山東高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)教學(xué)案設(shè)計(jì)參考-合情推理與演繹推理含答案解析

第3講合情推理與演繹推理

［考綱解讀］1.了解合情推理和演繹推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類

比推理.(重點(diǎn))

2.掌握演繹推理的三段論，并能運(yùn)用三段論進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理.

3.弄清推理的一般步驟：①實(shí)驗(yàn)、觀察、比較；②概括、聯(lián)想、類推、推廣;

③猜想新結(jié)論.

［考向預(yù)測(cè)］從近三年高考情況來(lái)看，演繹推理貫穿于整個(gè)高考試卷的始末，

而合情推理時(shí)有考查.預(yù)測(cè)2021年將會(huì)考查歸納猜想及類比推理的應(yīng)用.題

型為客觀題，試題具有一定的綜合性，屬中等難度試題.

基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)關(guān)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P200

1.推理

⑴定義：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)以已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的以思維過(guò)程就

是推理.

(2)分類：推理一般分為照合情推理和四演繹推理.

2.合情推理

⑴定義：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行01歸納、

類比,然后提出詛猜想的推理叫做合情推理.

(2)分類：數(shù)學(xué)中常用的合情推理有噂歸納推理和四類比推理.

(3)歸納和類比推理的定義、特征

名稱歸納推理類比推理

由某類事物的垣部分對(duì)象具

由兩類對(duì)象具有01某些類似

有某些特征，推出該類事物

特征和其中一類對(duì)象的某些

的國(guó)全部對(duì)象都具有這些特

定義已知特征，推出另一類對(duì)象

征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)

也具有這些特征的推理，叫

概括出一般結(jié)論的推理，叫

做類比推理

做歸納推理

由」部分到四整體、由Jffl個(gè)

特征由12特殊到在特殊的推理

別到口一般的推理

3.演繹推理

⑴定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推

理稱為演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到退特穌的推理.

(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情況；

③結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷.

Q診斷自測(cè)

1.概念辨析

(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.()

(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.()

(3)把a(bǔ)(b+c)與sin(x+y)類比，則有sin(x+y)=sinx+siny,此推理是正確

的.()

⑷演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正

確.()

答案(1)X(2)V(3)X(4)V

2.小題熱身

⑴①已知。是三角形一邊的長(zhǎng)，力是該邊上的高，則三角形的面積是全力，如

果把扇形的弧長(zhǎng)/,半徑r分別看成三角形的底邊長(zhǎng)和高，可得到扇形的面積

為暴；②由1=124+3=224+3+5=32,可得到1+3+5+…+(2篦-1)=足,

則①②兩個(gè)推理過(guò)程分別屬于()

A.類比推理、歸納推理B.類比推理、演繹推理

C.歸納推理、類比推理D.歸納推理、演繹推理

答案A

解析①由三角形的面積公式得到扇形的面積公式有相似之處，此種推理為

類比推理；②由特殊到一般，此種推理為歸納推理.

(2)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，_/(x)=sin(x2+l)是正弦函數(shù)，因此.穴X)=5畝(1+1)是奇

函數(shù)，以上推理()

A.結(jié)論正確B.大前提不正確

C.小前提不正確D.全不正確

答案C

解析f(x)=sin(x2+l)不是正弦函數(shù).

(3)已知數(shù)列｛”“｝中，?i=l,"22時(shí),1+2〃-1,依次計(jì)算。2,as,a4

后，猜想Z的表達(dá)式是()

A.a〃=3〃一1B.a〃=4〃一3

C.Cln=tvD.

答案C

解析a\=\,“2=4,43=9,04=16,猜想a”=n,

⑷在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1:2,則它們的面積比為1:4,

類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1：2,則它們的體積比為

答案1：8

^_35|/7'_51/?i

解析訪一。一區(qū)石

經(jīng)典題型沖關(guān)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P201

題型一類比推理

【舉例說(shuō)明】

1.等差數(shù)列｛m｝的公差為比前〃項(xiàng)的和為S,則數(shù)列為等差數(shù)列，公差

為苧類似地，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛為｝的公比為q,前〃項(xiàng)的積為T”，

則等比數(shù)列｛昕｝的公比為（）

A，2B.q1

C電D.筋

答案C

解析：在等差數(shù)列｛“”｝中前〃項(xiàng)的和為S”的通項(xiàng)，

且可寫成看=m+（〃-l）X爭(zhēng)所以在等比數(shù)列｛兒｝中應(yīng)研究前”項(xiàng)的積為。的

開“次方的形式.類比可得血=4（也）"-1,其公比為5.

2.（2019?揭陽(yáng)模擬）已知結(jié)論：“在△A8C中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等,

即喋7=七=/"，若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：”在三棱錐A一

szn/1sznosznC

BCD中,側(cè)棱AB與平面ACD,平面BCD所成的角為a,夕'，則有（）

BCADcADBC

R---=----

*sma-szny?sinaszn/?

S^BCDSMCDS^ACDS^BCD

?sina~sin。?sina~sin。

答案c

解析分別過(guò)B,A作平面ACO、平面88的垂線，垂足分別為E,F,則

ZBAE=a,/ABF=B，VB-ACD=^SMCD-BE=^SMCD-AB-sina,VA-BCD^S^

,S^BCDS^ACD

又QSAASABsina=]SABC/>ABsi啖,

BCD-AF=^S^BCD-AB-sin/3,sinasin￡'

【據(jù)例說(shuō)法】

1.類比推理的四個(gè)角度和四個(gè)原則

（1）四個(gè)角度

類比推理是由特殊到特殊的推理，可以從以下幾個(gè)方面考慮類比：

①類比的定義：如等差、等比數(shù)列的定義，見舉例說(shuō)明1;

②類比的性質(zhì)：如橢圓、雙曲線的性質(zhì)；

③類比的方法：如基本不等式與柯西不等式；

④類比的結(jié)構(gòu)：如三角形的內(nèi)切圓與三棱錐的內(nèi)切球.

(2)四個(gè)原則

①長(zhǎng)度類比面積；

②面積類比體積；

③平面類比空間見舉例說(shuō)明2；

④和類比積，差類比商.

2.類比推理的一般步驟

⑴找出兩類事物之間的相似性或一致性.

(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).

3.常見的類比推理題型的求解策略

在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注

意以下兩點(diǎn)：

⑴找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積

等等.

⑵找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，

邊相等對(duì)應(yīng)面積相等.

I【鞏固遷移】

如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)FH_LA于時(shí)，其離心率為

夸二，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃

金雙曲線”的離心率e等于_______.

…小+1

答案七一

解析設(shè)“黃金雙曲線”的方程為捻一處=1,則8(0"),2—c,O),Ag,0).在

“黃金雙曲線”中，因?yàn)獒荩?，所以?施=0.又彷=(c,b),AB=(-a,

222

b).所以廬=4.而b=c—a,所以c?—〃2=如在等式兩邊同除以屋，得e

=^5+1

—2-

題型二歸納推理多角探究

I【舉例說(shuō)明】

。角度1與數(shù)字有關(guān)的歸納推理

1.(2019?新鄉(xiāng)模擬)觀察下列各式11°X248=248,11X248=2728,112X248=

30008,113X248=330088,114X248=3630968,…，則11"X248的十位數(shù)是

()

A.2B.4

C.6D.8

答案C

解析記11”義248的十位數(shù)為a”，經(jīng)觀察易得：ao=4,ai=2,應(yīng)=0,。3=

8,04=6,45=4,46=2,…,則可歸納出｛“"｝的周期為5,則199=04=6.

。角度2與式子有關(guān)的歸納推理

2.(2019.洛陽(yáng)模擬)有下列一組不等式：

n11n1

---

-789-2…,根據(jù)這一規(guī)律，若第19個(gè)不等式為5+/y+W

H---1-->2，則m+n=.

答案61

eu?,,1,111,1,111,11,111,11,1,11

斛析因s為由5+6+7+F2-d+/0+$+15恐…，

根據(jù)這一規(guī)律，則第％個(gè)不等式為也+也+…+不區(qū)>；，若第19個(gè)不

KI乙KI3Z,KI乙乙

等式為A+Er+W+…+（當(dāng)即〃-攵+2=21,〃=2左+2=40,所以〃?

=21,〃=40,即加+〃=61.

9角度3與圖形有關(guān)的歸納推理

3.(2019?馬鞍山模擬)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在世界數(shù)學(xué)史上首次建立了數(shù)和形之間

的聯(lián)系，討論了各種平面數(shù)(包括三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五邊形數(shù)

等)，甚至將平面數(shù)推廣到了立體數(shù)，如圖所示：

其中三棱錐數(shù)依次為1,4,10,…，則第20個(gè)三棱錐數(shù)為.

〃1

附F+22+32+…+/=4〃(〃+1)(2〃+1)

\k=l/

答案1540

解析由棱錐數(shù)依次為1/+3/+3+6/+3+6+10,1+3+6+10+15,

則Si=l,S2=3,S3=6,54=10,55=15,

Sn=1+2+3+…+「=(2^=3(川+")，

則〃=Si+S2+S3+…

=^X(l2+l+22+2+32+3H---Fn2+?),

=1X[(12+22+32H----F〃2)+(I+2+3H---bn)]

=*〃(〃+1)(2〃+1)+(〃(〃+1)

=看?(〃+1)(/7+2),

.,.720o=7X20X21X22=1540.

【據(jù)例說(shuō)法】

歸納推理問(wèn)題的常見類型及解題策略

(1)與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符

號(hào)可解.見舉例說(shuō)明1.

(2)與式子有關(guān)的歸納推理

①與不等式有關(guān)的推理.觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，注意是縱向看，找到規(guī)律

后可解.見舉例說(shuō)明2.

②與數(shù)列有關(guān)的推理.通常是先求出幾個(gè)特殊項(xiàng)，采用不完全歸納法，找出

數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可.

⑶與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值

檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?見舉例說(shuō)明3.

I【鞏固遷移】

1.(2019?萍鄉(xiāng)一模)對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)m的。次幕進(jìn)行如圖方式的

“分裂”.仿此，52的“分裂”中最大的數(shù)是,若m3的“分裂”中

最小的數(shù)是211,則m的值為.

―

<I,W

2丁3

35□

W□

37

2<T9,□

51I5'

nW□

2

<75□

227

34

929

答案915

解析根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)：在/中所分解的最大的數(shù)是2〃一1；在

川中，所分解的最小數(shù)是/一〃+1.根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可求52分裂中，最大數(shù)是

5X2-1=9；若加的“分裂”中最小數(shù)是211,則川—葉i=2U,解得n

=15或一14(舍去).

11111

2.(2019?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)觀察下列式子，In2>yIn3>§+g,仙4>§+己+

7,…?根據(jù)上述規(guī)律，第n個(gè)不等式應(yīng)為.

答案In(〃+1)>'十|'+<+…

解析由ln2>g,In3>1+1,In4〉g+1+:,…，歸納得到］n(〃+1)>；+1+；

+…+dn(〃eN)

3.分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的

數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按

照如圖(1)所示的分形規(guī)律可得如圖(2)所示的一個(gè)樹形圖.若記圖(2)中第〃行

黑圈的個(gè)數(shù)為an,則02020=.

第1行

第2行

第3行

…32(,|9-1

答案―

解析根據(jù)題圖(1)所示的分形規(guī)律，可知1個(gè)白圈分形為2個(gè)白圈1個(gè)黑圈,

1個(gè)黑圈分形為1個(gè)白圈2個(gè)黑圈，把題圖(2)中的樹形圖的第1行記為(1,0),

第2行記為(2,1),第3行記為(5,4),第4行的白圈數(shù)為2X5+4=14,黑圈數(shù)

為5+2X4=13,所以第4行的“坐標(biāo)”為(14,13),同理可得第5行的“坐標(biāo)”

為(41,40),第6行的“坐標(biāo)”為(122J21),….各行黑圈數(shù)乘2,分別是

0,2,8,26,80,…，即1—1,3-1,9—1,27—1,81—1,…，所以可以歸納出第

Qn~1__1o2019__i

〃行的黑圈數(shù)Z=一(〃GN*),所以42020=-2—.

題型三演繹推理

【舉例說(shuō)明】

1.(2019?全國(guó)卷II)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)

測(cè).

甲：我的成績(jī)比乙高.

乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高.

丙：我的成績(jī)比乙高.

成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由

高到低的次序?yàn)?)

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

答案A

解析由于三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確.若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、

丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，于是三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、丙；若甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,

則甲、乙按成績(jī)由高到低的次序?yàn)橐?、甲，又假設(shè)丙預(yù)測(cè)正確，則乙、丙按

成績(jī)由高到低的次序?yàn)楸?、乙，于是甲、乙、丙按成?jī)由高到低排序?yàn)楸?/p>

乙、甲，從而乙的預(yù)測(cè)也正確，與事實(shí)矛盾；若甲、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則可推出

乙的預(yù)測(cè)也錯(cuò)誤.綜上所述，三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)榧?、乙、?故

選A.

2

2.數(shù)列｛如｝的前/項(xiàng)和記為S,已知ai=l,a”+i=—^—S"("eN*).證明:

⑴數(shù)列憎是等比數(shù)列；

=

(2)S〃+14斯.

..n+2

證明(1).1=S〃+1—S〃,a〃+1=~~—Sn9

/?(n+2)Sn=n(Sn+1—Sn),即nSn+1=2(n+1)S?.

言=2搟，又￥=1WO,(小前提)

〃十1rlL

故[譽(yù))是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論)

(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)

(2)由(1)可知&言=4』匕(〃22),

n+1n—1

..Sn\n-1+2

?.S“+]=4(〃+1)-r=4-j-Sni

n-1n~\

=4a〃(〃巳2),(小前提)

又a2=3Si=3,52=?I+a2=l+3=4=4?I,(小前提)

,對(duì)于任意正整數(shù)〃，都有S“+i=4a”.(結(jié)論)

(第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件)

【據(jù)例說(shuō)法】

1.推理案例問(wèn)題

比類問(wèn)題條件較多，做題時(shí)往往感到不知從哪里找到突破點(diǎn)，解答這類問(wèn)題,

一定要仔細(xì)閱讀題文，逐條分析所給條件，并將其引伸，找到各條件的融匯

之處和矛盾之處，多次應(yīng)用假設(shè)、排除、驗(yàn)證，清理出有用“線索”，找準(zhǔn)

突破點(diǎn)，從而使問(wèn)題得到解決.見舉例說(shuō)明L

2.三段論的應(yīng)用

(1)三段論推理的依據(jù)是：如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是"的子

集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.

(2)應(yīng)用三段論的注意點(diǎn)：解決問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)該明確什么是大前提，小前提,

然后再找結(jié)論.見舉例說(shuō)明2.

提醒：合情推理的結(jié)論是猜想，不一定正確；演繹推理在大前提、小前提和

推理形式都正確時(shí)，得到的結(jié)論一定正確.

【鞏固遷移】

1.(2019.寧夏平羅中學(xué)模擬)2018年4月4日，中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)第三季總決賽如

期舉行，依據(jù)規(guī)則：本場(chǎng)比賽共有甲、乙、丙、丁、戊五位選手有機(jī)會(huì)問(wèn)鼎

冠軍，某家庭中三名詩(shī)詞愛(ài)好者依據(jù)選手在之前比賽中的表現(xiàn)，結(jié)合自己的

判斷，對(duì)本場(chǎng)比賽的冠軍進(jìn)行了如下猜測(cè)：

爸爸：冠軍是乙或??；

媽媽：冠軍一定不是丙和?。?/p>

孩子：冠軍是甲或戊.

比賽結(jié)束后發(fā)現(xiàn)：三人中只有一個(gè)人的猜測(cè)是對(duì)的，那么冠軍是.

答案丁

解析若冠軍是甲或戊，孩子與媽媽判斷都正確，不符合題意；若冠軍是乙,

爸爸與媽媽判斷都正確，不符合題意；若冠軍是丙，三個(gè)人判斷都不正確，

不符合題意；若冠軍是丁，只有爸爸判斷正確，符合題意，故答案為丁.

2.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有1|+x)=—《|—x)成立.

證明y=/(x)是周期函數(shù)，并指出其周期.

解由且大一九)=_?r),知火3+x)=J植+(|+J=—

J,l—仔+')]=一八所以y=*x)是周期函數(shù)，且T=3是其一個(gè)周期.

課時(shí)作業(yè)

對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P290

0.組基礎(chǔ)關(guān)

1.下面四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()

A.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：兀是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：兀是無(wú)限

不循環(huán)小數(shù)

B.大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論:

兀是無(wú)理數(shù)

C.大前提：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)論:

兀是無(wú)理數(shù)

D.大前提：兀是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：兀是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：無(wú)限不循環(huán)小

數(shù)是無(wú)理數(shù)

答案B

解析對(duì)于A,小前提與大前提間邏輯錯(cuò)誤，不符合演繹推理三段論形式；

對(duì)于B,符合演繹推理三段論形式且推理正確；對(duì)于C,大小前提顛倒，不

符合演繹推理三段論形式；對(duì)于D,大小前提及結(jié)論顛倒，不符合演繹推理

三段論形式.

2.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：

①"mn=nm"類比得到"0力=比?！?；

②u(m+ri)t=mt-\-ntw類比得到“(a+5)-c=a-c+萬(wàn)c”；

③a類比得到"3b)c=a(小c)”；

(4)“tWO,mt=xt^m=x>,類比得到"pWO,0p=x-p=a=x"；

⑤“依?川=|利間”類比得到“|?；?同網(wǎng)”；

⑥噎W類比得到卷=K

以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()

A.lB.2

C.3D.4

答案B

解析?..向量的數(shù)量積滿足交換律，，①正確；???向量的數(shù)量積滿足分配律,

...②正確；?.?向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，.?.③不正確；?.?向量的數(shù)量積不

滿足消去律，，④不正確；由向量的數(shù)量積公式，可知⑤不正確；...向量的

數(shù)量積不滿足消去律，.?.⑥不正確；綜上知，正確的個(gè)數(shù)為2,故B正確.

3.已知l3+23=^2-l3+234-33=(y)-l3+23+33+43=^2,若13+23

+33+434----卜/=3025,則〃=()

A.8B.9

C.10D.11

答案C

解析觀察所提供的式子可知，等號(hào)左邊最后一個(gè)數(shù)是〃3時(shí)，等號(hào)右邊的數(shù)

為一2-2,因此，令-2-----=3025,則一2-=55,〃=10或〃=-11（舍

去）.

4.我們知道：在平面內(nèi)，點(diǎn)（xo,刈）到直線Ax+By+C=0的距離公式d=

|Aro+Byo+C|

,通過(guò)類比的方法，可求得:在空間中,點(diǎn)（2,4,1）到直線％+2〉

yl^+B2

+2z+3=0的距離為（）

A.3B.5

V--.7D.3小

答案B

解析利用類比的方法，在空間中，點(diǎn)（xo,yo,zo）到直線Ar+By+Cz+￡>=0

|Axo+3y)+Czo+Z)|

的距離/所以點(diǎn)（2,4,1）到平面x+2y+2z+3=0的距

y)A2+B2+C2

=2+8+2+315

離d=I,=-=-^-=5.

「1+4+43

5.設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,

則r=房豆？類比這個(gè)結(jié)論可知，四面體s—ABC的四個(gè)面的面積分別為

Si,S,S3,內(nèi)切球半徑為R,四面體S-ABC的體積為V,則R等于（）

V2V

A-------------------------R-------------------------

-5i+S2+S3+54-5I+S2+SS+S4

3V4V

C—：---：---：—D—:-----；---：—

'S1+S2+53+54-S1+S2+53+S4

答案C

解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O,則球心O到四個(gè)面的距離都是R,由

平面圖形中/?的求解過(guò)程類比空間圖形中R的求解過(guò)程可得四面體的體積等

于以。為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和，則四面體的體

I3V

積為V=V^S-ABC=^+S2+S3+S4)R,所以、+S2+S3+&?故選°

6.已知數(shù)列｛z｝的前〃項(xiàng)和為S,且ai=l,S=〃2a”（〃￡N*）,試歸納猜想出

Sn的表達(dá)式為（）

Ac2n2〃一1

A$-〃+iB-Sn=7+T

2〃+1__2〃

c-Sw=^+rD-s尸布

答案A

/4

解析?S"=〃％"=/(S"—Sn-1)??.S"=〃2_,又Sl=41=l,則S2=§,

36

--82〃

24'S4=5；猜想得S"=干,故選A.

7.（2019?長(zhǎng)春模擬）如圖，將平面直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的

點(diǎn)）按如下規(guī)則標(biāo)上數(shù)字標(biāo)簽：原點(diǎn)處標(biāo)0,點(diǎn)（1,0）處標(biāo)1,點(diǎn)（1,一1）處標(biāo)2,

點(diǎn)（0,—1）處標(biāo)3,點(diǎn)（一1,—1）處標(biāo)4,點(diǎn)（一1,0）處標(biāo)5,點(diǎn)（一1,1）處標(biāo)6,

點(diǎn)（0,1）處標(biāo)7,依此類推，則標(biāo)簽為20192的格點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（1009,1008）B.(1010,1009)

C.（2018,2017）D.(2019,2018)

答案B

解析觀察已知圖形可知,

點(diǎn)（1,0）處標(biāo)1,即已

點(diǎn)(2』)處標(biāo)9,即32,

點(diǎn)(3,2)處標(biāo)25,即52,

由此推斷，

點(diǎn)(〃+1,〃)處標(biāo)(2〃+1)2.

當(dāng)2〃+1=2019時(shí)，n=1009,

故標(biāo)簽為20192的格點(diǎn)的坐標(biāo)為(1010,1009).

8.若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，對(duì)于瓦=也。1+。2+…+勿)，則數(shù)列｛d｝也是等差數(shù)

列.類比上述性質(zhì)，若數(shù)列｛金｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于dn>0,則

dn=時(shí)，數(shù)列｛4｝也是等比數(shù)列.

答案中CIC20

解析在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，我們一般的思路有：

由加法類比推理為乘法，由減法類比推理為除法，由算術(shù)平均數(shù)類比推理為

幾何平均數(shù)等，故我們可以由數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則當(dāng)兒=[(0+〃2+…+

4")時(shí)，數(shù)列伯"｝也是等差數(shù)列.類比推斷：若數(shù)列｛C"｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等

比數(shù)列，則當(dāng)列=認(rèn)。?…1時(shí),數(shù)列｛“,｝也是等比數(shù)列.

9.甲、乙、丙三人各從圖書館借來(lái)一本書，他們約定讀完后互相交換.三人

都讀完了這三本書之后，甲說(shuō)：“我最后讀的書與丙讀的第二本書相同.”

乙說(shuō)：“我讀的第二本書與甲讀的第一本書相同.”根據(jù)以上說(shuō)法，推斷乙

讀的最后一本書是讀的第一本書.

答案丙

解析因?yàn)楣灿腥緯?，而乙讀的第一本書與第二本書已經(jīng)明確，只有丙讀

的第一本書乙還沒(méi)有讀，所以乙讀的最后一本書是丙讀的第一本書.

10.已知點(diǎn)A(xi，axl),8(x2，ax2)是函數(shù)y=a*的圖象上任意不同的兩點(diǎn),依

據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有

OX1.+QX2xl+x2

2>o—2一成立?運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)4xi，sinxi),8(x2,sinx2)

是函數(shù)y=sinx(x￡(0,兀))圖象上任意不同的兩點(diǎn)，則類似地有.

成立.

fsznxi+sinx?X\+x2

答案----2----<sin-^—

解析由題意知，點(diǎn)A,8是函數(shù)的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，該函數(shù)是

一個(gè)變化率逐漸變大的函數(shù)，線段AB總是位于A,3兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上

方，因此有空;三>岸必成立;而函數(shù)y=sinXxe（O,兀）），其變化率逐

漸變小，線段A8總是位于A,8兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的下方，故可類比得到結(jié)

SZ11X1+szil￥2Xl+%2

2<sin-2--

2且能力關(guān)

1.（2019?重慶模擬）2019年4月20日，重慶市實(shí)施高考改革方案，2018年秋

季入學(xué)的高中一年級(jí)的學(xué)生將實(shí)行“3+1+2”模式.即“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目

語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)所有學(xué)生必考；“1”為物理、歷史科目中選擇一科俗稱“2

選1”；“2”為再選學(xué)科，考生可在化學(xué)、生物、思想政治、地理4個(gè)科目中

選擇兩科俗稱“4選2”，選擇學(xué)科完全相同即為相同“組合”.某校高一年

級(jí)有三名同學(xué)甲，乙，丙根據(jù)自己喜歡的大學(xué)和專業(yè)情況均選擇了物理，為

了了解“4選2”選科情況，老師找這三名同學(xué)來(lái)談話情況如下：

甲說(shuō)：我選了化學(xué)，但沒(méi)有選思想政治；

乙說(shuō)：我與甲有一科相同，但沒(méi)有選化學(xué)和地理；

丙說(shuō)：我與甲有相同的選科，與乙也有相同選科，但我們?nèi)齻€(gè)選的“組合”

都不相同.則下列結(jié)論正確的是（）

A.甲選了化學(xué)和地理

B.丙可能選化學(xué)和思想政治

C.甲一定選地理

D.丙一定選了生物和地理

答案B

解析根據(jù)題意，得乙未選化學(xué)和地理，則乙必定選了生物和思想政治；且

乙與甲有一科相同，則相同科必為生物；甲必定選擇了化學(xué)和生物，所以A,

C錯(cuò)誤；而丙與甲，乙都有相同學(xué)科，則可知丙選擇不唯一，則可以判斷B

正確.

2.(2020.成都摸底)“幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴

禮》中.“〃階幻方(〃23,〃eN*)”是由前〃2個(gè)正整數(shù)組成的一個(gè)〃階方陣,

其各行各列及兩條對(duì)角線所含的〃個(gè)數(shù)之和(簡(jiǎn)稱幻和)相等，例如“3階幻

方”的幻和為15(如表所示).則“5階幻方”的幻和為()

816

357

492

A.75B.65

C.55D.45

答案B

解析由1,2,3,4,…，24,25的和為&^|^^=325,又由階幻方(〃23,

“WN*)”的定義，得“5階幻方”的幻和為32號(hào)5=65.

3.已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表，第一行為1,第二行為

3,5,第三行為7,9,11,第四行為13,15,17,19,如圖所示，在寶塔形數(shù)表中位

于第i行，第j列的數(shù)記為ai.j,比如43.2=9,04,2=15,45.4=23,若a：j=2019,

則/+；=()

1

35

1197

13151719

2927252321

A.64B.65

C.71D.72

答案C

解析根據(jù)數(shù)表排列可得，第1行到第1?行末共有1+2+…+個(gè)奇

數(shù)，所以第1行到第44行末共有990個(gè)奇數(shù)，到第45行末共有1035個(gè)奇數(shù),

又(2019+1)+2=1010,即2019是第1010個(gè)奇數(shù)，所以2019在第45行,即

i=45.因?yàn)榈?5行第一個(gè)奇數(shù)是整體數(shù)表的第991個(gè)數(shù)，即為991X2-1=

1981,所以1981+2。-1)=2019,解得x=20,又第45行奇數(shù)從右到左依次

遞增，所以/=45+1—20=26,所以i+/=7L

2Y

4.已知1%)=廠＞設(shè)/(X)=/U)，fn(X)=

…Y

〃GN"),若/“(x)=]_256to"CN*),則機(jī)=()

A.9B.10

C.11D.126

答案B

解析由題意可得力(%)=力[/|(*)]=/｛唳彳)=2x~~1-x,同理可得,力(X)

2一—

XXXXX

=]—2x，力(x)=]_4x，力a)=]—8x'…,"x)=]_2f由/"(")=]—256x

(加WN*)恒成立，可得2廠2=256=28,即有加一2=8,即〃2=10.

5.設(shè)等差數(shù)列｛加｝的前。項(xiàng)和為Sn，則S4,58-$4，S12-$8,S16—S12成等差數(shù)

列.類比以上結(jié)論我們可以得到的一個(gè)真命題為：設(shè)等比數(shù)列｛6｝的前。項(xiàng)積

為Tn，則成等比數(shù)列.

較案〃馬小生

解析設(shè)等比數(shù)列｛瓦｝的公比為％首項(xiàng)為加，

則』=砌6,戲=b時(shí)+2i+7==