四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2綿陽南山中學(xué)高2022級(jí)高一上期期末自測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，集合，則C的子集的個(gè)數(shù)為（）A.3 B.8 C.7 D.16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到集合，然后求子集個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意得，所以集合的子集的個(gè)數(shù)為.故選：B.2.命題“，都有”的否定是（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得【答案】A【解析】【分析】全稱改存在，再否定結(jié)論即可.【詳解】命題“，都有”的否定是“，使得”.故選：A3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解三角函數(shù)的方程，由小范圍能推出大范圍，大范圍不能推出小范圍可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，，∴且，∴“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】ABD采用特殊值法判斷；C根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，則，故錯(cuò)誤；B.當(dāng)，時(shí)，則，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，，故C正確；D.當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：C5.已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再由三角函數(shù)定義得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故過定點(diǎn)，由三角函數(shù)定義可得：，.故選：A6.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得到，求出，再利用，可求出的值.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，解得，得，所以時(shí)，，則，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故.故選：B7.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，故選：C8.已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)正負(fù)性，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由圖象可知，所以，因?yàn)?，所以?1)可得：，由(3)可得：，所以，由(2)可得：，所以，因此有，所以函數(shù)是減函數(shù)，，所以選項(xiàng)A符合.故選：A.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列三角函數(shù)值為負(fù)數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，即可判斷答案.【詳解】對(duì)于A，，故A為正數(shù)；對(duì)于B，，故B為負(fù)數(shù)；對(duì)于C，，故C為負(fù)數(shù)；對(duì)于D，，故D為負(fù)數(shù)；故選：BCD10.下列關(guān)于冪函數(shù)說法正確的是（）A.圖像必過點(diǎn) B.可能非奇非偶函數(shù)C.都是單調(diào)函數(shù) D.圖像不會(huì)位于第四象限【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)隨著變化的圖像與性質(zhì)，即可判斷正誤.【詳解】?jī)绾瘮?shù)的解析式為，當(dāng)時(shí)，無論取何值，都有，圖像必過點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，此函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，此函?shù)為非奇非偶函數(shù)，所以可能是非奇非偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，此函數(shù)先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，則都單調(diào)函數(shù)不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，無論取何值，都有，所以圖像不會(huì)位于第四象限，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11.若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.有最大值 B.有最小值C.的最小值是10 D.【答案】AD【解析】【分析】利用可判斷A；利用可判斷B；展開后再利用基本不等式可判斷C，由再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D．【詳解】對(duì)于A，∵，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴，∴有最大值，∴選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到等號(hào)，所以C不正確；對(duì)于D，∵，∴，∴D正確．故選：AD.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.將的圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭坪笏玫膱D象可關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若在上有最小值－2，則D.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，且與的圖象共有2022個(gè)交點(diǎn)，記為（，2，…，2022），則的值為0【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A：由即可判斷；對(duì)B：由，可得的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，從而即可判斷；對(duì)C：，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)D：由函數(shù)和圖象關(guān)于對(duì)稱，則與圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)均關(guān)于對(duì)稱，從而即可求解判斷.詳解】對(duì)A：要使函數(shù)有意義，只需，即，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱可經(jīng)過平移后可關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確．對(duì)C：由B可知，當(dāng)且時(shí)，，在上遞減，，解得，但不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，在上遞增，，解得，符合題意．綜上得，，故C錯(cuò)．對(duì)D：∵，，∴的圖象關(guān)于對(duì)稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∴與圖象的交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)均關(guān)于對(duì)稱，，故D正確．故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.）13.計(jì)算：______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則運(yùn)算即可.【詳解】解：.故答案為：1.14.已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)已知等式得到；根據(jù)誘導(dǎo)公式和正余弦齊次式的求法可將所求式子化為關(guān)于的式子，代入的值即可得到結(jié)果.【詳解】，，.故答案為：.15.已知半徑為1的扇形，其面積與弧長(zhǎng)的比值為_________________．【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)扇形的面積公式求面積和弧長(zhǎng)的比值即可.【詳解】設(shè)弧長(zhǎng)為，面積為，半徑為，因?yàn)樯刃蚊娣e公式為，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x－2，且f（a）＝g（b）＝0，給出下列結(jié)論：（1）a>b，（2）a<b，（3）g（a）<0<f（b），（4）g（a）>0>f（b），（5）a＋b＝2，則上述正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】（2）（3）（5）【解析】【分析】根據(jù)根的存在性定理分別求出的范圍，利用數(shù)形集合進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y＝ex，y＝lnx，y＝x－2都是增函數(shù)，所以f（x）＝ex＋x－2，g（x）＝lnx＋x－2都是增函數(shù),f（0）＝e0＋0－2＝－1<0，f（1）＝e1＋1－2＝e－1>0，0<a<1，g（1）＝ln1＋1－2＝－1<0，g（2）＝ln2＋2－2＝ln2>0，1<b<2，0<a<1<b<2，故（2）正確，（1）錯(cuò)誤；a<b，g（a）<g（b）＝0，f（a）＝0<f（b），所以g（a）<0<f（b），故（3）正確，（4）錯(cuò)誤；令f（x）＝ex＋x－2＝0，g（x）＝lnx＋x－2＝0，則ex＝2－x，lnx＝2－x，由于函數(shù)y＝ex，y＝lnx的圖象和函數(shù)y＝2－x的圖象都相交，又y＝ex和y＝lnx互為反函數(shù)，且圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，函數(shù)y＝2－x的圖象也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，函數(shù)y＝2－x和y＝x的圖象的交點(diǎn)為(1，1)，如圖所示，所以a＋b＝2，即（5）正確．故答案為：（2）（3）（5）.【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在性定理求參數(shù)范圍，考查反函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算能力.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知點(diǎn)在角的終邊上，且.（1）求和的值；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義可得出關(guān)于的等式，可解出的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)的定義可求得的值；（2）求出的值，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切可求得結(jié)果.【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義可得，則，解得，所以，；（2）由三角函數(shù)的定義可得，所以，.18.如圖，已知全集，集合或．（1）集合C表示圖中陰影區(qū)域?qū)?yīng)的集合，求出集合C；（2）若集合，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，求即可；（2）易判斷，由端點(diǎn)建立不等式，可求a的取值范圍．【小問1詳解】，，由圖可知.故；【小問2詳解】因?yàn)?，故，因?yàn)椋?，解?19.在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，射線繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為．（1）求函數(shù)的解析式．并求的值；（2）若，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，而，根據(jù)所在象限，得出，進(jìn)而求出，再代入，即可求得；（2）由，得到，根據(jù)，得，利用平方關(guān)系解得，進(jìn)而可求出的值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，點(diǎn)在第三象限，所以，由此得，【小問2詳解】由于知，即由于，得，與此同時(shí)，所以由平方關(guān)系解得：，所以20.已知二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)）（1）若不等式的解集為或且，求函數(shù)在上的最值；（2）若b，c均為正數(shù)且函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）最大值為6，最小值為（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件建立相應(yīng)的關(guān)系式，求出即得的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)求最值；（2）利用已知條件判斷出的值，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，所以利用判別式得出范圍，寫出利用基本不等式求最小值即可.【小問1詳解】由的解集為或且知：所以，由對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為.【小問2詳解】由，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，則，又可知所以則則的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．21.據(jù)悉某市一號(hào)線一輛列車滿載時(shí)約為550人，人均票價(jià)為4元，十分適合中小城市的運(yùn)營.日前該市運(yùn)營公司通過一段時(shí)間的營業(yè)發(fā)現(xiàn)，每輛列車的單程營業(yè)額（元）與發(fā)車時(shí)間間隔（分鐘）相關(guān)：當(dāng)間隔時(shí)間達(dá)到或超過12分鐘后，列車均為滿載狀態(tài)；當(dāng)時(shí)，單程營業(yè)額與成正比；當(dāng)時(shí)，單程營業(yè)額會(huì)在時(shí)的基礎(chǔ)上減少，減少的數(shù)量為.（1）求當(dāng)時(shí)，單程營業(yè)額關(guān)于發(fā)車間隔時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式；（2）由于工作日和節(jié)假日的日運(yùn)營時(shí)長(zhǎng)不同，據(jù)統(tǒng)計(jì)每輛車日均次單程運(yùn)營.為體現(xiàn)節(jié)能減排，發(fā)車間隔時(shí)間，則當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少分鐘時(shí)，每輛列車的日均營業(yè)總額最大？求出該最大值.【答案】（1）（2）時(shí)，【解析】【分析】（1）由題意設(shè)當(dāng)時(shí)的函數(shù)表達(dá)式，由時(shí)滿載求得比例系數(shù)，進(jìn)而求得當(dāng)時(shí)表達(dá)式，寫為分段函數(shù)形式，即得答案；（2）由題意可得，，采用換元并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì),【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，a比例系數(shù)，由時(shí)滿載可知，即，則，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，,故.【小問2詳解】由題意可得，，化簡(jiǎn)得，，令，則，當(dāng)，即時(shí)，符合題意，此時(shí).22.已知函數(shù)，記.（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?？若存在，求出?shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，則說明理由.【答案】（1）（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）不存在，理由見解析【解析】【分析】(1)根據(jù)真數(shù)大于0，分別求