2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2025屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動(dòng)探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識(shí)1.平面的基本事實(shí)基本事實(shí)1：過______________的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．當(dāng)三個(gè)點(diǎn)共線時(shí)，過這三點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)基本事實(shí)2：如果一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有________過該點(diǎn)的公共直線．基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線________．不在一條直線上兩個(gè)點(diǎn)一條平行2．基本事實(shí)的三個(gè)推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條_______直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條_______直線，有且只有一個(gè)平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系相交平行相交平行任何4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

圖形語言符號語言公共點(diǎn)直線與平面相交____________個(gè)平行____________個(gè)在平面內(nèi)____________個(gè)a∩α＝A1a∥α0a?α無數(shù)平面與平面平行____________個(gè)相交____________個(gè)α∥β0α∩β＝l無數(shù)

相等或互補(bǔ)【常用結(jié)論】1．過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．2．分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的直線平行或異面．夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(

)(2)兩兩平行的三條直線可以確定三個(gè)平面．(

)(3)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．(

)(4)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．(

)××××2．(教材改編)下列命題中正確的是(

)A．過三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．四邊形是平面圖形C．三條直線兩兩相交則確定一個(gè)平面D．兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域答案：D解析：對于A，過不在同一條直線上的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對于B，四邊形也可能是空間四邊形，不一定是平面圖形，故B錯(cuò)誤；對于C，三條直線兩兩相交，可以確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；對于D，平面是無限延展的，兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域，故D正確．3．(教材改編)三個(gè)平面最多把空間分成________部分，最少能把空間分成________部分．答案：8

4解析：三個(gè)平面可將空間分成4，6，7，8部分，所以三個(gè)平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．4．(易錯(cuò))已知兩條相交直線a，b，a∥平面α，b與α的位置關(guān)系是(

)A．b∥α B．b與α相交C．b?α D．b∥α或b與α相交答案：D解析：因?yàn)閍，b是兩條相交直線，所以a，b確定一個(gè)平面β，若β∥α，則b∥α，若β與α相交，則b與α相交．故選D.

課堂互動(dòng)探究案1.借助長方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能用定理解決問題．問題思考·夯實(shí)技能【問題1】“有且只有一個(gè)平面”“確定一個(gè)平面”“共面”三者之間有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：“確定一個(gè)平面”與“有且只有一個(gè)平面”是等價(jià)的，都包括“存在”和“唯一”兩個(gè)方面．但“共面”的意思是“在同一個(gè)平面內(nèi)”，只強(qiáng)調(diào)了“存在性”，不含“唯一性”．所以“共面”與前兩者是不同的．【問題2】分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？提示：不一定．它們可能異面，可能相交，也可能平行．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一

基本事實(shí)的應(yīng)用例1已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于點(diǎn)R，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．證明：(1)如圖所示．∵E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，∴EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面A1ACC1為α，平面BDEF為β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.∴Q是α與β的公共點(diǎn)．同理，P是α與β的公共點(diǎn)，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，R∈α，且R∈β.則R∈PQ，故P，Q，R三點(diǎn)共線．(3)由(1)知，EF∥BD且EF<BD，∴DE與BF相交．設(shè)交點(diǎn)為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，點(diǎn)M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.∴DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．題后師說共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法鞏固訓(xùn)練1如圖，已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，且點(diǎn)A，B，C在同一直線l上，點(diǎn)D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．證明：因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C在同一直線l上，點(diǎn)D不在直線l上，所以點(diǎn)A，B，D確定唯一的一個(gè)平面，設(shè)為α，所以l?α，因?yàn)镃∈l，所以C∈α，所以A，B，C，D∈α，所以AD?α，BD?α，CD?α，即直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．題型二

空間兩直線的位置關(guān)系角度一空間兩直線位置關(guān)系的判斷例2已知異面直線a、b分別在平面α、β內(nèi)，α∩β＝c，那么c與a、b的關(guān)系為(

)A．與a、b都相交

B．至少與a、b之一相交C．至多與a、b之一相交

D．只能與a、b之一相交答案：B解析：對于A，a∥c，b∩c＝M，且M?a，此時(shí)滿足題意，同理b∥c，a∩c＝N，且N?b，也滿足題意，此時(shí)A不成立；對于C，c與a、b都不相交，則c與a、b都平行，所以a、b平行，與異面矛盾，故C不正確；對于D，c可以與a、b都相交，交點(diǎn)為不同點(diǎn)即可，故D不正確．綜上所述，c至少與a、b之一相交，選項(xiàng)B是正確的．故選B.題后師說空間兩直線位置關(guān)系的判定方法鞏固訓(xùn)練2(多選)如圖是一個(gè)正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法正確的是(

)A．AB與CD是異面直線B．GH與CD相交C．EF與AB是異面直線D．EF與CD

是異面直線答案：AB解析：展開圖還原為幾何體后，如圖，AB與CD是異面直線，GH與CD相交，EF與AB是相交直線，EF與CD

是平行直線，所以A、B正確，C、D錯(cuò)誤．故選AB.

答案：D

題后師說求異面直線所成角的步驟

答案：C

答案：A

題后師說作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則(1)在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；(2)凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；(3)凡是相交的平面都要畫出它們的交線．鞏固訓(xùn)練4已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是(

)A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形答案：D解析：分別取D1C1，D1D，AD的中點(diǎn)H，M，N，連接GH，HM，MN，∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，∴HG∥EN，HM∥EF，F(xiàn)G∥MN，∴六邊形EFGHMN是過E，F(xiàn)，G這三點(diǎn)的截面圖，∴過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形．故選D.1．四棱錐P-ABCD如圖所示，則直線PC(

)A.與直線AD平行B．與直線AD相交C．與直線BD平行D．與直線BD是異面直線答案：D解析：根據(jù)異面直線的定義，不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線PC與直線AD、直線BD是異面直線．故選D.2．兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是(

)A．一定是異面直線B．一定是相交直線C．可能是平行直線D．可能是異面直線，也可能是相交直線答案：D解析：已知直線c與d是異面直線，直線a與直線b分別與兩條直線c與直線d相交于點(diǎn)A，B，C，D，根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，兩條直線相交，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合時(shí)，兩條直線異面，所以直線a，b的位置關(guān)系是異面或相交．故選D.3．在空間四邊形ABCD的各邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點(diǎn)，若EF∩GH＝P，則點(diǎn)P(

)A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．既在直線AC上也在直線BD上D．既不在直線AC上也不在直線BD上答案