相對(duì)論理論的四維形式

§6.41相對(duì)論理論的四維形式在相對(duì)論中時(shí)間和空間不可分割,當(dāng)參考系改變時(shí),時(shí)空坐標(biāo)互相變換,三維空間和一維時(shí)間構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一體2——四維時(shí)空。四維時(shí)空理論可用簡潔的四維形式表述出來。利用這種形式可以很清楚地顯示出一些物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系,并且可以把相對(duì)性原理用非常明顯的形式表達(dá)出來。3先回顧一下三維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)性質(zhì)。先看二維平面上的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)坐標(biāo)系

′相對(duì)x′=xcosy′=-xsin+ysin

,+ycos

.于坐標(biāo)系

轉(zhuǎn)了一個(gè)角

。設(shè)平面上一點(diǎn)的坐標(biāo)在系為x,y;

在

′系x′,y′為。新舊坐標(biāo)之間有變換關(guān)系OP2=x2+y2=x′2+y′2=不變量41.滿足此式的二維平面上的線性變換稱為正交變換。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)屬于正交變換。5OP2=x2+y2=x′2+y′2=不變量設(shè)

為平面上任意矢量。在在

′系中的分量為 ′x

,系中的分量為

x

,

y;起彼伏′y

。這些分量有變換關(guān)系,ysin

,6ycos′x

=

xcos

+′y=

-

xsin

+.矢量長度平方為|

|2=2x

+

2y=′2x+′2y

=不變量任現(xiàn)在討論三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)

系的直角坐標(biāo)為(x1,x2,x3),

′系的直角坐標(biāo)為(x′1,x′2,x′3)。三維坐標(biāo)線性變換一般具有形式x′1=a11

x1+a12

x2

+a13

x3,x′2=a21

x1+a22

x2

+a23

x3,x′1=a31

x1+a32

x2

+a33

x3.7坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)距離保持不變,應(yīng)有8x′12+

x′22+

x′32=

x12

+

x22

+

x32滿足此式的線性變換稱為正交變換。空間轉(zhuǎn)動(dòng)屬于正交變換,式中的系數(shù)

aij依賴于轉(zhuǎn)動(dòng)軸和轉(zhuǎn)動(dòng)角。坐在一般情形中,當(dāng)公式中出現(xiàn)重復(fù)下標(biāo)時(shí)(如上式右邊的j),往往都要對(duì)該指標(biāo)求和。這是現(xiàn)代物理中通用的約定。9愛因斯坦約定:

除特別聲明外,

凡有重復(fù)下標(biāo)時(shí)都意味著要對(duì)它求和。以后為了書寫方便,

省略求和符號(hào)。變換式可簡寫為正交條件是10正交1112轉(zhuǎn)置矩陣正交條件式可用矩陣乘法寫為其中I為單位矩陣變13根據(jù)物理量在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換性質(zhì)分類142標(biāo)量、矢量、張量等在空間中沒有取向關(guān)系,當(dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)保持不變的物理量。如質(zhì)量、電荷等。設(shè)在坐15標(biāo)系

中某標(biāo)量用u表示,在轉(zhuǎn)動(dòng)后的坐標(biāo)系′中用u′表示。由標(biāo)量不變性有u′=

u在空間中有一定的取向性,用三個(gè)分量表示的,當(dāng)空間坐標(biāo)作轉(zhuǎn)動(dòng)變換時(shí),三個(gè)分量按同一方式變化的物理量。例如速度、力、電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度等都是矢量。以 代表矢量,在坐標(biāo)系中的分量為 i,在轉(zhuǎn)動(dòng)后的 ′系中的分量為 ′i。與坐標(biāo)變換式對(duì)應(yīng),有矢量變換關(guān)系16有些微分算符也具有矢量性質(zhì)17這類物理量要用兩個(gè)矢量指標(biāo)表示,有9個(gè)分量,顯示出更復(fù)雜的空間取向性質(zhì)。當(dāng)空間轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其分量Tij按以下方式變換具有這種變換關(guān)系的物理量稱為二階張量。例如應(yīng)力張量,電四極矩等。(4.19)18Tij=

Tji對(duì)稱張量變換后仍為對(duì)稱張量19Tij=

-Tji反對(duì)稱張量變換后仍為反對(duì)稱張量20對(duì)稱張量的跡是一個(gè)標(biāo)量21跡22Tii無跡對(duì)稱張量反對(duì)稱張量Tij=

Tji

,

Tii=0,Tij=

-Tji

.電四極矩就是一個(gè)無跡對(duì)稱張量,它只有5個(gè)獨(dú)立分量。兩矢量

和w的標(biāo)積

iwi是一個(gè)標(biāo)量。23j作出乘積Tijjiwi=aij

j

aikwk

=

ik張量Tij可以和一個(gè)矢量jwk

=

jwj

=不變量此式具有矢量的變換關(guān)系,因此是一個(gè)矢量?！鋔=

aik

ajl

Tkl

ajn

n

=

aik

lnTkl

n

=

aikT′ijj三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)是滿足距離不變的線性變換,即x′1

+x′2

+x′3

=x1

+x2

+x3

=不變量2

2

2

2

2

2.洛倫茲變換的四維形式24洛倫茲變換是滿足間隔不變的四維時(shí)空線性變換25x′12+

x′22+

x′32

－

c2

t′2

=

x12

+

x22

+

x32

－

c2

t2形式上引入第四維虛數(shù)坐標(biāo)x4=ict則間隔不變式可寫為26x′12+x′22+x′32

+x′42

=x12

+x22

+x32

+x42=不變量以后在下角指標(biāo)中用拉丁字母代表1-3,希臘字母代表1-4,間隔不變式可寫為x′

2

x′

2=

x2

x2

=不變量洛倫茲變換是滿足間隔不變性式的四維線性變換27x′

=

a

x洛倫茲變換形式上可以看作四維空間的“轉(zhuǎn)動(dòng)”,因而三維正交變換的關(guān)系可以形式上推廣到洛倫茲變換中去。須注意的是,這四維空間的第四個(gè)坐標(biāo)是虛數(shù),因此它是復(fù)四維空間,不同于實(shí)數(shù)的四維歐幾里德(Euclid)空間。28沿x軸方向的特殊洛倫茲變換式的變換矩陣為29變變換式滿足正交條件30在四維形式中,時(shí)間與空間統(tǒng)一在一個(gè)四維空間內(nèi),慣性參考系的變換相當(dāng)于四維空間的“轉(zhuǎn)動(dòng)”。由于物質(zhì)在時(shí)空中運(yùn)動(dòng),描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和屬性的物理量必然會(huì)反映出時(shí)空變換的特點(diǎn)。把三維情形推廣,我們也可以按照物理量在四維空間轉(zhuǎn)動(dòng)（洛倫茲變換）下的變換性質(zhì)來把物理量分類。314四維矢量四維張量32u′=

u洛倫茲標(biāo)量在慣性系變換下與坐標(biāo)有相同變換關(guān)系這些物理量(標(biāo)量、矢量和各階張量)在洛倫茲變換下有確定的變換性質(zhì)間隔為洛倫茲標(biāo)量固有時(shí)洛倫茲標(biāo)量33通常意義下的速度ui不是四維矢量的分量通常意義下的速度ui是用參考系的時(shí)間量度的位移變換率,

ui的變換式不同于洛倫茲變換。因?yàn)楫?dāng)坐標(biāo)系變換時(shí),

dxi按四維矢量的分量變換,

但dt也發(fā)生改變,因此ui就不按矢量方式變換。34U是用固有時(shí)量度的位移變換率U的前三個(gè)分量和普通速度聯(lián)系著,當(dāng) <<c時(shí)即為u, 因此稱為四維速度。參考系變換時(shí),四維速度有變換關(guān)系35設(shè)有一角頻率為

,波矢量k為的平面電磁波在真空中傳播。在另一參考系

′上觀察,該電磁波的頻率和傳播方向都會(huì)發(fā)生改變(多普勒效應(yīng)和光行差效應(yīng))

。以

′和k′表示

′上觀察到的角頻率和波矢量。電磁波的相位因子在另一參考系觀察的相位因子36和

′的原點(diǎn)在時(shí)刻t=t′37兩參考系的原點(diǎn)上都觀第一事件:設(shè)參考系=0重合。在該時(shí)刻,察到電磁波處于波峰,相位

=

′

=0。系n個(gè)周期(t=2第二事件:在個(gè)波峰通過 系原點(diǎn),n。它在上的時(shí)空坐標(biāo)為(x=0,t=2時(shí)空坐標(biāo)(x′,t′)可用洛倫茲變換求得,n/

)后,

第n相位

=-2n/

),

在

′上的而相位同樣是

′

=

-2

n

。相位

和 ′的關(guān)系這是因?yàn)槟硞€(gè)波峰通過某一時(shí)空點(diǎn)是一個(gè)物理事件,

而相位只是計(jì)數(shù)問題,

不應(yīng)隨參考系而變。因此,

相位是一個(gè)不變量相位

和 ′的關(guān)系38類似x與ict合為四維矢量x

,

k與i/c合為另一個(gè)四維矢量k,

它們按四維矢量方式變換,

有四維波矢量39在洛倫茲變換下,k的變換式為洛倫茲變換40設(shè)波矢量k與x軸方向的夾角為

,k′與x軸的夾角為 ′,有－－相對(duì)論的多普勒效應(yīng)和光行差公式41若為光源的靜止參考系,則

′=

0,

0為靜止光源的輻射角頻率。運(yùn)動(dòng)光源輻射的角頻率為

上觀察者看到輻射方向<<c時(shí), ≈

1,

得經(jīng)典多普其中

為光源的運(yùn)動(dòng)速度,與光源運(yùn)動(dòng)方向的夾角。當(dāng)勒效應(yīng)公式42在垂直于光源運(yùn)動(dòng)方向觀察輻射時(shí),

經(jīng)典公式給出

=

0,

而相對(duì)論公式給出即在垂直于光源運(yùn)動(dòng)方向上,

觀察到的角頻率小于靜止光源的輻射頻率。這現(xiàn)象稱為橫向多普勒效應(yīng)。橫向多普勒效應(yīng)為LvesStilwell實(shí)驗(yàn)所證實(shí),

它是相對(duì)論時(shí)間延緩效應(yīng)的證據(jù)之一。43設(shè)在參考系

上觀察,由光源輻射出的光線在xy面上,與x軸有夾角

,則設(shè)

′系相對(duì)于

以速度

沿x軸方向運(yùn)動(dòng),在

′系上觀察到光線與x軸有夾角

′,光行差公式也可以由速度變換公式導(dǎo)出44光行差較早為天文觀(Bradley于1728年)測所發(fā)現(xiàn)。如設(shè)地球相對(duì)于太陽參考系 的運(yùn)動(dòng)速度為

,

在 上看到某恒星發(fā)出的光線的傾角為

=

-

,

在地球上用望遠(yuǎn)鏡觀察該恒星時(shí),傾角變?yōu)?/p>

′=

- ′

。由于<<c,

得45由于地球繞太陽公轉(zhuǎn),一年之內(nèi)地球運(yùn)動(dòng)速度的方向變化一個(gè)周期,因此,同一顆恒星發(fā)出的光線的表觀方向也變化一個(gè)周期。天文觀測證實(shí)了這種周期變化,并且由光線表觀方向的改變比較準(zhǔn)確地導(dǎo)出光的傳播速度。在相對(duì)論以前的以太理論中,光行差的存在表明地球相對(duì)于“以太”運(yùn)動(dòng),但以后的邁克爾孫實(shí)驗(yàn)卻否定了地球相對(duì)于“以太”的運(yùn)動(dòng)。正是這會(huì)總矛盾最后導(dǎo)致以太和絕對(duì)參考系的被否定,從而建立狹義相