在[132,+∞)(2)由(1)知,f(x)min=f(132)=-b-57因為f(x)的圖象與x軸有兩個交點,所以f(x)min<0.由-b-574<0,得b>-57所以實數b的取值范圍是(-574,+∞)16.(1)∵f(x)是冪函數,故k2+k-1=1,∴k=-2或k=1.當k=1時,f(x)=x2,滿足f(2)<f(3);當k=-2時,f(x)=x-4,不滿足f(2)<f(3).故f(x)=x2.(2)∵g(x)=1-f(x)+2mx=-x2+2mx+1,∴g(x)圖象開口方向向下,對稱軸方程為x=m(m>0).①當0<m<1時,g(x)在區(qū)間[0,m]上單調遞增,在區(qū)間[m,1]上單調遞減,∴g(x)max=g(m)=m2+1=5,∴m=±2,均不符合題意,舍去;②當m≥1時,g(x)在區(qū)間[0,1]上遞增,∴g(x)max=g(1)=2m=5,∴m=52,符合題意綜上所述,m=52.17.(1)由題意,得f(8)=f(4×2)=f(4)+f(2)=f(2×2)+f(2)=f(2)+f(2)+f(2)=3f(2),∵f(2)=1,∴f(8)=3.(2)不等式可化為f(x)>f(x-2)+3.由(1)知f(8)=3,∴f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16).∵f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數,∴x>0,8x-16>0,x故原不等式的解集為{x|2<x<167}18.(1)由f(x)=x2-2x+2圖象的對稱軸為直線x=1,可得f(x)在[1,2]上單調遞增,所以f(x)的最大值為f(2)=2,最小值為f(1)=1,所以d(1,2)=2-1=1