寧夏吳忠中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題理含解析

PAGE19-寧夏吳忠中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的把答案填涂在答題卡上）1.已知集合，集合，則符合條件的集合的子集個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列舉出集合中的運(yùn)算，利用子集個(gè)數(shù)公式可得出結(jié)果.【詳解】，，因此，符合條件的集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是求出集合的元素個(gè)數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的形式，求出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知直線，，，若且，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)直線平行與垂直求出實(shí)數(shù)、的值，進(jìn)而可計(jì)算出的值.【詳解】，則，解得，，則，解得.因此，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)兩直線平行與垂直求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.已知、是兩條不同直線，、、是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理可推斷A選項(xiàng)的正誤；利用線面垂直的性質(zhì)定理可推斷B選項(xiàng)的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理可推斷C選項(xiàng)的正誤；利用線面平行和面面平行的性質(zhì)定理可推斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，，則與平行或相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，，則，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，則與平行、相交或異面，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，則與平行或相交，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線和平面、平面和平面平行或垂直的位置關(guān)系的推斷，要求嫻熟駕馭相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理．5.函數(shù)的圖象是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由偶函數(shù)解除B、D,解除C.故選A.考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對(duì)隨意，都有，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】由題意，故選C．7.各側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正多邊形的棱錐稱(chēng)為正棱錐，正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閭?cè)棱長(zhǎng)為a的正三棱錐P﹣ABC的側(cè)面都是直角三角形，且四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，三棱錐的正方體的一個(gè)角，把三棱錐擴(kuò)展為正方體，它們有相同的外接球，球的直徑就是正方體的對(duì)角線，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為：；所以球的表面積為：4π=3πa2故答案為D．點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的問(wèn)題，是高考中的重點(diǎn)問(wèn)題，一般外接球須要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，球心到各頂點(diǎn)距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點(diǎn)組成的多邊形的外接圓的圓心，過(guò)圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點(diǎn)到多邊形的頂點(diǎn)的距離相等，然后同樣的方法找到另一個(gè)多邊形的各頂點(diǎn)距離相等的直線，這樣兩條直線的交點(diǎn)，就是其外接球的球心，有時(shí)也可利用補(bǔ)體法得到半徑．8.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需把的圖象上全部點(diǎn)（）A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】【分析】首先依據(jù)函數(shù)的圖象求出該函數(shù)的周期，進(jìn)一步利用函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)圖象的平移變換可得出結(jié)果．【詳解】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，，，，，由于函數(shù)在旁邊單調(diào)遞減，則，，，則，，所以，，因此，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上全部點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，以及三角函數(shù)圖象變換，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.9.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是、、、，給出編號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）A.①和② B.①和③ C.④和② D.③和②【答案】C【解析】【分析】在坐標(biāo)系中，標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，依據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則，可得結(jié)論．【詳解】在坐標(biāo)系中，標(biāo)出已知的四個(gè)點(diǎn)，依據(jù)三視圖的畫(huà)圖規(guī)則，可得三棱錐的正視圖和俯視圖分別為④②，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖的畫(huà)法，做到心中有圖形，考查空間想象實(shí)力，是基礎(chǔ)題．10.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn).角滿(mǎn)意，則的值為（）A.或 B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義可得出和的值，分和兩種狀況探討，利用兩角差的余弦公式可求得的值.【詳解】，.由隨意角的三角函數(shù)的定義可得，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)求值，涉及兩角差的余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.11.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則圓的面積為A. B. C. D.【答案】D【解析】圓方程可化為圓心到直線的距離，故選D.12.對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：，設(shè)函數(shù)，，若函數(shù)的圖象與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，并依據(jù)定義得出的解析式，作出函數(shù)的圖象即可得出答案．【詳解】令得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，若，即，解得.若，即，解得或...作出函數(shù)的圖象如下圖所示：如圖所示，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，解題的關(guān)鍵就是作出函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．二、填空題（本大題4小題，每小題4分，共16分.把正確答案填在題中橫線上）13.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則_______．【答案】【解析】試題分析：因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，得，，.考點(diǎn)：冪函數(shù)的定義.14.化簡(jiǎn)__________.【答案】【解析】【分析】通分，利用二倍角的正弦、余弦的降冪公式可化簡(jiǎn)所求代數(shù)式.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值化簡(jiǎn)計(jì)算，涉及二倍角降冪公式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.15.在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn).若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】利用基底、表示向量，然后利用平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得的長(zhǎng).【詳解】如下圖所示：是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，，，，，，解得.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，選擇合適的基底表示向量是解答的關(guān)鍵，考查了平面對(duì)量數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中等題.16.在函數(shù)的圖象上求一點(diǎn)，使到直線的距離最短，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上到直線距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)的求解，考查點(diǎn)到直線的距離公式和二次函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.三、解答題（本大題共6小題，共56分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.平面對(duì)量，，，已知，.（1）求向量和向量；（2）求與夾角和.【答案】（1），；（2）與的夾角為，.【解析】【分析】（1）利用共線向量的坐標(biāo)表示可求得的值，利用垂直向量的坐標(biāo)表示可求得的值，由此可計(jì)算出向量和向量的坐標(biāo)；（2）計(jì)算出的值，可求得與的夾角，利用向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式可求出.【詳解】（1），，，且，，所以，解得，因此，，；（2），則，即與的夾角為.，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量平行與垂直求參數(shù)，同時(shí)也考查了向量夾角與模的計(jì)算，考查運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知圓，直線.（1）當(dāng)為何值時(shí)，直線與圓相切.（2）當(dāng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得出圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，利用圓心到直線的距離等于半徑，可計(jì)算出實(shí)數(shù)的值；（2）利用弦長(zhǎng)的一半、半徑長(zhǎng)和弦心距滿(mǎn)意勾股定理可求得弦心距，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而可得出直線的方程.【詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為，半徑長(zhǎng)為，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，則，解得；（2）由題意知，圓心到直線的距離為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，整理得，解得或.因此，直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查利用直線與圓相切求參數(shù)以及依據(jù)弦長(zhǎng)求直線方程，解答的核心就是圓心到直線的距離的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值，并求函數(shù)的值域；（2）若集合為值域，集合，集合，求.【答案】（1），值域?yàn)椋唬?）.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)定義得出，化簡(jiǎn)計(jì)算可求得實(shí)數(shù)的值，令，用表示，結(jié)合可求出的取值范圍，即為函數(shù)的值域；（2）求出集合、，利用補(bǔ)集和交集的定義可求出集合.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，則，即，解得，.由得，，得，即，解得.因此，函數(shù)的值域?yàn)?；?）由于對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，，則，且，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，同時(shí)也考查了函數(shù)值域以及集合的混合運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.20.已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面為菱形，且，平面平面，、分別是、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用線面平行的判定定理即可得出結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接、、，證明出平面，進(jìn)而可證明出；（3）連接，證明出平面，可得出與平面所成的角為，通過(guò)解可得出的值.【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，在三棱柱中，且，、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，為的中點(diǎn)，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，因此，平面；（2）取的中點(diǎn)，連接、、，四邊形為菱形，則，、分別為、的中點(diǎn)，，則.為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，平面，平面，；（3）由（2）知，平面，所以，直線與平面所成的角為，，，則為等邊三角形，所以，，同理可得，，平面，平面，，則為等腰直角三角形，且，因此，與平面所成角.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的證明，同時(shí)也考查了利用線面垂直證明線線垂直，以及線面角的計(jì)算，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.21.已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng).（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)圓與曲線的兩交點(diǎn)為，求線段的長(zhǎng)；（Ⅲ）若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，求的最小值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，依據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，和點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，得，，再由點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，求得點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）由兩圓的方程，相減得到直線的方程，依據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解的長(zhǎng)；（Ⅲ）依據(jù)圓的性質(zhì)得，由為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而可求得的最小值，即可得到的最小值．試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，于是有，①因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)意方程即：②把①代入②，得整理，得所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（Ⅱ）圓與圓的方程相減得：由圓的圓心為，半徑為1，且到直線的距離則公共弦長(zhǎng)（Ⅲ）是以為圓心，半徑的圓是以為圓心，半徑的圓所以①當(dāng)且僅當(dāng)在線段且在線段上時(shí)，取等號(hào).設(shè)為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則代入①式得：當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為.點(diǎn)睛：本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解、直線與圓的位置關(guān)系等學(xué)問(wèn)點(diǎn)的應(yīng)用，此類(lèi)為解答的關(guān)鍵在于熟記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、直線與圓的位置關(guān)系的判定與應(yīng)用，同時(shí)留意數(shù)形結(jié)合法與轉(zhuǎn)化思想在解題中的合理運(yùn)用．22.已知向量，設(shè)函數(shù)．（1）求的值域；（2）設(shè)函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，若不