黃金卷：2024-2025學年高二上學期入學摸底考試數(shù)學試卷-新高二數(shù)學開學摸底考（湖北專用）（含答案及解析）

新高二開學摸底考試卷（湖北專用）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若（是虛數(shù)單位），則復數(shù)的模為A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．若，，，則關于事件A與B的關系正確的是（

）A．事件A與B互斥不對立 B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B不相互獨立4．為了研究某種病毒與血型之間的關系，決定從被感染的人群中抽取樣本進行調(diào)查，這些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數(shù)比為4:3:3:2，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個樣本量為的樣本，已知樣本中O型血的人數(shù)比AB型血的人數(shù)多20，則（

）A．100 B．120 C．200 D．2405．已知樣本數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為16，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)，，，，，，12的方差為（

）．A． B． C． D．76．我國南北朝名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，預接筑為方錐，問：接筑高幾何？”大致意思是：有一個正四棱臺的上?下底面邊長分別為一丈?三丈，高為二丈五尺，現(xiàn)從上面補上一段，使之成為正四棱錐，則所補的小四棱錐的高是多少？那么，此高和原四棱臺的體積分別是(注：1丈等于10尺)（

）A．12.5尺?10833立方尺 B．12.5尺?32500立方尺C．3.125尺?10833立方尺 D．3.125尺?32500立方尺7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當時，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．數(shù)學必修二101頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，其中、、分別為內(nèi)角、、的對邊.若，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．在中，，，則角的可能取值為（

）A． B． C． D．10．已知正六邊形的中心為，則下列說法正確的是（

）A． B．C．存在實數(shù)，使得 D．11．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則下列結論正確的是（

）

A．該半正多面體的表面積為B．與平面所成角的正弦值為C．該半正多面體外接球的表面積為D．若點，分別在線段，上，則的最小值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．如圖，在中，，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，.設，，則的最小值為.

13．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若為鈍角三角形，，則外接圓的半徑R的取值范圍是．14．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個點A，B，C，P，且球心О在PC上，，，，則該鞠（球）的表面積為.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的宣傳使者.若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這人中35~45歲所有人的年齡的方差.16．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和對稱中心；(2)在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，求的取值范圍.17．A，B，C，D四人參加雙淘汰賽制比賽．在第一輪的兩場比賽中，A對B，C對D，這兩場比賽的勝者進入優(yōu)勝組，負者進入奮斗組．第二輪的兩場比賽分別為優(yōu)勝組和奮斗組的組內(nèi)比賽，奮斗組中的勝者與優(yōu)勝組中的負者均進入超越組，奮斗組中的負者直接被淘汰，優(yōu)勝組中的勝者進入卓越組，第三輪比賽為超越組組內(nèi)比賽，勝者進入卓越組，負者為季軍．第四輪比賽為卓越組組內(nèi)比賽，勝者為冠軍，負者為亞軍，每輪比賽都相互獨立．(1)設A，B，C，D四人每輪比賽的獲勝率均為．①求A和B都進入卓越組的概率；②求D參加了四輪比賽并獲得冠軍的概率．(2)若B每輪比賽的獲勝率為，A，C，D三人水平相當，求A，C進入卓越組且A，C之前賽過一場的概率．18．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.19．已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時，點為線段的中點．(1)求證：平面；(2)若為的中點①求與平面所成角的正弦值；②求二面角的平面角的余弦值．

新高二開學摸底考試卷（湖北專用）數(shù)學（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并上交。一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若（是虛數(shù)單位），則復數(shù)的模為A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復數(shù)的乘法、除法法則將復數(shù)表示為一般形式，然后利用復數(shù)的求模公式計算出復數(shù)的模.【詳解】因為，所以，所以，故選D.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法、除法法則以及復數(shù)模的計算，對于復數(shù)相關問題，常利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式進行求解，考查計算能力，屬于基礎題.2．已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．3．若，，，則關于事件A與B的關系正確的是（

）A．事件A與B互斥不對立 B．事件A與B對立C．事件A與B相互獨立 D．事件A與B不相互獨立【答案】C【分析】根據(jù)互斥與獨立事件的定義判斷即可【詳解】因為，所以與能同時發(fā)生，不是互斥事件，也不是對立事件，故AB錯誤；，所以，又，故成立，故事件A與B相互獨立，故C正確，D錯誤.故選：C.4．為了研究某種病毒與血型之間的關系，決定從被感染的人群中抽取樣本進行調(diào)查，這些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數(shù)比為4:3:3:2，現(xiàn)用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個樣本量為的樣本，已知樣本中O型血的人數(shù)比AB型血的人數(shù)多20，則（

）A．100 B．120 C．200 D．240【答案】B【分析】由題知，再解方程即可得答案.【詳解】解：因為感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人數(shù)比為4:3:3:2，所以，抽取樣本量為的樣本中，O型血的人數(shù)為，AB型血的人數(shù)為，所以，，解得故選：B5．已知樣本數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為16，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)，，，，，，12的方差為（

）．A． B． C． D．7【答案】C【分析】由均值、方差性質(zhì)求數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、方差，應用平均數(shù)、方差公式求新數(shù)據(jù)方差.【詳解】設數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，方差為，由，，得，，則，，，，，，12的平均數(shù)為，方差為．故選：C6．我國南北朝名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，預接筑為方錐，問：接筑高幾何？”大致意思是：有一個正四棱臺的上?下底面邊長分別為一丈?三丈，高為二丈五尺，現(xiàn)從上面補上一段，使之成為正四棱錐，則所補的小四棱錐的高是多少？那么，此高和原四棱臺的體積分別是(注：1丈等于10尺)（

）A．12.5尺?10833立方尺 B．12.5尺?32500立方尺C．3.125尺?10833立方尺 D．3.125尺?32500立方尺【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結構特征求出正四棱臺的高，再計算它的體積．【詳解】解：如圖所示，正四棱錐的下底邊長為三丈，即尺，高二丈五，即尺；截去一段后，得正四棱臺，且上底邊長為尺，所以，解得，所以該正四棱臺的體積是（立方尺）．故選：A．7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當時，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知，分別根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在時，恒成立，列出不等關系，通過賦值，并結合的本身范圍進行求解.【詳解】由已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得：，由于，所以，解得：①又因為函數(shù)在上恒成立，所以，解得：，由于，所以，解得：②又因為，當時，由①②可知：，解得；當時，由①②可知：，解得.所以的取值范圍為.故選：B.【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整體范圍滿足組對應的單調(diào)性或者對應的條件關系，羅列出等式或不等式關系，幫助我們進行求解.8．數(shù)學必修二101頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即，其中、、分別為內(nèi)角、、的對邊.若，，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】將已知等式結合進行化簡，得到，并利用正弦定理可得，代入“三斜求積”公式并將看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得解.【詳解】，，又，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得

的面積，，將看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當即a=2時，的面積S有最大值為.故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分）9．在中，，，則角的可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】由正弦定理，可得，又，所以，又，可得，可判斷各個選項.【詳解】由正弦定理，可得，又，所以，又，所以，即角為銳角，所以角的取值范圍為，故A，B正確.故選：AB.10．已知正六邊形的中心為，則下列說法正確的是（

）A． B．C．存在實數(shù)，使得 D．【答案】ACD【分析】對于ABC：根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì)結合向量的線性運算分析判斷；對于D：根據(jù)題意結合向量的數(shù)量積運算分析判斷.【詳解】如圖，不妨設正六邊形的邊長為1，對于選項A：因為，故A正確；對于選項B：因為，故B錯誤；對于選項C：因為，且，可知，故C正確；對于選項D：因為，則，，所以，故D正確；故選：ACD.11．半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，則下列結論正確的是（

）

A．該半正多面體的表面積為B．與平面所成角的正弦值為C．該半正多面體外接球的表面積為D．若點，分別在線段，上，則的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)給定的多面體，利用正四面體的性質(zhì)、線面角的定義、球的截面圓的性質(zhì)，以及多面體的側面展開圖，結合棱錐的表面積公式、球的表面積公式逐項判斷，即可得解.【詳解】解：該半正多面體的表面積為，選項A錯誤；選項B中，該半正多面體的所在的正四面體邊長為，可求得高為，

，設點在平面的射影為，如上圖，由比例關系可得，設與平面所成角為，則，選項B正確；

選項C中，該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心，如上圖，記球心為，半徑為，的中心為，連接、、、，由等邊的邊長為，可得，在正四面體中，可得，所以，，設，因為，可得,即，解得，即，所以，故該半正多面體外接球的表面積為，選項C正確；

選項D中，該半正多面體的展開圖如上圖所示，，，，，選項D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．如圖，在中，，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，.設，，則的最小值為.

【答案】【分析】根據(jù)三點共線求得的等量關系式，結合基本不等式求得的最小值.【詳解】因為，所以，所以，又，，所以，因為，，三點共線，所以，由圖可知，，所以，當且僅當，即、時取等號，所以的最小值為.

故答案為：【點睛】方法點睛：利用基本不等式求式子的最值，要注意一正、二定、三相等，正表示用基本不等式的，定表示用基本不等式后得到的需是定值，這個定值才是最值，三相等是指等號成立的條件是要存在.13．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，若為鈍角三角形，，則外接圓的半徑R的取值范圍是．【答案】【分析】化簡等式，結合鈍角三角形即可求出.由正弦定理可知由此即可求出外接圓的半徑R的取值范圍.【詳解】因為，所以，又因為：，所以，由正弦定理有：,而,又因為為鈍角三角形，不妨設,則，則,所以,所以外接圓的半徑.故答案為：.14．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務院批準已列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某鞠（球）的表面上有四個點A，B，C，P，且球心О在PC上，，，，則該鞠（球）的表面積為.【答案】【分析】畫出圖形，做出輔助線，利用勾股定理求出球的半徑，求出球的表面積.【詳解】如圖，取AB的中點M，連接MP，由得：連接CM并延長，交球O于點H，連接PH，因為PC球O的直徑，設球的半徑為R，則球的表面積為故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分，19題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構想的認知程度，針對本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人的平均年齡和第80百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔任本市的宣傳使者.若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，求這人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】（1）平均年齡歲，第80百分位數(shù)為；（2）10.【分析】（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)和百分位數(shù)；（2）由分層抽樣得第四組和第五組分別抽取人和人，進而設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，進而根據(jù)方差公式有，代入計算即可得答案.【詳解】解：（1）設這人的平均年齡為，則.設第80百分位數(shù)為，由，解得.（2）由頻率分布直方圖得各組人數(shù)之比為，故各組中采用分層隨機抽樣的方法抽取20人，第四組和第五組分別抽取人和人，設第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，，設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為10，據(jù)此，可估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為10.16．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和對稱中心；(2)在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）化簡的解析式，由此求得的最小正周期，利用整體代入法求得的對稱中心.（2）根據(jù)求得，利用正弦定理、三角恒等變換的知識化簡，根據(jù)三角函數(shù)值域的知識求得的取值范圍.【詳解】（1）由條件可知：，的最小正周期為，令，，解得，，的對稱中心為；（2）由正弦定理得，由（1），而，得，，，解得，，又，可得，，，代入上式化簡得：，又在銳角中，有，，，則有，.17．A，B，C，D四人參加雙淘汰賽制比賽．在第一輪的兩場比賽中，A對B，C對D，這兩場比賽的勝者進入優(yōu)勝組，負者進入奮斗組．第二輪的兩場比賽分別為優(yōu)勝組和奮斗組的組內(nèi)比賽，奮斗組中的勝者與優(yōu)勝組中的負者均進入超越組，奮斗組中的負者直接被淘汰，優(yōu)勝組中的勝者進入卓越組，第三輪比賽為超越組組內(nèi)比賽，勝者進入卓越組，負者為季軍．第四輪比賽為卓越組組內(nèi)比賽，勝者為冠軍，負者為亞軍，每輪比賽都相互獨立．(1)設A，B，C，D四人每輪比賽的獲勝率均為．①求A和B都進入卓越組的概率；②求D參加了四輪比賽并獲得冠軍的概率．(2)若B每輪比賽的獲勝率為，A，C，D三人水平相當，求A，C進入卓越組且A，C之前賽過一場的概率．【答案】(1)①；②；(2).【分析】（1）①分析A和B在第二輪、三輪的比賽結果，再利用相互獨立事件的概率公式計算作答；②按照D在第一輪的勝負分類，利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算作答.（2）由題意可得A，C在第一輪比賽中均獲勝進入第二輪，按負者與B、D比賽并獲勝分類求解作答.【詳解】（1）①若A和B都進入卓越組，則勝者需要贏得優(yōu)勝組組內(nèi)比賽的勝利，負者需要贏得奮斗組組內(nèi)比賽和超越組組內(nèi)比賽的勝利，則A和B都進入卓越組的概率為．②D參加了四輪比賽并獲得冠軍的情況有兩種：第一種情況：D在C，D組內(nèi)比賽獲勝，D進入優(yōu)勝組后進入超越組并獲勝，再進入卓越組并獲勝，其概率為；第二種情況：D在C，D組內(nèi)比賽后進入奮斗組并獲勝，再進入超越組并獲勝，最后進入卓越組并獲勝，其概率為，所以D參加了四輪比賽并獲得冠軍的概率為．（2）A，C進入卓越組且A，C之前賽過一場的情況有兩種：第一種情況：A，C在第一輪比賽中均獲勝并進入優(yōu)勝組，負者進入超越組與D比賽并獲勝，其概率為；第二種情況：A，C在第一輪比賽中均獲勝并進入優(yōu)勝組，負者進入超越組與B比賽并獲勝，其概率為，所以A，C進入卓越組且A，C之前賽過一場的概率為．18．如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，.【分析】（1）連接與，兩線交于點，連接，利用三角形中位線性質(zhì)得到，再利用線面平行的判定即可證.（2）應用線面垂直的性質(zhì)、判定可得平面，從而得到，根據(jù)和得到，再利用線面垂直的判定即