2024秋新教材高中數(shù)學課時跟蹤檢測九等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)新人教A版必修第一冊

PAGEPAGE1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)層級(一)“四基”落實練1．若x≠2且y≠－1，則M＝x2＋y2－4x＋2y與－5的大小關系是()A．M＞－5 B．M＜－5C．M＝－5 D．不能確定解析：選A因為x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2，又x≠2且y≠－1，所以(x－2)2＋(y＋1)2＞0，故M＞－5.2．已知a＜b，那么下列式子中，錯誤的是()A．4a＜4b B．－4a＜－4bC．a(chǎn)＋4＜b＋4 D．a(chǎn)－4＜b－4解析：選B依據(jù)不等式的性質(zhì)，a＜b,4＞0?4a＜4b，A項正確；a＜b，－4＜0?－4a＞－4b，B項錯誤；a＜b?a＋4＜b＋4，C項正確；a＜b?a－4＜b－4，D項正確．3．已知c＞1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，則x，y之間的大小關系是()A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關系隨c而定解析：選C用作商法比較，由題意x＞0，y＞0，∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))＜1，∴x＜y.4．(多選)下列四個選項中能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)的有()A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a(chǎn)＞0＞b D．a(chǎn)＞b＞0解析：選ABDeq\f(1,a)＜eq\f(1,b)?eq\f(b－a,ab)＜0?ab(a－b)＞0.A．a(chǎn)b＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0成立；B．a(chǎn)b＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立；C．a(chǎn)b＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不成立；D．a(chǎn)b＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0成立．5．已知a，b均為實數(shù)，則(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因為(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，所以(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4)．答案：＜6．一輛汽車原來每天行駛xkm，假如這輛汽車每天行駛的路程比原來多19km，那么在8天內(nèi)它的行程就超過2200km，寫成不等式為________；假如它每天行駛的路程比原來少12km，那么它原來行駛8天的路程就得花9天多的時間，用不等式表示為________．解析：①原來每天行駛xkm，現(xiàn)在每天行駛(x＋19)km.則不等關系“在8天內(nèi)的行程超過2200km”，寫成不等式為8(x＋19)＞2200.②若每天行駛(x－12)km，則不等關系“原來行駛8天的路程現(xiàn)在花9天多時間”，寫成不等式為8x＞9(x－12)．答案：8(x＋19)>22008x＞9(x－12)7．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________．解析：∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，－2≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，5≤eq\f(5,2)(x－y)≤eq\f(15,2)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴3≤z≤8.答案：{z|3≤z≤8}8．已知a，b∈R，a＋b＞0，試比較a3＋b3與ab2＋a2b的大小．解：因為a＋b＞0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.層級(二)實力提升練1．(多選)設a，b為正實數(shù)，下列命題正確的是()A．若a2－b2＝1，則a－b＜1B．若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b＜1C．若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，則|a－b|＜1D．若|a|≤1，|b|≤1，則|a－b|≤|1－ab|解析：選AD對于A，若a，b為正實數(shù)，則a2－b2＝1?a－b＝eq\f(1,a＋b)?a－b＞0?a＞b＞0，故a＋b＞a－b＞0，若a－b≥1，則eq\f(1,a＋b)≥1?a＋b≤1，這與a＋b＞a－b＞0沖突，故a－b＜1成立，所以A正確；對于B，取a＝5，b＝eq\f(5,6)，則eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，但a－b＝5－eq\f(5,6)＞1，所以B不正確；對于C，取a＝4，b＝1，則|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，但|a－b|＝3＜1不成立，所以C不正確；對于D，(a－b)2－(1－ab)2＝a2＋b2－1－a2b2＝(a2－1)(1－b2)≤0，即|a－b|≤|1－ab|，所以D正確．2．已知a1＞1,0＜a2＜1，設P＝eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)，Q＝eq\f(1,a1a2)＋1，則P與Q的大小關系為________(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：P－Q＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1a2)＋1))＝eq\f(a1＋a2,a1a2)－eq\f(1＋a1a2,a1a2)＝eq\f(a1－1＋a21－a1,a1a2)＝eq\f(a1－11－a2,a1a2)，因為a1＞1,0＜a2＜1，所以a1－1＞0,1－a2＞0，a1a2＞0，所以P－Q＝eq\f(a1－11－a2,a1a2)＞0，所以P＞Q.答案：＞3．某公司有20名技術(shù)人員，安排開發(fā)A，B兩類共50件電子器件，每類每件所需人員和預料產(chǎn)值如下：產(chǎn)品種類每件須要人員數(shù)每件產(chǎn)值/萬元A類eq\f(1,2)7.5B類eq\f(1,3)6今制定安排欲使總產(chǎn)值最高，則應開發(fā)A類電子器件________件，能使總產(chǎn)值最高為________萬元．解析：設應開發(fā)A類電子器件x件，則開發(fā)B類電子器件(50－x)件，則eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由題意得總產(chǎn)值：y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330(萬元)，當且僅當x＝20時，y取最大值330.答案：203304．已知－2＜a≤3,1≤b＜2，試求下列代數(shù)式的取值范圍．(1)a＋b；(2)2a－3b.解：(1)－1＜a＋b＜5.(2)由－2＜a≤3得－4＜2a≤6，①由1≤b＜2得－6＜－3b≤－3，②由①＋②得，－10＜2a－3b≤3.5．若bc－ad≥0，bd＞0，求證：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).證明：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bc－ad≥0?bc≥ad，,bd＞0?\f(1,bd)＞0，))?eq\f(c,d)≥eq\f(a,b)?eq\f(c,d)＋1≥eq\f(a,b)＋1?eq\f(c＋d,d)≥eq\f(a＋b,b)?eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d).層級(三)素養(yǎng)培優(yōu)練1．有三個房間須要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同．已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x＜y＜z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是()A．a(chǎn)x＋by＋cz B．a(chǎn)z＋by＋cxC．a(chǎn)y＋bz＋cx D．a(chǎn)y＋bx＋cz解析：選B法一：∵x＜y＜z，且a＜b＜c，∴ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(z－x)(b－c)＜0，∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；同理，az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(z－y)(a－b)＜0，∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx，∴最低費用為(az＋by＋cx)元．故選B.法二：特別值法，取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，則ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14，az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10，ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11，ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13，故選B.2．建筑設計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必需小于地板面積．但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件就越好，試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由．解：設住宅窗戶面積、地板面積分別為