天津市南開中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/22022—2023學(xué)年度第一學(xué)期南開學(xué)校（高一）年級期末自測試卷數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題（70分）一、選擇題：本卷共14小題，每小題5分，共70分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選答案填入答題紙中的答題欄內(nèi).1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集和補集的概念，直接求解即可.【詳解】因為，，所以，又，所以.故選：A2.函數(shù)的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)周期公式直接求解即可.【詳解】的最小正周期為，故選：C3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】特稱量詞的否定是全稱量詞，據(jù)此得到答案.【詳解】特稱量詞的否定是全稱量詞：命題“，”否定是，故選：【點睛】本題考查了特稱量詞的否定，意在考查學(xué)生的推斷能力.4.已知x、y都是實數(shù)，那么“”的充分必要條件是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件與必要條件的概念，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，，故“”是“”的充分不必要條件，不符合題意；對于B，，即“”是“”的充要條件，符合題意；對于C，由得，或，，不能推出，由也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，不符合題意；對于D，由，不能推出，由也不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要條件，不符合題意；故選：B.【點睛】方法點睛：本題主要考查判定命題的充要條件，及不等式的性質(zhì)，充分條件、必要條件的三種判定方法：（1）定義法：根據(jù)，進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題．（2）集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題．（3）等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題．5.已知為角終邊上一點，則（）A.7 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再利用齊次化將弦化切進行求解.【詳解】為角終邊上一點，故，故.故選：B6.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理分析可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)圖象連續(xù)不斷，且，,,，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間是.故選：C7.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實數(shù)m的值是（）．A.或2 B.2 C. D.1【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)是冪函數(shù)可得，解得或2，再討論單調(diào)性即可得出.【詳解】是冪函數(shù)，，解得或2，當(dāng)時，在上是減函數(shù)，符合題意，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，不符合題意，.故選：C.8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A.b＜c＜a B.a＜b＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b【答案】A【解析】【分析】分別將與比較確定它們的大小關(guān)系．【詳解】；；．故．故選：A．9.若，，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求得和的值，結(jié)合兩角和的余弦公式，即可求解.【詳解】由，，可得，，則.故選：D.10.已知命題p：函數(shù)是R上的減函數(shù)，命題q：對都成立.若命題p和命題q中有且只有一個真命題，則實數(shù)a的取值范圍（）A.（2，3） B. C.（2，4） D.（3，4）【答案】B【解析】【分析】分別求出命題成立的等價條件，結(jié)合復(fù)合命題之間的關(guān)系進行求解即可.【詳解】函數(shù)是上的減函數(shù)，解得：對都成立,則，解得：，當(dāng)命題成立命題不成立時：，解得：不存在當(dāng)命題成立命題不成立時，，解得：實數(shù)取值范圍為：故選：B11.已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】存在兩個零點，等價于與的圖象有兩個交點，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】存在兩個零點，等價于與的圖象有兩個交點，在同一直角坐標(biāo)系中繪制兩個函數(shù)的圖象：由圖可知，保證兩函數(shù)圖象有兩個交點，滿足，解得：故選：A.12.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性，可排除A，C，根據(jù)當(dāng)時，即可排除B．得出答案.【詳解】因為，所以，所以為奇函數(shù)，故排除A，C．當(dāng)時，，，則，故排除B，故選:D．【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.13.已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可得，根據(jù)以及函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，所以，解得，可化為，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)以及函數(shù)的單調(diào)性解不等式是解題關(guān)鍵.14.已知函數(shù)，，若對任意的，總存在使得成立，則實數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出兩函數(shù)的最大值，然后由題意可知，再解關(guān)于的不等式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則，所以當(dāng)時，，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以，因為對任意的，總存在使得成立，所以，所以，解得，故選：C第Ⅱ卷（80分）二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.15.已知函數(shù)的圖象恒過點A，則點A的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】由，令真數(shù)為，即代入求值，可得定點坐標(biāo)．【詳解】∵，∴當(dāng)時，，∴函數(shù)的圖象恒過定點故答案為：16.已知扇形的圓心角為，扇形的面積為，則該扇形的弧長為____________.【答案】【解析】【分析】利用扇形的面積求出扇形的半徑，再帶入弧長計算公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：由于扇形的圓心角為，扇形的面積為，則扇形的面積，解得：，此扇形所含的弧長.故答案為：.17.（1）______；（2）的值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪以及對數(shù)運算性質(zhì)，以及特殊角對應(yīng)三角函數(shù)值，直接化簡求解即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系，直接化簡求解即可.【詳解】（1）；（2）.故答案為：；.18.已知，且，求的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，利用基本不等式可求得最小值.【詳解】，且，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用基本不等式求最值的問題，解題關(guān)鍵是能夠靈活利用已知條件中“”的等式，將所求項配湊成符合基本不等式的形式.19.已知，，則______；（2）______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出，，再由二倍角公式以及兩角和的正切公式求解即可.【詳解】因為，，所以，則，所以；.故答案為：；.20.若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足，解得，所以實數(shù)a的取值范圍.故答案為：21.已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是______.①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；③函數(shù)在單調(diào)遞減；④是以為最小正周期的周期函數(shù)；⑤可改寫為.【答案】①②⑤【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，可求出的解析式，進而對選項逐個分析，可得出答案.【詳解】解：由函數(shù)圖象可得，最小正周期，所以，故④錯誤；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即，所以，則，又，得，故函數(shù).對于①，當(dāng)時，，即點是函數(shù)的一個對稱中心，故①正確；對于②，當(dāng)時，，即直線是函數(shù)的一條對稱軸，故②正確；對于③，令，解得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故③錯誤；對于⑤，，故⑤正確.故答案為：①②⑤.三、解答題：本大題共3個小題，共45分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程.22.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值、最小值，并分別求出使該函數(shù)取得最大值、最小值時的自變量x的值.【答案】（1），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）當(dāng)時，取最大值為；當(dāng)時，取最小值為.【解析】【分析】（1）利用兩角和差正弦公式公式和輔助角公式化簡，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式和正弦函數(shù)單調(diào)性結(jié)論求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性確定其最大值、最小值及相應(yīng)的自變量x的值..【小問1詳解】由已知，所以，所以的最小正周期為.由化簡可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由(1)可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，同理可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，所以，當(dāng)時，取最大值為；當(dāng)時，取最小值為.23.已知函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù).（1）求的解析式；（2）判斷并證明在上的單調(diào)性；（3）解不等式.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出，得到函數(shù)解析式，再驗證即可；（2）任取，且，作差比較與，進而可根據(jù)單調(diào)性定義判斷出結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合題中條件列出不等式組求解，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】因為是定義域為上的奇函數(shù)，所以，即，解得，所以，又，所以是奇函數(shù)，符合題意；【小問2詳解】任取，且，則，因為，所以，，因此，即，所以在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】由得，因為在上單調(diào)遞增；所以，解得.故原不等式的解集為.24.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若不等式的解集是,求此時的解析式；（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)使得函數(shù)在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程關(guān)系，利用韋達定理，即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖像確定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可求解；（3）由二次函數(shù)圖像，求出函數(shù)可能取到的最大值，建立方程，求出參數(shù)，回代驗證；或由對稱軸，分類討論，確定二次函數(shù)圖象開口方向，函數(shù)在上的單調(diào)性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得結(jié)論.【詳解】解：(1)由題意得：是的根∵，解得∴(2)由（1）可得，其對稱軸方程為若在上為增函數(shù)，則，解得綜上可知，的取值范圍為(3)當(dāng)時，，函數(shù)在上的最大值是15，不滿足條件當(dāng)時，假設(shè)存在滿足條件的，則最大值只可能在對稱軸處取得，其中對稱軸①若，則有，的值不存在，②若，則，解得，此時，對稱軸，則最大值應(yīng)在處取得，與條件矛盾，舍去