福建省莆田市第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題A卷含解析

PAGE16-福建省莆田市第六中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（A卷）（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確（每小題5分，共60分）．1.下列函數(shù)中，與函數(shù)為相同函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別推斷函數(shù)的定義域和表達(dá)式，與函數(shù)作比較推斷得到答案.【詳解】定義域?yàn)锳.定義域?yàn)?，不相同；B.，表達(dá)式不相同；C.，定義域?yàn)?，是相同函?shù)；D.定義域?yàn)?，不相同；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了相同函數(shù)的推斷，確定定義域和表達(dá)式是解題的關(guān)鍵.2.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別計(jì)算得到，，再計(jì)算得到答案.【詳解】；故選：【點(diǎn)睛】本題考查了交集的計(jì)算，屬于簡潔題.3.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則的值為（）A.0 B. C.1 D.-1【答案】B【解析】函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，故函數(shù)是偶函數(shù)，故奇次項(xiàng)系數(shù)為0.即此時(shí)．故答案為B．4.三個(gè)數(shù)，，之間的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】試題分析：，，所以.考點(diǎn)：比較大?。?.設(shè)函數(shù)與的圖象交點(diǎn)為,則所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意可令，即，設(shè)，利用零點(diǎn)存在性定理，說明零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】令，即設(shè)，，，，，在區(qū)間必存在，使,即函數(shù)與的圖象交點(diǎn)所在的區(qū)間.故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)所在區(qū)間的求法，主要考查基本概念和計(jì)算，屬于簡潔題型.6.函數(shù)的圖像大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的形式和圖象，分和兩種狀況去肯定值，推斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，只有D滿意條件.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查含肯定值圖象的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題型.一般依據(jù)選項(xiàng)推斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特別值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等解除選項(xiàng).7.設(shè)，且，則()A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)值，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式化簡，由此求得值.【詳解】由得，所以，，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù),若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)在上遞增列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于在上遞增，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，考查一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè),若,則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由時(shí)是增函數(shù)可知,若,則,所以,由得,解得,則,故選C.【名師點(diǎn)睛】求分段函數(shù)的函數(shù)值,首先要確定自變量的范圍,然后選定相應(yīng)關(guān)系式，代入求解；當(dāng)給出函數(shù)值或函數(shù)值的取值范圍求自變量的值或自變量的取值范圍時(shí),應(yīng)依據(jù)每一段解析式分別求解,但要留意檢驗(yàn)所求自變量的值或取值范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的值或取值范圍．10.某商場(chǎng)對(duì)顧客實(shí)行購物實(shí)惠活動(dòng)規(guī)定，一次購物付款總額：（1）假如標(biāo)價(jià)總額不超過200元，則不賜予實(shí)惠；（2）假如標(biāo)價(jià)總額超過200元但不超過500元，則按標(biāo)價(jià)總額賜予9折實(shí)惠；（3）假如標(biāo)價(jià)總額超過500元，其500元內(nèi)的按第（2）條賜予實(shí)惠，超過500元的部分賜予8折實(shí)惠.某人兩次去購物，分別付款180元和423元，假設(shè)他一次性購買上述兩次同樣的商品，則應(yīng)付款（）A.550元 B.560元 C.570元 D.580元【答案】C【解析】【分析】先推斷第一次購物不超過200，其次次不超過500，計(jì)算得到共購物650元，再計(jì)算得到答案.【詳解】若第一次購物超過200，則付款大于，故第一次購物不超過200元；若其次次購物超過500，則付款大于，故其次次購物不超過500元；其次次購物合計(jì)付款為故選：【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.11.設(shè)表示三者中較小的一個(gè)，若函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】畫出函數(shù)的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可得．由圖象可得，當(dāng)時(shí)，的值域是．選C．點(diǎn)睛：用圖象表示函數(shù)，增加了直觀性和形象性，借助函數(shù)的圖象解決函數(shù)的有關(guān)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，同時(shí)為問題的解決帶來便利．函數(shù)圖象的應(yīng)用主要是利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)、最值等問題，考查解決方程的根、解不等式、求參數(shù)等問題的實(shí)力．12.設(shè)為大于1的常數(shù)，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知方程解得或，若滿意方程有3個(gè)不同的解，依據(jù)圖象可得的取值范圍.【詳解】如圖，先畫出函數(shù)的圖象，由已知，解得：或當(dāng)時(shí)，，1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，需有2個(gè)解，如圖，.故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)方程實(shí)根個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題(共5小題，每小題5分，共20分)13.函數(shù)的定義域是________________________．【答案】，【解析】【分析】干脆利用函數(shù)定義域的定義得到不等式計(jì)算得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿意：解得故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.14.已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．【答案】【解析】【分析】首先求函數(shù)，再求，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由題意可知，函數(shù)拆分成內(nèi)外層函數(shù)，，外層函數(shù)，是單調(diào)遞減函數(shù)，若求函數(shù)的單調(diào)遞增函數(shù)，只需滿意，解得：，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，對(duì)于復(fù)合函數(shù)，首先拆分成內(nèi)外層函數(shù)，再依據(jù)“同增異減”的推斷方法求單調(diào)區(qū)間，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是簡潔遺忘函數(shù)的定義域.15.當(dāng)生物死亡后,其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．2024年7月6日，第43屆世界遺產(chǎn)大會(huì)宣布，中國良渚古城遺址勝利申遺，獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄．目前中國世界遺產(chǎn)總數(shù)已達(dá)55處，位居世界第一．今年暑期，某中學(xué)的“考古學(xué)”愛好小組對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料(草裹泥)上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年頭學(xué)檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的54%．利用參考數(shù)據(jù)：，請(qǐng)你推斷上述所提取的草莖遺存物距今大約有_______________________年（精確到1年）．【答案】4966．【解析】【分析】依據(jù)題意得到方程，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)時(shí)間為，依據(jù)題意知：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.16.給出下列結(jié)論：①，的值域是；②冪函數(shù)圖象肯定不過第四象限；③函數(shù)的圖象過定點(diǎn)；④若，則的取值范圍是；⑤若,則.其中正確的序號(hào)是_______________.【答案】②④⑤.【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，逐一推斷選項(xiàng)，得到正確答案.①干脆依據(jù)二次函數(shù)求值域；②依據(jù)冪函數(shù)的圖象特征干脆推斷；③利用，求定點(diǎn)；④分和兩種狀況解不等式；⑤原不等式變形為，，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)論.【詳解】①當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的最小值，函數(shù)的最大值，所以函數(shù)的值域是，故①不正確；②冪函數(shù)肯定不過第四象限，②正確；③因?yàn)?，所以函?shù)肯定過定點(diǎn)，故③不正確；④當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，，即，故④正確；⑤原不等式變形為，，設(shè)函數(shù)，函數(shù)在單調(diào)遞減，由，，變形為，所以，即，故⑤正確.故答案為：②④⑤【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合推斷題型，意在考查分析問題和解決問題的實(shí)力，本題推斷的難點(diǎn)是第五個(gè)選項(xiàng)，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推斷自變量的大小.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或或演算步驟）17.（1）計(jì)算：；（2）已知（且），若，求的值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）干脆利用對(duì)數(shù)的計(jì)算法則得到答案.（2）先計(jì)算，再得到，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）（2），，又，即，則【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的計(jì)算，函數(shù)值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.18.已知函數(shù)圖象過點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)的值，并求的定義域和值域；（2）解不等式．【答案】（1），定義域?yàn)?，的值域?yàn)椋?）或【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解得，再計(jì)算得到定義域，最終計(jì)算值域得到答案.（2）依據(jù)題意得到得到不等式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由題意得，所以，所以，由得或，則的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以的值域?yàn)椋?）不等式，所以解得或所以不等式解集為或【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，值域，解不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.19.已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若方程有解，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】試題分析：(1)由函數(shù)是偶函數(shù)；(2)由.試題解析:(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知，f(－x)＝f(x)，∴l(xiāng)og4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log4＝－4kx，∴l(xiāng)og44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，對(duì)一切x∈R恒成立，∴k＝－．(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4(2x＋),∵2x>0,∴2x＋≥2,∴m≥log42＝．故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范圍為[，＋∞)．20.設(shè)函數(shù)，(1)用定義證明：函數(shù)是R上的增函數(shù)；(2)證明：對(duì)隨意的實(shí)數(shù)t，都有；(3)求值：．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）9.5【解析】分析】（1）設(shè)，計(jì)算，推斷，推斷函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)；（2），再變形計(jì)算求值；（3）依據(jù)（2）的結(jié)果，計(jì)算求值.【詳解】解：（1）證明：設(shè)隨意，則又∴在R上是增函數(shù)（2）對(duì)隨意t,∴對(duì)于隨意t,（3）∵由（2）得【點(diǎn)睛】本題考查定義法證明函數(shù)單調(diào)性，以及指數(shù)冪的綜合運(yùn)算，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題型.21.某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，依據(jù)長期收益率市場(chǎng)預(yù)料，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．（1）分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式；（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，怎樣安排資金才能獲得最大收益？其最大收益為多少萬元？【答案】（1），；（2）債券類產(chǎn)品投資16萬元時(shí)，收益最大，為3萬元【解析】【分析】（1）由題意，得到，，代入求得的值，即可得到函數(shù)的解析式；（2）設(shè)債券類產(chǎn)品投資萬元，可得股票類產(chǎn)品投資萬元，求得總的理財(cái)收益的解析式，利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)投資債券類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式為，投資股票類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式為，可知，，所以，.（2）設(shè)債券類產(chǎn)品投資萬元，則股票類產(chǎn)品投資萬元，總的理財(cái)收益.令，則，，故，所以，當(dāng)時(shí)，即債券類產(chǎn)品投資16萬元時(shí)，收益最大，為3萬元.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中仔細(xì)審題，列出函數(shù)的解析式，嫻熟應(yīng)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于中檔試題.22.已知函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）推斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）若且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）利用，計(jì)算實(shí)數(shù)的值；（2）由（1）可知，首先推斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再探討，推斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）由，確定的范圍，然后依據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，不等式變形