專題16相交線及相交線中的角-原卷版+解析

專題16相交線及相交線中的角【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1相交線的概念相交線的定義：兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線相交．相對(duì)的，我們稱這兩條直線為相交線．（2）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．例．（2022春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOD+∠BOC=100°，則∠AOC是(

)A．150° B．130° C．100° D．90°變式1．（2019春·七年級(jí)單元測(cè)試）在一個(gè)平面內(nèi)，任意四條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有(

)A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)變式2．（2021春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列說(shuō)法正確的是（）A．一定有一個(gè)銳角B．一定有一個(gè)鈍角C．一定有一個(gè)直角D．一定有一個(gè)不是鈍角變式3．（2018秋·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察圖形，并閱讀相關(guān)的文字：那么8條直線相交，最多可形成交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．21 B．28 C．36 D．45◎考點(diǎn)題型2垂線、垂線段定理、點(diǎn)到直線的距離1、垂線的概念：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫做垂足。2、表示方法：如圖，a⊥b，垂足為Ｏ．記作：a⊥b于點(diǎn)Ｏ．【注】①.線段與線段，線段與射線，線段與直線，射線與射線，射線與直線垂直，是特指它們所在的直線互相垂直。②.兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個(gè)角為直角；若兩條直線的夾角為直角，則這兩條直線互相垂直。3、垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。4、垂線的畫(huà)法：一落、二移、三畫(huà)?！咀ⅰ拷?jīng)過(guò)一點(diǎn)畫(huà)射線或線段的垂線，是指它們所在直線的垂線，垂足的位置不固定，可能會(huì)出現(xiàn)在射線的反向延長(zhǎng)線或線段的延長(zhǎng)線上。垂線段定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（如圖，PA,PB,PC等線段中，PO最短）【注】①、垂線是一條直線，而垂線段是一條線段。②、經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段有且只有一條。6、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。【注】點(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說(shuō)畫(huà)出，畫(huà)出的是垂線段這個(gè)圖形．例．（2022春·新疆烏魯木齊·七年級(jí)烏魯木齊市第四十一中學(xué)?？计谀┫铝姓f(shuō)法中，正確的是（

）A．有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角B．不相交的兩條直線叫做平行線C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等變式1．（2018春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)诰毩?xí)過(guò)點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段，正確的是(

)A．A B．B C．C D．D變式2．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）若點(diǎn)P為直線a外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D為直線a上的不同的點(diǎn)，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3.那么點(diǎn)P到直線a的距離是A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3變式3．（2019春·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）點(diǎn)在直線外，點(diǎn)在直線上，兩點(diǎn)的距離記作，點(diǎn)到直線的距離記作，則與的大小關(guān)系是(

)A． B． C． D．◎考點(diǎn)題型3相交線中的角1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.∠3+∠4=180°【注】（1）對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；（2）如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角；（3）如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角；（4）兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2、同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角的知識(shí)點(diǎn)（1）同位角：在兩條直線的上方，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同位角。（同旁同側(cè)）如：∠1和∠5。（2）內(nèi)錯(cuò)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角。（內(nèi)部異側(cè)）如：∠3和∠5。（3）同旁內(nèi)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同旁內(nèi)角。（同旁內(nèi)側(cè)）如：∠3和∠6。（4）三線八角:指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個(gè)角，其中同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)。例．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）下列圖形中與不一定相等的是（

）A． B． C． D．變式1．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若∠1與∠2互余，∠3與∠2互補(bǔ)，∠4與∠3是對(duì)頂角，則∠4與∠1的數(shù)量關(guān)系是（

）A．∠1＝∠4 B．∠4＋∠1＝90° C．∠1－∠4＝90° D．∠4－∠1＝90°變式2．（2018春·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知是直線上一點(diǎn)，，平分，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．變式3．（2020春·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線AB，CD被直線EF所截，與AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列描述：①∠1和∠2互為同位角

②∠3和∠4互為內(nèi)錯(cuò)角，③∠1=∠4，④∠4+∠5=180°，其中，正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．③④專題16相交線及相交線中的角【思維導(dǎo)圖】◎考點(diǎn)題型1相交線的概念相交線的定義：兩條直線交于一點(diǎn)，我們稱這兩條直線相交．相對(duì)的，我們稱這兩條直線為相交線．（2）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．例．（2022春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠AOD+∠BOC=100°，則∠AOC是(

)A．150° B．130° C．100° D．90°【答案】B【詳解】試題分析：兩直線相交，對(duì)頂角相等，即∠AOD=∠BOC，已知∠AOD+∠BOC=100°，可求∠AOD=50°；又∠AOD與∠AOC互為鄰補(bǔ)角，即∠AOD+∠AOC=180°，將∠AOD的度數(shù)代入，可求∠AOC=130°．故選B．變式1．（2019春·七年級(jí)單元測(cè)試）在一個(gè)平面內(nèi)，任意四條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多有(

)A．7個(gè) B．6個(gè) C．5個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】在平面上畫(huà)出4條直線，分類討論相交的情況可得交點(diǎn)數(shù)，①當(dāng)這4條直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)時(shí)；②當(dāng)3條直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，第4條不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)；③當(dāng)4條直線中僅有兩兩直線相交時(shí)．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)4條直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)；②當(dāng)3條直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，第4條不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)4條直線中僅有兩兩直線相交時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)；所以，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn)．四條直線兩兩相交時(shí)交點(diǎn)最多為6個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相交線，能夠根據(jù)過(guò)同一交點(diǎn)的直線數(shù)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021春·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）兩條直線相交所成的四個(gè)角中，下列說(shuō)法正確的是（）A．一定有一個(gè)銳角B．一定有一個(gè)鈍角C．一定有一個(gè)直角D．一定有一個(gè)不是鈍角【答案】D【詳解】試題解析：因?yàn)閮蓷l直線相交，分為垂直相交和斜交，故分兩種情況討論：①當(dāng)兩直線垂直相交時(shí)，四個(gè)角都是直角，故A、B錯(cuò)誤；②當(dāng)兩直線斜交時(shí)，有兩個(gè)角是銳角，兩個(gè)角是鈍角，所以C錯(cuò)誤；綜上所述，D正確．故選D．考點(diǎn)：相交線．變式3．（2018秋·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察圖形，并閱讀相關(guān)的文字：那么8條直線相交，最多可形成交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．21 B．28 C．36 D．45【答案】B【詳解】解：找規(guī)律的方法是從特殊到一般,由題,觀察圖形可得：兩條直線1個(gè)交點(diǎn)，三條直線1+2個(gè)交點(diǎn)，四條直線1+2+3個(gè)交點(diǎn)n條直線相交最多可形成的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1+2+3+…+n-1=，∴8條直線相交，最多可形成交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為==28故選B．【點(diǎn)睛】本題屬于找規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合思想，正確計(jì)算解題是關(guān)鍵．◎考點(diǎn)題型2垂線、垂線段定理、點(diǎn)到直線的距離1、垂線的概念：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫做垂足。2、表示方法：如圖，a⊥b，垂足為Ｏ．記作：a⊥b于點(diǎn)Ｏ．【注】①.線段與線段，線段與射線，線段與直線，射線與射線，射線與直線垂直，是特指它們所在的直線互相垂直。②.兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個(gè)角為直角；若兩條直線的夾角為直角，則這兩條直線互相垂直。3、垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。4、垂線的畫(huà)法：一落、二移、三畫(huà)?！咀ⅰ拷?jīng)過(guò)一點(diǎn)畫(huà)射線或線段的垂線，是指它們所在直線的垂線，垂足的位置不固定，可能會(huì)出現(xiàn)在射線的反向延長(zhǎng)線或線段的延長(zhǎng)線上。垂線段定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（如圖，PA,PB,PC等線段中，PO最短）【注】①、垂線是一條直線，而垂線段是一條線段。②、經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段有且只有一條。6、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離?！咀ⅰ奎c(diǎn)到直線的距離是一個(gè)長(zhǎng)度，而不是一個(gè)圖形，也就是垂線段的長(zhǎng)度，而不是垂線段．它只能量出或求出，而不能說(shuō)畫(huà)出，畫(huà)出的是垂線段這個(gè)圖形．例．（2022春·新疆烏魯木齊·七年級(jí)烏魯木齊市第四十一中學(xué)?？计谀┫铝姓f(shuō)法中，正確的是（

）A．有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角B．不相交的兩條直線叫做平行線C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等【答案】C【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角、平行線的概念、垂直的性質(zhì)、同位角的概念解答即可．【詳解】解：A、只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，說(shuō)法正確，故本選項(xiàng)符合題意；D、兩直線平行，同位角相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了鄰補(bǔ)角、平行線的概念、垂直的性質(zhì)、同位角的概念，解題的關(guān)鍵是熟記相關(guān)概念并靈活運(yùn)用．變式1．（2018春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)诰毩?xí)過(guò)點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段，正確的是(

)A．A B．B C．C D．D【答案】A【詳解】A.根據(jù)垂線段的定義，故A正確；B.BD不垂直AC，所以錯(cuò)誤；C.是過(guò)點(diǎn)D作的AC的垂線，所以錯(cuò)誤；D.過(guò)點(diǎn)C作的BD的垂線，也錯(cuò)誤.故選：A.變式2．（2022春·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）若點(diǎn)P為直線a外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D為直線a上的不同的點(diǎn)，其中PA＝3，PB＝4，PC＝5，PD＝3.那么點(diǎn)P到直線a的距離是A．小于3 B．3 C．不大于3 D．不小于3【答案】C【分析】利用垂線段最短的性質(zhì)，得出點(diǎn)P到直線a的距離取值范圍．【詳解】∵點(diǎn)P為直線外一點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、D為直線l上的不同的點(diǎn)，其中PA=3，PB=4，PC=5，PD=3，垂線段最短∴點(diǎn)P到直線a的距離是不大于3．故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段最短，利用PD=3，得出點(diǎn)P到直線a的距離是解題關(guān)鍵．變式3．（2019春·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）點(diǎn)在直線外，點(diǎn)在直線上，兩點(diǎn)的距離記作，點(diǎn)到直線的距離記作，則與的大小關(guān)系是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】分兩種情況：①a和b構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且a是斜邊，b是直角邊，所以a＞b；②若B是垂足時(shí)，a=b．【詳解】如圖，a是斜邊，b是直角邊，∴a＞b，若點(diǎn)A、點(diǎn)B所在直線垂直直線m，則a=b，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，明確點(diǎn)到直線的距離是這點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度，屬于基礎(chǔ)題．◎考點(diǎn)題型3相交線中的角1、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對(duì)頂角112∠1與∠2有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線對(duì)頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.∠3+∠4=180°【注】（1）對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；（2）如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角；（3）如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角；（4）兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).2、同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角的知識(shí)點(diǎn)（1）同位角：在兩條直線的上方，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同位角。（同旁同側(cè)）如：∠1和∠5。（2）內(nèi)錯(cuò)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫內(nèi)錯(cuò)角。（內(nèi)部異側(cè)）如：∠3和∠5。（3）同旁內(nèi)角：在在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角叫同旁內(nèi)角。（同旁內(nèi)側(cè)）如：∠3和∠6。（4）三線八角:指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個(gè)角，其中同位角4對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)，同旁內(nèi)角有2對(duì)。例．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┫铝袌D形中與不一定相等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)頂角，平行線，等角的余角相等等知識(shí)一一判斷即可．【詳解】解：A、根據(jù)對(duì)頂角相等可知，∠1=∠2，本選項(xiàng)不符合題意．B、∵∠1+∠2=90°，∠1與∠2不一定相等，本選項(xiàng)符合題意．C．根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：∠1=∠2，本選項(xiàng)不符合題意．D、根據(jù)等角的余角相等，可知∠1=∠2，本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)對(duì)頂角的性質(zhì)，等角的余角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．變式1．（2022秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若∠1與∠2互余，∠3與∠2互補(bǔ)，∠4與∠3是對(duì)頂角，則∠4與∠1的數(shù)量關(guān)系是（

）A．∠1＝∠4 B．∠4＋∠1＝90° C．∠1－∠4＝90° D．∠4－∠1＝90°【答案】D【分析】根據(jù)題意，得∠1+∠2=90°，∠3+∠2=180°，∠4=∠3，作差后，運(yùn)用等量代換的思想即可確定．【詳解】∵∠