模型05相似三角形中的常見(jiàn)五種基本模型(原卷版+解析)

模型探究模型探究相似三角形考查范圍廣，綜合性強(qiáng)，其模型種類多，其中有關(guān)一線三垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在重復(fù).模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型與反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）模型四、共邊角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例題精講例題精講考點(diǎn)一、A字相似模型【例1】．如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于點(diǎn)H，與DE交于點(diǎn)G．若，則＝．【變式1-2】.如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于D，則＝__________.【變式1-3】．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分線AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的長(zhǎng)度．

考點(diǎn)二、8字與反8字相似模型【例2】．如圖，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分別交BC于點(diǎn)G、H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【變式2-2】．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為（）A．8 B．10 C．12 D．14【變式2-3】.如圖，銳角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，則DE：BC＝．考點(diǎn)三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）【例3】.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D和E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，連接DE，DC與BE交于點(diǎn)O，若△DOE的面積為1，則△ABC的面積為（）A．6 B．9 C．12 D．13.5變式訓(xùn)練【變式3-1】.如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝．【變式3-2】．如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點(diǎn)F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的長(zhǎng)；（2）求FG的長(zhǎng)．【變式3-3】.如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，，．（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．模型四、子母型相似模型【例4】.如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．變式訓(xùn)練【變式4-1】.如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．【變式4-2】.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，連接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C． D．2【變式4-3】．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為．模型五、手拉手相似模型【例5】.如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值為．

變式訓(xùn)練【變式5-1】.如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求證：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．【變式5-2】.如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．【變式5-3】．如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k為常數(shù)），則BD的長(zhǎng)為．（用含k的式子表示）實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A．＝ B． C． D．2．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：3．如圖，菱形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，G點(diǎn)、H點(diǎn)在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，則下列選項(xiàng)中的線段，何者長(zhǎng)度最長(zhǎng)？（）A．CF B．FD C．BE D．EC4．如圖，在△ABC中，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（）A．6 B．9 C．12 D．185．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△A′B′C，當(dāng)A′B′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，△B′CD為等腰三角形，若BB′＝2，則AA′等于（）A． B．2 C． D．6．如圖，已知，△ABC中邊AB上一點(diǎn)P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，則BP＝．7．如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是．8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作DE∥AC分別交邊AB、BC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AC于點(diǎn)F，如果DF＝4，那么BE的長(zhǎng)為．9．如圖，已知Rt△ABC中，兩條直角邊AB＝3，BC＝4，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到Rt△DBE，并且點(diǎn)A落在DE邊上，則sin∠ABE＝．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．（1）求線段DE的長(zhǎng)；（2）取線段AD的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求的值．

11．如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求ME的長(zhǎng)．12．[問(wèn)題背景]（1）如圖①，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE．[嘗試應(yīng)用]（2）如圖②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，①填空：＝；②求的值．13．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，連接EN、EF．（1）求證：△ABN∽△MBE；（2）求證：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周長(zhǎng)；②若點(diǎn)G、F分別是EF、CD的中點(diǎn)，連接NG，則NG的長(zhǎng)為．14．問(wèn)題背景如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試應(yīng)用如圖（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，求的值；拓展創(chuàng)新如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接寫(xiě)出AD的長(zhǎng)．15．如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）①猜想如圖1中線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系BG＝DE及所在直線的位置關(guān)系BG⊥DE；②將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2，如圖3情形．請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷①中得到的結(jié)論是否仍然成立，并選取圖2證明你的判斷；（2）將原題中正方形改為矩形（如圖4﹣6），且AB＝a，BC＝b，CE＝ka，CG＝kb（a≠b，k＞0），則線段BG、線段DE的數(shù)量關(guān)系＝及所在直線的位置關(guān)系BG⊥DE；（3）在第（2）題圖5中，連接DG、BE，且a＝4，b＝3，k＝，直接寫(xiě)出BE2+DG2的值為．模型探究模型探究相似三角形考查范圍廣，綜合性強(qiáng)，其模型種類多，其中有關(guān)一線三垂直模型在前面的專題已經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在重復(fù).模型一、A字型相似模型A字型（平行）反A字型（不平行）模型二、8字型與反8字型相似模型模型三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）模型四、共邊角相似模型（子母型）模型五、手拉手相似模型例題精講例題精講考點(diǎn)一、A字相似模型【例1】．如圖，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確．D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于點(diǎn)H，與DE交于點(diǎn)G．若，則＝．解：∵，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，故答案為．【變式1-2】.如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長(zhǎng)，交BC的延長(zhǎng)線于D，則＝__________.解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．【變式1-3】．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝9，BD＝7．AC＝12．△ABC的角平分線AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACD∽△ABC；（2）若AF＝8，求AE的長(zhǎng)度．解：（1）∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝AD+BD＝16，∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠BAC＝∠CAD，∴△ACD∽△ABC；（2）由（1）可知，△ACD∽△ABC，∴∠ABE＝∠ACF，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE∽△ACF，∴＝，即＝，∴AE＝＝．考點(diǎn)二、8字與反8字相似模型【例2】．如圖，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求的值解：∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴＝，∵，∴CD＝BD，∴，∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，AB∥CD，AE∥FD，AE、FD分別交BC于點(diǎn)G、H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．解：A、∵AB∥CD，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題目要求；B、∵AE∥DF，∴△CEG∞△CDH，∴＝，∴＝，∵AB∥CD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF＝DE，∵AE∥DF，∴，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題目要求；D、∵AE∥DF，∴△BFH∞△BAG，∴，故本選項(xiàng)符合題目要求；故選：D．【變式2-2】．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為（）A．8 B．10 C．12 D．14解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∵EA∥BC，∴△AEF∽△CBF，∵AE＝DE＝AD，CB＝AD，∴＝＝＝＝，∴AF＝AC，EF＝BF，∴S△ABF＝S△ABC，∴S△AEF＝S△ABF＝×S△ABC＝S△ABC，∵S△AEF＝2，∴S△ABC＝6S△AEF＝6×2＝12，故選：C．【變式2-3】.如圖，銳角三角形ABC中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，則DE：BC＝1：2．解：如圖，∵在△ADC中，∠A＝60°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∴∠ACD＝30°，∴＝．又∵在△ABE中，∠A＝60°，BE⊥AC于E，∴∠ABE＝30°，∴＝，∴＝．又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴DE：BC＝AD：AC＝1：2．故答案是：1：2．考點(diǎn)三、AX型相似模型（A字型及X字型兩者相結(jié)合）【例3】.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D和E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，連接DE，DC與BE交于點(diǎn)O，若△DOE的面積為1，則△ABC的面積為（）A．6 B．9 C．12 D．13.5解：∵點(diǎn)D和E分別是邊AB和AC的中點(diǎn)，∴O點(diǎn)為△ABC的重心，∴OB＝2OE，∴S△BOD＝2S△DOE＝2×1＝2，∴S△BDE＝3，∵AD＝BD，∴S△ABE＝2S△BDE＝6，∵AE＝CE，∴S△ABC＝2S△ABE＝2×6＝12．故選C．變式訓(xùn)練【變式3-1】.如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝24．解：方法一：∵DE是△ABC的中位線，∴D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，如圖過(guò)D作DM∥BC交AG于點(diǎn)M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（AAS），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM為△ABG的中位線，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位線，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，方法二：連接AE，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC，∵F是DE的中點(diǎn)，∴＝，∴＝＝，∵S△EFG＝1，∴S△ACG＝16，∵EF∥AC，∴＝＝，∴＝＝，∴S△AEG＝S△ACG＝4，∴S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，∴S△ABC＝2S△ACE＝24，故答案為：24．【變式3-2】．如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點(diǎn)F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的長(zhǎng)；（2）求FG的長(zhǎng)．解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴＝，即＝，∴EB＝3．（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴＝，即＝，∴EG＝，∴FG＝EG﹣EF＝．【變式3-3】.如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，，．（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．（1）證明：∵AB∥CD，∴＝＝，∵，∴＝，∴EF∥CD，∴AB∥EF．（2）解：設(shè)△ABE的面積為m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴＝（）2＝，∴S△CDE＝4m，∵＝＝，∴S△BEC＝2m，∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．模型四、子母型相似模型【例4】.如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．證明：（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC?BD．變式訓(xùn)練【變式4-1】.如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，∴當(dāng)∠ABP＝∠C時(shí)，滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故A正確；當(dāng)∠APB＝∠ABC時(shí)，滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故B正確；當(dāng)時(shí)，滿足兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，可判斷△ABP∽△ACB，故C正確；當(dāng)時(shí)，其夾角不相等，則不能判斷△ABP∽△ACB，故D不正確；故選：D．

【變式4-2】.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，連接BD，若∠ABC+∠BDC＝180°，AD＝2，CD＝4，則AB的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C． D．2解：∵∠ABC+∠BDC＝180°，∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴，∵AD＝2，CD＝4，∴，∴AB2＝12，∴AB＝2或﹣2（不合題意，舍去），故選：D．【變式4-3】．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為2．解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點(diǎn)I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴當(dāng)A、P、I在一條直線上時(shí)，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．模型五、手拉手相似模型【例5】.如圖，△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，則AD：BE的值為．解：連接OA、OD，∵△ABC與△DEF均為等邊三角形，O為BC、EF的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO＝30°，∠BAO＝30°，∴OD：OE＝OA：OB＝：1，∵∠DOE+∠EOA＝∠BOA+∠EOA即∠DOA＝∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE＝OA：OB＝AD：BE＝：1＝，故答案為：．變式訓(xùn)練【變式5-1】.如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．求證：（1）△BAC∽△DAE；（2）△BAD∽△CAE．證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE．∴△BAC∽△DAE；（2）∵△BAC∽△DAE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE．【變式5-2】.如圖，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠BDC＝90°，AB＝2，AC＝，∠BAD＝∠CBD＝30°，AD＝．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，過(guò)點(diǎn)D作AD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)M，連接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∠BDC＝∠MDA，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴＝，∵AC＝，∴BM＝3，在Rt△ABM中，AM＝＝＝，∴AD＝AM＝．【變式5-3】．如圖，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k為常數(shù)），則BD的長(zhǎng)為．（用含k的式子表示）解：如圖中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG，∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝4k，∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG+∠ADC＝90°，∴∠GDC＝90°，∴CG＝＝．∴BD＝CG＝，故答案為：．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，已知DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式中錯(cuò)誤的是（）A．＝ B． C． D．解：A、∵EF∥AB，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，故A正確，B、易知△ADE∽△EFC，∴＝，∴＝，故B正確．C、∵△CEF∽△CAB，∴＝，∴＝，故C正確．D、∵DE∥BC，∴＝，顯然DE≠CF，故D錯(cuò)誤．故選：D．2．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，則△ABC與△DCA的面積比為（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．：解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD＝＝＝，∵＝（）2＝∴△ABC與△DCA的面積比為4：9．故選：C．3．如圖，菱形ABCD中，E點(diǎn)在BC上，F(xiàn)點(diǎn)在CD上，G點(diǎn)、H點(diǎn)在AD上，且AE∥HC∥GF．若AH＝8，HG＝5，GD＝4，則下列選項(xiàng)中的線段，何者長(zhǎng)度最長(zhǎng)？（）A．CF B．FD C．BE D．EC解：∵AH＝8，HG＝5，GD＝4，∴AD＝8+5+4＝17，∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD＝AD＝17，∵AE∥HC，AD∥BC，∴四邊形AECH為平行四邊形，∴CE＝AH＝8，∴BE＝BC﹣CE＝17﹣8＝9，∵HC∥GF，∴＝，即＝，解得：DF＝，∴FC＝17﹣＝，∵＞9＞8＞，∴CF長(zhǎng)度最長(zhǎng)，故選：A．4．如圖，在△ABC中，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP交CE于點(diǎn)D，∠CBP的平分線交CE于點(diǎn)Q，當(dāng)CQ＝CE時(shí)，EP+BP的值為（）A．6 B．9 C．12 D．18解：如圖，延長(zhǎng)BQ交射線EF于M，∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分線，∴∠PBM＝∠CBM，∴∠M＝∠PBM，∴BP＝PM，∴EP+BP＝EP+PM＝EM，∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴＝2，∴EM＝2BC＝2×6＝12，即EP+BP＝12．故選：C．5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△A′B′C，當(dāng)A′B′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，△B′CD為等腰三角形，若BB′＝2，則AA′等于（）A． B．2 C． D．解：過(guò)D作DE⊥BC于E，則BE＝AD＝2，DE＝2，設(shè)B′C＝BC＝x，則DC＝x，∴DC2＝DE2+EC2，即2x2＝28+（x﹣2）2，解得：x＝4（負(fù)值舍去），∴BC＝4，AC＝，∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△A′B′C，∴∠DB′C＝∠ABC＝90°，B′C＝BC，A′C＝AC，∠A′CA＝∠B′CB，∴∴△A′CA∽△B′CB，∴，即∴AA′＝，故選：A．6．如圖，已知，△ABC中邊AB上一點(diǎn)P，且∠ACP＝∠B，AC＝4，AP＝2，則BP＝6．解：∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，∴△ACP∽△ABC，∴AC2＝AP?AB，即AB＝AC2÷AP＝16÷2＝8，∴BP＝AB﹣AP＝6．7．如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，如果△AEF的面積是4，那么△BCE的面積是36．解：∵在?ABCD中，AO＝AC，∵點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴＝＝，∵S△AEF＝4，＝（）2＝，∴S△BCE＝36，故答案為36．8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)G為ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作DE∥AC分別交邊AB、BC于點(diǎn)D、E，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AC于點(diǎn)F，如果DF＝4，那么BE的長(zhǎng)為8．解：連接BG并延長(zhǎng)交AC于H，∵G為ABC的重心，∴＝2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形DECF是平行四邊形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴＝2，∴BE＝8，故答案為：8．9．如圖，已知Rt△ABC中，兩條直角邊AB＝3，BC＝4，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到Rt△DBE，并且點(diǎn)A落在DE邊上，則sin∠ABE＝．解：∵將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定的角度得到Rt△DBE，∴BD＝AB，BC＝BE，∠ABD＝∠CBE，∠DEB＝∠ACB，∴∠D＝∠BAC＝∠BAD＝（180°﹣∠ABD），∴∠BEC＝（180°﹣∠CBE），∴∠D＝∠BEC，∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠DEB+∠BEC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵∠AGB＝∠EGC，∴∠ACE＝∠ABE，∵在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝DE＝5，過(guò)B作BH⊥DE于H，則DH＝AH，BD2＝DH?DE，∴DH＝＝，∴AD＝，∴AE＝DE﹣AD＝，∴sin∠ABE＝sin∠ACE＝＝＝，故答案為：．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交邊BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作CA的平行線，交邊AB于點(diǎn)E．（1）求線段DE的長(zhǎng)；（2）取線段AD的中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)BM，交線段DE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)線段BM交邊AC于點(diǎn)G，求的值．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，∴CD＝2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，∴BC＝6，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵DE∥CA，∴，∴DE＝4；（2）如圖，∵點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，∴DM＝AM，∵DE∥CA，∴，∴DF＝AG，∵DE∥CA，∴，∴，∵BD＝4，BC＝6，DF＝AG，∴．11．如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求ME的長(zhǎng)．解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設(shè)BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴＝，且∠ACB＝∠ACB∴△ABC∽△MEC∴∠CAB＝∠CME＝∠ACB∴ME＝CE＝212．[問(wèn)題背景]（1）如圖①，已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE．[嘗試應(yīng)用]（2）如圖②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D在BC邊上，＝，①填空：＝1；②求的值．（1）證明：如圖①，∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，＝，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．（2）解：①如圖②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴AD＝＝＝AE，∵＝，∴AD＝BD，∴AE＝BD，∴＝1，故答案為：1．②如圖②，連接CE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△BAC∽△CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，∴△BAD∽△CAE，∴∠ABC＝∠ACE，∴∠ADE＝∠ACE，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴＝，由①得AD＝AE，AD＝BD，∴＝＝，∴BD＝CE，∴AD＝×CE＝3CE，∴＝3，∴＝3，∴的值是3．13．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，連接EN、EF．（1）求證：△ABN∽△MBE；（2）求證：BM2+ND2＝MN2；（3）①求△CEF的周長(zhǎng)；②若點(diǎn)G、F分別是EF、CD的中點(diǎn)，連接NG，則NG的長(zhǎng)為．（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠ABN＝∠MBE＝45°，∠BME＝∠ABD+∠BAM＝45°+∠BAM，∵∠EAF＝45°，∴∠BAN＝∠EAF+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠BAN＝∠BME，∴△ABN∽△MBE．（2）證明：如圖1，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，連接MH，∴∠BAH＝∠DAN，AH＝AN，HB＝ND，∵∠MAN＝∠EAF＝45°，∴∠MAH＝∠BAH+∠BAM＝∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠MAH＝∠MAN，∵AM＝AM，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH＝MN，∵∠ABH＝∠ADN＝45°，∴∠MBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，∴BM2+HB2＝MH2，∴BM2+ND2＝MN2．（3）解：①如圖2，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABK，∴AK＝AF，∠BAK＝∠DAF，BK＝DF，∠ABK＝∠ADF＝90°，∴∠ABK+∠ABE＝180°，∴點(diǎn)K、點(diǎn)B、點(diǎn)E在同一條直線上，∵∠EAK＝∠BAE+∠BAK＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠EAK＝∠EAFM，∵AE＝AE，∴△EAK≌△EAF（SAS），∴EK＝EF，∴BE+DF＝BE+BK＝EK＝EF，∵CB＝CD＝AB＝4，∴CE+EF+CF＝CE+BE+DF+CF＝CB+CD＝4+4＝8，∴△CEF的周長(zhǎng)是8．②如圖2，∵F是CD的中點(diǎn)，∴CF＝DF＝CD＝2，∵∠C＝90°，∴CF2+EF2＝CE2，∵EF＝BE+DF＝BE+2，CE＝CB﹣BE＝4﹣BE，∴22+（4﹣BE）2＝（BE+2）2，解得BE＝，∴EF＝+2＝，∵∠MBE＝∠MAN＝45°，∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴＝，∴＝，∴∠AMB＝∠NME，∴△AMB∽△NME，∴∠NEM＝∠ABM＝45°，∴∠ENF＝∠MAN+∠NEM＝90°，∵G是EF的中點(diǎn)，∴NG＝EF＝