黃金卷：2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)第一次月考卷（含答案及解析）【測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十章】（上海專用）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十章。5．難度系數(shù)：0.65。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．斜線與平面所成角的取值范圍是．2．已知空間兩個角和，若，，則．3．如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點，則和所成的角等于.4．如圖所示，是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖，已知軸，，且的面積為16，過作軸，則的長為.

5．下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形序號是．（寫出所有符合條件的序號）6．在空間中，三個平面最多能把空間分成部分．7．是空間兩條不同直線，是兩個不同平面，下面有四個命題：①，則，②，則，③，則，④，則，其中真命題的編號是.（寫出所有真命題的編號）8．平面的一條斜線段長是它在平面內(nèi)射影長的倍，則斜線與平面所成角的大小為．9．如圖，設(shè)P為矩形ABCD所在平面外一點，直線PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，則點P到直線BD的距離為.10．已知為直角三角形，且，，點是平面外一點，若，且平面，為垂足，則．11．如圖，正六棱柱的底面和頂面均為正六邊形，側(cè)棱均垂直于底面和頂面.其6個側(cè)面12條面對角線所在的直線中，與直線異面的共有條.

12．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，P是底面上一點．若平面BEF，則AP與平面成角的正弦值的取值范圍是．

二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．給出下面四個命題：①三個不同的點確定一個平面；②一條直線和一個點確定一個平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④兩條平行直線確定一個平面．其中正確的命題是（）A．① B．② C．③ D．④14．如圖，已知正四棱臺中，，，，點分別為，的中點，則下列平面中與垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面15．已知二面角為，點、分別在、內(nèi)且，到的距離為，到的距離為,則兩點之間的距離為（

）A． B． C． D．16．M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，對于下列兩個命題：①直線MN恒與平面ABD平行；②異面直線AC與MN恒垂直．以下判斷正確的是（

）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，在長方體中，，，點P為棱的中點．

(1)證明：∥平面；(2)求直線與平面所成角的正切值．18．已知三棱錐中，平面為中點，過點分別作平行于平面的直線交于點.

(1)求直線與平面所成的角的正切值；(2)證明：平面平面，并求直線到平面的距離.19．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，△是邊長為2的等邊三角形，，．(1)設(shè)中點，連接，，求證：平面；(2)求平面和平面所成銳二面角的大?。?0．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，在“陽馬”中，側(cè)棱底面，且.

(1)若，試計算底面面積的最大值；(2)過棱的中點作，交于點，連，，求證:直線平面；(3)若平面與平面所成銳二面角的大小為，試求的值.21．

(1)若F為的中點，試確定點G的位置，并說明理由；(2)在（1）的條件下，求截面AGEF與底面ABC所成銳二面角的正切值；(3)設(shè)截面AFEG的面積為，面積為，面積為，當(dāng)點F在棱上變動時，求的取值范圍．

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十章。5．難度系數(shù)：0.65。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．斜線與平面所成角的取值范圍是．【答案】【解析】由線面角的定義可知，線與面的夾角范圍為，又因為斜線與平面不垂直，不平行，也不在平面內(nèi)，所以斜線與平面所成角的取值范圍是.故答案為：.2．已知空間兩個角和，若，，則．【答案】或【解析】因為，，當(dāng)和開口方向相同時，；當(dāng)和開口方向相反時，.綜上所述：或.故答案為：或.3．如圖，在三棱錐中，，且，，分別是棱，的中點，則和所成的角等于.【答案】/【解析】如圖所示，取BC的中點G，連接FG，EG．，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，，，且，．為EF與AC所成的角（或其補角）．又，．又，，，為直角三角形，，又為銳角，，即EF與AC所成的角為．故答案為：．4．如圖所示，是利用斜二測畫法畫出的的直觀圖，已知軸，，且的面積為16，過作軸，則的長為.

【答案】【解析】因為軸，所以中，，又三角形的面積為16，所以.∴，所以.如圖作于，因為，所以.故答案為：.

5．下面四個正方體中，點A、B為正方體的兩個頂點，點M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形序號是．（寫出所有符合條件的序號）【答案】①②【解析】對于①，如圖1.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.又，所以.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.又平面，所以平面，故①正確；對于②，如圖2，連結(jié).因為點M、P分別為其所在棱的中點，所以.又，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以平面，故②正確；對于③，如圖3，連結(jié)、、.因為點M、N、P分別為其所在棱的中點，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可得平面.因為平面，平面，，所以平面平面.顯然平面，平面，所以平面，且與平面不平行，所以與平面不平行，故③錯誤；對于④，如圖4，連接，因為為所在棱的中點，則，故平面即為平面，由正方體可得，而平面平面，若平面，由平面可得，故，顯然不正確，故④錯誤.故答案為：①②.6．在空間中，三個平面最多能把空間分成部分．【答案】8【解析】三個平面兩兩平行時，可以把空間分成4部分，如圖1；三個平面中恰有兩個平面平行時，可把空間分成6部分，如圖2；三個平面兩兩相交于一條直線時，可以把空間分成6部分，如圖3；三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線互相平行時，可以把空間分成7部分，如圖4；三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點時，可以把空間分成8部分，如圖5，所以空間中的三個平面最多能把空間分成8部分．故答案為：8．7．是空間兩條不同直線，是兩個不同平面，下面有四個命題：①，則，②，則，③，則，④，則，其中真命題的編號是.（寫出所有真命題的編號）【答案】①④【解析】對于①，，必然存在一個平面使得，并且，又，正確；對于②，如果，則結(jié)論不成立，錯誤；對于③，如圖：

，構(gòu)造平面，使得，并且，則，在平面內(nèi)，作直線n，使得，顯然，錯誤；對于④，，又，正確；故答案為：①④.8．平面的一條斜線段長是它在平面內(nèi)射影長的倍，則斜線與平面所成角的大小為．【答案】/【解析】由題意，畫出如下的草圖，因為斜線段的長度是它在平面內(nèi)的射影長度的倍，連接，由斜線段與其射影，則是的直角三角形，所以是斜線段與平面所成的角，在中，，所以，所以，即斜線與平面所成角的大小為.故答案為：.

9．如圖，設(shè)P為矩形ABCD所在平面外一點，直線PA⊥平面ABCD，AB=3，BC=4，PA=1，則點P到直線BD的距離為.【答案】【解析】如圖，過作于，連接，直線PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，則面，，為所求的距離，在中，,在中，故答案為：.10．已知為直角三角形，且，，點是平面外一點，若，且平面，為垂足，則．【答案】5【解析】由，所以，即是的外心，又，則是的中點，所以．故答案為：5．11．如圖，正六棱柱的底面和頂面均為正六邊形，側(cè)棱均垂直于底面和頂面.其6個側(cè)面12條面對角線所在的直線中，與直線異面的共有條.

【答案】5【解析】與直線相交的有，與直線平行的有，剩余的與直線異面，共5條.故答案為：5.12．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，P是底面上一點．若平面BEF，則AP與平面成角的正弦值的取值范圍是．

【答案】【解析】如圖，取的中點，的中點M，連接AM，AN，MN，，，

由正方體，E，N分別為，的中點，易知，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面BEF，平面BEF，所以平面BEF，因為E，F(xiàn)分別為，的中點，由中位線性質(zhì)可得，同理可知，所以，又因為平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面，因為P是底面上一點，且平面，所以點，由分別為的中點，且，，則，，即，由，則，在等腰中，底邊上的高，則AP的長度的取值范圍為，設(shè)與平面成角為，在正方體中，易知平面，且為垂足，所以．故答案為：.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13．給出下面四個命題：①三個不同的點確定一個平面；②一條直線和一個點確定一個平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④兩條平行直線確定一個平面．其中正確的命題是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】對于①,三個不共線的點確定一個平面,故①錯;對于②,一條直線和直線外一個點確定一個平面,故②錯;對于③),空間兩兩相交的三條直線,且不能交于同一點,確定一個平面,故③錯;對于④,兩條平行直線確定一個平面,故④正確.故選：D.14．如圖，已知正四棱臺中，，，，點分別為，的中點，則下列平面中與垂直的平面是（

）A．平面 B．平面DMN C．平面ACNM D．平面【答案】C【解析】解：延長交于一點，取中點，連接，如圖所示：因為正四棱臺，所以為正四棱錐，因為，，，且，所以，即，解得，所以，即為等邊三角形，因為為中點，所以，且，同理可得，因為，所以，即，因為為中點，所以，故，，因為，，所以，，所以，，因為，，所以在上，在上，因為，，所以，，即，，因為平面ACNM，平面ACNM，，所以平面ACNM.故選：C.15．已知二面角為，點、分別在、內(nèi)且，到的距離為，到的距離為,則兩點之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，作交于，連接，作，，因為，，，平面，平面，所以平面，因為平面，所以，所以為二面角的平面角，即，因為平面，平面，所以，又，，，，所以，所以，同理，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，，所以.故選：.16．M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，將菱形沿對角線AC折起，使點D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過程中，對于下列兩個命題：①直線MN恒與平面ABD平行；②異面直線AC與MN恒垂直．以下判斷正確的是（

）A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題【答案】A【解析】因為M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點，所以，因為平面ABD，平面ABD，所以①直線MN恒與平面ABD平行正確；如圖，取中點，則（菱形對角線垂直），又，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因為平面，所以，因為，所以，所以②正確，故選：．三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，在長方體中，，，點P為棱的中點．

(1)證明：∥平面；(2)求直線與平面所成角的正切值．【解析】（1）如圖，

設(shè)和交于點，連接，為長方體，∴點為中點，∵點為中點，∴，（4分）∵平面，平面，∴∥平面.（6分）（2）為長方體，∴平面，則直線與平面所成角為，（8分），，所以直線與平面所成角的正切值為.（14分）18．已知三棱錐中，平面為中點，過點分別作平行于平面的直線交于點.

(1)求直線與平面所成的角的正切值；(2)證明：平面平面，并求直線到平面的距離.【解析】（1）如圖，

因為平面，連接，則即為直線與平面所成的角，（1分）又，，，為中點，可得，，所以，即直線與平面所成的角的正切值為.（6分）（2）由題知，平面，平面，，平面，所以平面平面.（8分）因為平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以就是直線到平面的距離，又為中點，ME∥AB，所以E為AC中點，所以，即直線到平面的距離為.（14分）19．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，△是邊長為2的等邊三角形，，．(1)設(shè)中點，連接，，求證：平面；(2)求平面和平面所成銳二面角的大?。窘馕觥浚?）證明：在等邊三角形中，，又因為，，面，所以面，因為面，（2分）所以，又，所以，，所以，即，又，、面，所以面；（6分）（2）設(shè)平面平面，又//，平面，平面，所以//平面，又平面，所以//，（8分）所以////，又，所以，又，所以，所以即為面和平面所成二面角的平面角，由（1）知，，所以△為等腰直角三角形，故面和平面所成銳二面角為．（14分）20．在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如圖，在“陽馬”中，側(cè)棱底面，且.

(1)若，試計算底面面積的最大值；(2)過棱的中點作，交于點，連，，求證:直線平面；(3)若平面與平面所成銳二面角的大小為，試求的值.【解析】（1）平面，平面，則，所以，又，所以，（1分）因為是矩形，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以底面面積的最大值是；（4分）（2）平面，平面，則，又，，平面，所以平面，又平面，所以，（6分），是中點，則，又，平面，所以平面，而平面，所以，又因為，，平面，所以平面；

（10分）（3）因為