八年級數(shù)學下冊 分式綜合特訓（壓軸30題）（解析版）

專題07分式綜合特訓（壓軸30題）一．選擇題（共2小題）1．如果關于x的不等式組有且僅有四個整數(shù)解，且關于y的分式方程﹣＝1有非負數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)m的和是（）A．13 B．15 C．20 D．22【答案】B【解答】解：原不等式組的解集為﹣＜x≤，因為不等式組有且僅有四個整數(shù)解，所以0≤＜1，解得2≤m＜7．原分式方程的解為y＝，因為分式方程有非負數(shù)解，所以≥0，解得m＞1，且m≠5，因為m＝5時y＝2是原分式方程的增根．所以符合條件的所有整數(shù)m的和是2+3+4+6＝15．故選：B．2．已知方程﹣a＝，且關于x的不等式組只有4個整數(shù)解，那么b的取值范圍是（）A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜4【答案】D【解答】解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a＝﹣1，即（a﹣4）（a+1）＝0，解得：a＝4或a＝﹣1，經(jīng)檢驗a＝4是增根，故分式方程的解為a＝﹣1，已知不等式組解得：﹣1＜x≤b，∵不等式組只有4個整數(shù)解，∴3≤b＜4．故選：D．二．填空題（共10小題）3．已知a，b，c是不為0的實數(shù)，且，那么的值是．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵＝，∴＝3，即+＝3①；同理可得+＝4②，+＝5③；∴①+②+③得：2（++）＝3+4+5；++＝6；又∵的倒數(shù)為，即為++＝6，則原數(shù)為．故答案為．4．（1）已知，則＝；（2）已知，則＝．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）由＝2，得到1+3?＝2，則＝；（2）由﹣＝5，得到＝5，即a﹣b＝﹣5ab，則原式＝＝＝，故答案為：（1）；（2）．5．有正整數(shù)x＜y＜z，且k為整數(shù)，，則（y+z）x＝81．【答案】81．【解答】解：∵x，y，z為正整數(shù)，且x＜y＜z，∴x≥1，y≥2，z≥3，∴，即，又∵k為整數(shù)，∴k＝1，x≠1．若x≥3，則，即，∴x只能為2，∴即，若y≥4，則，即+≤＜．∴y只能為3，∴，即z＝6，綜上，（y+z）x＝（3+6）2＝92＝81．故答案為：81．6．已知abc≠0，且，則的值是﹣1或8．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵＝，∴b（a+b﹣c）＝c（a﹣b+c），∴ab+b2﹣bc﹣ac+bc﹣c2＝0，∴（b﹣c）（a+b+c）＝0，∴b＝c或a+b＝﹣c，同理：a＝b或b+c＝﹣a，a＝c或a+c＝﹣b，當b＝c，a＝b，a＝c時，原式＝＝8；當a+b＝﹣c，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b時，原式＝＝﹣1．故答案為：8或﹣1．7．某校在“3.12”植樹節(jié)來臨之際，特從初一、初二、高一、高二四個年級中抽調若干學生去植樹．已知初一、初二抽調的人數(shù)之比為5：3，高一、高二抽調的人數(shù)之比為4：3．上午，初一、高一年級平均每人植樹的棵數(shù)相同且大于3棵小于10棵，高二年級平均每人植樹的棵數(shù)為初一、初二平均每人植樹的棵數(shù)之和的2倍，上午四個年級平均每人植樹的棵數(shù)總和大于30棵小于40棵，上午四個年級一共植樹714棵．下午，初二年級因為要回校參加活動不再參與植樹活動，高一、高二年級平均每人植樹的棵數(shù)都有所降低，高一年級平均每人植樹的棵數(shù)降低50%，高二年級平均每人植樹的棵數(shù)降為原來的．若初一年級人數(shù)及人均植樹的棵數(shù)不變，高一高二年級人數(shù)不變，且四個年級平均每人植樹的棵數(shù)為整數(shù)，則四個年級全天一共植樹1224棵．【答案】1224【解答】解：設年級初一初二高一高二抽調植樹的人數(shù)（人）5x3x4y3y上午平均每人植樹棵數(shù)（棵）mnm2（m+n）下午平均每人植樹棵數(shù)（棵）m0（1﹣50%）m×2（m+n）∵上午，初一、高一年級平均每人植樹的棵數(shù)相同且大于3棵小于10棵，∴3＜m＜10．∵上午四個年級平均每人植樹的棵數(shù)總和大于30棵小于40棵，∴30＜m+n+m+2（m+n）＜40，即30＜4m+3n＜40，∴20＜3m+3n＜37．又∵下午四個年級平均每人植樹的棵數(shù)為整數(shù)，∴（m+n）為5的倍數(shù)，m為2的倍數(shù)，∴m+n＝10．∴m取4或6或8．∵上午四個年級一共植樹714棵，∴5xm+3xn+4ym+3y×2（m+n）＝714，即2xm+30x+4ym+60y＝714．當m＝4時，代入得38x+76y＝714，兩邊同時除以38，x+2y不是整數(shù)，所以m＝4舍去；當m＝6時，代入得42x+84y＝714，兩邊同時除以42，x+2y＝17．當m＝8時，代入得46x+92y＝714，兩邊同時除以46，x+2y不是整數(shù)，所以m＝8舍去；所以m＝6．則下午一共植樹5xm+4y×（1﹣50%）m+3y××2（m+n）＝30x+60y＝30（x+2y）＝30×17＝510．∴四個年級全天一共植樹714+510＝1224（棵）．8．已知a2﹣3a﹣1＝0，求a6+120a﹣2＝1309．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵a2﹣3a﹣1＝0，∴a2＝3a+1，a6＝（a2）3＝（3a+1）2（3a+1）＝（9a2+6a+1）（3a+1）＝[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）＝（33a+10）（3a+1）＝99a2+63a+10＝99（3a+1）+63a+10＝360a+109，∵a2﹣3a＝1，120a﹣2＝（a2﹣3a）＝120﹣＝120﹣×（a2﹣3a）＝120﹣360a+1080，∴a6+120a﹣2＝360a+109+120﹣360a+1080＝1309．9．一個容器裝有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照這種倒水的方法，倒了10次后容器內剩余的水量是．【答案】見試題解答內容【解答】解：根據(jù)題意可知第一次倒出：，第二次倒出：，第三次倒出：，…第n次倒出：，∴第10次倒出：，∴倒了10次后容器內剩余的水量＝1﹣（++…+）＝1﹣（+﹣+﹣+…+﹣）＝1﹣（1﹣）＝．故答案是．10．式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可以將“1+2+3+4+5+…+100”表示為，這里的符號“”是求和的符號，如“1+3+5+7+…+99”即從1開始的100以內的連續(xù)奇數(shù)的和，可表示為．通過對以上材料的閱讀，請計算：＝（填寫最后的計算結果）．【答案】見試題解答內容【解答】解：＝++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案為：．11．a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)是．已知a1＝3，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…，以此類推，則a2012＝﹣．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵a1＝3，a2為a1的差倒數(shù)，∴a2＝＝﹣，又a3為a2的差倒數(shù)，∴a3＝＝，又a4為a3的差倒數(shù)，∴a4＝＝3，又a5為a4的差倒數(shù)，∴a5＝＝﹣，同理a6＝，a7＝3，…，∵2012÷3＝670…2，∴a2012＝﹣．故答案為：﹣12．對于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，則＝2011.5．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵當x＝1時，f（1）＝，當x＝2時，f（2）＝，當x＝時，f（）＝；當x＝3時，f（3）＝，當x＝時，f（）＝…，∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，…，∴f（n）+…+f（1）+…+f（）＝f（1）+（n﹣1），∴＝f（1）+（2012﹣1）＝+2011＝2011.5．故答案為：2011.5．三．解答題（共18小題）13．先化簡，再求值：+÷，其中x＝3．【答案】見試題解答內容【解答】解：原式＝+?＝+＝，當x＝3時，原式＝＝．14．巴西世界杯正在激戰(zhàn)中，周六晚上小明打算和朋友乘出租車去某大型酒吧觀看世界杯，有兩條路線可供選擇：路線一的全程25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均速度比走路線一時的平均速度能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達．求小明走路線一時的平均速度．【答案】見試題解答內容【解答】解：設小明走路線一的平均速度是x千米/小時，則小明走路線二的平均速度是x（1+80%）千米/小時，由題意，得＝+，解得：x＝50經(jīng)檢驗，x＝50是原方程的解．故小明走路線一的平均速度是50千米/小時．答：小明走路線一的平均速度是50千米/小時．15．如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和諧分式”是②（填寫序號即可）；（2）若a為正整數(shù)，且為“和諧分式”，請寫出a的值；（3）在化簡時，小東和小強分別進行了如下三步變形：小東：＝＝小強：＝＝顯然，小強利用了其中的和諧分式，第三步所得結果比小東的結果簡單，原因是：小強通分時，利用和諧分式找到了最簡公分母，請你接著小強的方法完成化簡．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）②分式＝，不可約分，∴分式是和諧分式，故答案為：②；（2）∵分式為和諧分式，且a為正整數(shù)，∴a＝4，a＝5；（3）小強利用了其中的和諧分式，第三步所得結果比小東的結果簡單，原因是：小強通分時，利用和諧分式找到了最簡公分母，原式＝＝＝＝故答案為：小強通分時，利用和諧分式找到了最簡公分母．16．解關于x的方程﹣＝時產生了增根，請求出所有滿足條件的k的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：方程去分母后得：（k+2）x＝﹣3，分以下兩種情況：令x＝1，k+2＝﹣3，∴k＝﹣5令x＝﹣2，﹣2（k+2）＝﹣3，∴k＝﹣，綜上所述，k的值為﹣5，或﹣．17．某服裝店購進一批甲、乙兩種款型時尚T恤衫，甲種款型共用了9200元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的2倍，甲種款型每件的進價比乙種款型每件的進價少30元．（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購進多少件？（2）商店按照進價提高m%標價，要使利潤不低于10920，請問m最少是多少？【答案】（1）甲種購進120件，乙種購進60件．（2）70．【解答】解：（1）設乙種購進x件，則甲種購進2x件，根據(jù)題意，得：，解得：x＝60，經(jīng)檢驗x＝60是所列分式方程的解，2x＝120，答：甲種購進120件，乙種購進60件．（2）乙種款型的進價為：＝（元），甲種款型的進價為﹣30＝（元），根據(jù)題意，得：+≥10920+9200+6400，解得：x≥70，答：m最少是70．18．定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：＝＝+＝1+，＝＝+＝2+，則和都是“和諧分式”．（1）下列式子中，屬于“和諧分式”的是①③④（填序號）；①；②；③；④（2）將“和諧分式”化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式為：＝a﹣1+；（3）應用：先化簡﹣÷，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）①＝1+，是和諧分式；③＝＝1+，是和諧分式；④＝1+，是和諧分式；故答案為：①③④；（2）＝＝＝a﹣1+，故答案為：a﹣1、；（3）原式＝﹣?＝﹣＝＝＝2+，∴當x+1＝±1或x+1＝±2時，分式的值為整數(shù)，此時x＝0或﹣2或1或﹣3，又∵分式有意義時x≠0、1、﹣1、﹣2，∴x＝﹣3．19．為改善南寧市的交通現(xiàn)狀，市政府決定修建地鐵，甲、乙兩工程隊承包地鐵1號線的某段修建工作，從投標書中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數(shù)是乙隊單獨完成這項工程所需天數(shù)的3倍；若由甲隊先做20天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作10天完成．（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？（2）已知甲隊每天的施工費用為15.6萬元，乙隊每天的施工費用為18.4萬元，工程預算的施工費用為500萬元，為縮短工期，擬安排甲、乙兩隊同時開工合作完成這項工程，那么工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需增加多少萬元？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設乙隊單獨完成這項工程需x天，則甲隊單獨完成這項工作所需天數(shù)是3x天，依題意得：+＝1，解得x＝20，檢驗，當x＝20時，3x≠0，所以原方程的解為x＝20．所以3x＝3×20＝60（天）．答：乙隊單獨完成這項工程需20天，則甲隊單獨完成這項工作所需天數(shù)是60天；（2）設甲、乙兩隊合作完成這項工程需要y天，則有y（+）＝1，解得y＝15．需要施工的費用：15×（15.6+18.4）＝510（萬元）．∵510＞500，∴工程預算的費用不夠用，需要追加預算10萬元．20．已知＝++，試求A+B+2C的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵＝++∴＝∴＝∴∴A＝1，B＝﹣3，C＝3∴A+B+2C＝4．21．某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？【答案】（1）今年5月份A款汽車每輛售價9萬元；（2）共有5種進貨方案；（3）當a＝0.5時，（2）中所有方案獲利相同【解答】解：（1）設今年5月份A款汽車每輛售價m萬元．則：，解得：m＝9．經(jīng)檢驗，m＝9是原方程的根且符合題意．答：今年5月份A款汽車每輛售價9萬元；（2）設購進A款汽車x輛．則：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整數(shù)解為6，7，8，9，10，∴共有5種進貨方案；（3）設總獲利為W萬元，購進A款汽車y輛，則：W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a．當a＝0.5時，（2）中所有方案獲利相同．22．先閱讀下列解法，再解答后面的問題．已知＝+，求A、B的值．解法一：將等號右邊通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），∴．解得．解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得2A+B＝4；取x＝3，有+B＝，整理得A+2B＝5．解，得：．（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．（2）計算：[]（x+11），并求x取何整數(shù)時，這個式子的值為正整數(shù)．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）等號右邊通分、再去分母，得：11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），∴，解得：；（2）原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）×（x+11）＝×（﹣）×（x+11）＝××（x+11）＝，∵式子的值為正整數(shù)，∴x﹣1＝1、2、3、6，則x＝2、3、4、7．23．已知a+a﹣1＝3，求a4+的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵a+a﹣1＝3，∴a+＝3，則（a+）2＝9，即a2+2+＝9，a2+＝7，∴（a2+）2＝49，即a4++2＝49，則a4+＝47．24．對于正數(shù)x，規(guī)定：f（x）＝．例如：f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝．（1）求值：f（3）+f（）＝1；f（4）+f（）＝1；（2）猜想：f（x）+f（）＝1，并證明你的結論；（3）求：f（）+f（）+…+f（）+f（1）+f（2）+…+f（2016）+f（2017）的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）f（3）＝，f（）＝＝，f（4）＝，f（）＝＝，則f（3）+f（）＝1；f（4）+f（）＝1；故答案為：1；1；（2）猜想：f（x）+f（）＝1，理由為：f（）＝＝，f（x）＝，則f（x）+f（）＝+＝＝1；故答案為：1；（3）原式＝[f（）+f（2017）]+[f（）+f（2016）]+…+[f（）+f（2）]+f（1）＝2016+0.5＝2016.5．25．某工廠承接了一批紙箱加工任務，用如圖1所示的長方形和正方形紙板（長方形的寬與正方形的邊長相等）加工成如圖所示的豎式與橫式兩種無蓋的長方形紙箱．（加工時接縫材料不計）（1）該工廠原計劃用若干天加工紙箱200個，后來由于對方急需要貨，實際加工時每天加工速度時原計劃的1.5倍，這樣提前2天超額完成了任務，且總共比原計劃多加工40個，問原計劃每天加工紙箱多少個；（2）若該廠購進正方形紙板1000張，長方形紙板2000張．問豎式紙盒，橫式紙盒各加工多少個，恰好能將購進的紙板全部用完．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設原計劃每天加工x個，則現(xiàn)在每天加工1.5x個，由題意得，﹣2＝，解得：x＝20，經(jīng)檢驗：x＝20是原分式方程的解，且符合題意，答：原計劃每天加工20個；（2）設加工豎式紙盒m個，橫式紙盒n個，由題意得，，解得：．答：加工豎式紙盒200個，橫式紙盒400個恰好能將購進的紙板全部用完．26．觀察下面的變形規(guī)律：＝﹣；＝﹣；＝；…解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，若寫成上面式子形式，請你猜想＝﹣；（2）說明你猜想的正確性；（3）計算：+++…+＝；（4）解關于n的分式方程：+++…+＝．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）猜想得到＝﹣；（2）﹣＝﹣＝＝，∴＝﹣；（3）原式＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；（4）已知方程整理得：1﹣+﹣+…+﹣＝，即＝，去分母得：n2+9n＝n2+8n+7，解得：n＝7，經(jīng)檢驗n＝7是分式方程的解．故答案為：（1）﹣；（3）．27．閱讀下面材料，并解答問題．材料：將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：由分母為﹣x2+1，可設﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b則﹣x4﹣x2+3＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵對應任意x，上述等式均成立，∴，∴a＝2，b＝1∴＝＝+＝x2+2+這樣，分式被拆分成了一個整式x2+2與一個分式的和．解答：（1）將分式拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．（2）試說明當﹣1＜x＜1時，的最小值為10．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設﹣x4﹣8x2+10＝（﹣x2+1）（x2+a）+b＝﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∴，解得：a＝9，b＝1，則原式＝＝x2+9+；（2）由原式＝x2+9+，得到當﹣1＜x＜1時，即x＝0時，x2+9與分別取得最小值，則x＝0時，原式的最小值為10．28．學校計劃選購甲、乙兩種圖書作為“校園讀書節(jié)”的獎品．已知甲圖書的單價是乙圖書單價的1.5倍；用600元單獨