圖形的平移與旋轉(zhuǎn)壓軸題（7個類型55題）-【?？級狠S題】2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（原卷版）

第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)壓軸題內(nèi)容導(dǎo)航一、圖形的平移類型一、圖形的平移問題HYPERLINK類型二、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形平移問題HYPERLINK類型三、一次函數(shù)圖象的平移問題二、圖形的旋轉(zhuǎn)類型四、圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律問題類型五、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用類型六、圖形旋轉(zhuǎn)的綜合問題類型七、中心對稱圖形的性質(zhì)應(yīng)用一、圖形的平移類型一、圖形的平移問題1．如圖，直線m//n，點A在直線m上，BC在直線n上，構(gòu)成ABC，把ABC向右平移BC長度的一半得到（如圖①），再把向右平移BC長度的一半得到（如圖②），再繼續(xù)上述的平移得到圖③，…，通過觀察可知圖①中有4個三角形，圖②中有8個三角形，則第2020個圖形中三角形的個數(shù)是（

）A．4040 B．6060 C．6061 D．80802．△ABC是一塊含有45o的直角三角板，四邊形DEFG是長方形，D、G分別在AB、AC上，E、F在BC上。BC=16,DG=4，DE=6，現(xiàn)將長方形DEFG向右沿BC方向平移，設(shè)水平移動的距離為d，長方形與直角三角板的重疊面積為S，（1）當(dāng)水平距離d是何值時，長方形DEFG恰好完全移出三角板；（2）在移動過程中，請你用含有d的代數(shù)式表示重疊面積S，并寫出相應(yīng)的d的范圍。3．如圖，已知線段，點是線段外一點，連接，．將線段沿平移得到線段．點是線段上一動點，連接，．

(1)依題意在圖1中補全圖形，并證明：；(2)過點C作直線．在直線上取點，使．①當(dāng)時，畫出圖形，并直接用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系；②在點運動的過程中，當(dāng)點到直線的距離最大時，的度數(shù)是________（用含的式子表示）．4．某同學(xué)在一次課外活動中用硬紙片做了兩個直角三角形，中，，，．中，，，．該同學(xué)將的直角邊與的斜邊重合在一起，并將沿方向移動，在移動過程中，D、E兩點始終在邊上．(1)當(dāng)移動至什么位置，即的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與平行？(2)當(dāng)移動至什么位置，即的長為多少時，以線段、、的長為三邊長的三角形是直角三角形？(3)在的移動過程中，是否存在某個位置，使得？如果存在，求出的長；如果不存在，說明理由．5．如圖，等腰三角形中，，D為邊上一點，E為射線上一點，連接．(1)如圖1，點F在線段上，連接、．若，為等邊三角形，，，求的長；(2)如圖2，F(xiàn)為線段的垂直平分線上一點，連接、、，M為的中點，連接、．若，求證：；(3)如圖3，，D為中點，F(xiàn)為中點，與交于點G，將沿射線方向平移得，連接、．若，直接寫出的最小值．6．綜合與探究：問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以直角三角形紙片為背景進行探究性活動．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AE平分∠BAC交CD于點F．初步分析：（1）智慧小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)△CEF是等腰三角形，請你證明這一結(jié)論；（2）博學(xué)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)給△ABC添加一個條件，可使△CEF成為等邊三角形．添加的條件可以是．（寫出一種即可）操作探究：（3）創(chuàng)新小組的同學(xué)從圖形平移的角度進行了如下的探究，請從下面A，B兩題中任選一題作答我選擇題：A．將△ADF沿射線AB的方向平移，使點F的對應(yīng)點F恰好落在線段BC上，①請在圖中畫出平移后的，②猜想此時線段A′B與AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．B．將△CEF沿射線CB的方向平移，使點C的對應(yīng)點恰好與點B重合，①請在圖中畫出平移后的，②連接EF′，交BD于點G，猜想此時線段EG與F′G之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．類型二、平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖形平移問題7．對于給定的兩點，若存在點，使得三角形的面積等于1，則稱點為線段的“單位面積點”，已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點．點，，．若將線段沿軸正方向平移個單位長度，使得線段上存在線段的“單位面積點”，則的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.58．如圖，直線m⊥n．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x軸∥m，y軸∥n．如果以O(shè)1為原點，點A的坐標(biāo)為（1，1）．將點O1平移2個單位長度到點O2，點A的位置不變，如果以O(shè)2為原點，那么點A的坐標(biāo)可能是（）A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點A，C的坐標(biāo)分別為，．已知線段的端點M，N的坐標(biāo)分別為，，平移線段，使得平移后的線段的兩個端點均落在正方形的邊上，此時正方形被該線段分為兩部分，其中三角形部分的面積為；已知線段的端點坐標(biāo)分別為，，且，，．平移線段，使得平移后的線段的兩個端點均落在正方形的邊上，且線段將正方形的面積分為兩部分，取的中點H，連接，則的長為．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點A，規(guī)定點A的變換和變換．變換：將點A向左平移一個單位長度，再向上平移兩個單位長度；變換：將點A向右平移三個單位長度，再向下平移一個單位長度(1)若對點B進行變換，得到點（1，1），則對點B進行變換后得到的點的坐標(biāo)為．(2)若對點C（m，0）進行變換得到點P，對點C（m，0）進行變換得到點Q，，求m的值．(3)點D為y軸的正半軸上的一個定點，對點D進行變換后得到點E，點F為x軸上的一個動點，對點F進行變換之后得到點G，若的最小值為2，直接寫出點D的坐標(biāo)．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B坐標(biāo)分別為、，且a，b滿足：，現(xiàn)同時將點A，B分別向下平移4個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，連接．

(1)求C，D兩點的坐標(biāo)及四邊形的面積；(2)點P是線段上的一個動點，連接，當(dāng)點P在上移動時（不與B，D重合），的值是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)已知點M在y軸上，且點D在的外部，連接，若的面積與四邊形的面積相等，求點M的坐標(biāo)．12．如圖1，在直角坐標(biāo)系中直線與、軸的交點分別為，，且滿足.（1）求、的值；（2）若點的坐標(biāo)為且，求的值；（3）如圖2，點坐標(biāo)是，若以2個單位/秒的速度向下平移，同時點以1個單位/秒的速度向左平移，平移時間是秒，若點落在內(nèi)部（不包含三角形的邊），求的取值范圍．13．在平面直角坐標(biāo)系中，對于給定的兩點，若存在點M，使得的面積等于1，即，則稱點M為線段的“單位面積點”，解答下列問題：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為．

(1)在點中，線段的“單位面積點”是；(2)已知點，將線段沿y軸向上平移個單位長度，使得線段上存在線段的“單位面積點”，直接寫出t的取值范圍．(3)已知點，點是線段的兩個“單位面積點”，點M在的延長線上，若，求出點N縱坐標(biāo)的取值范圍．14．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為，．且a，b滿足，現(xiàn)同時將點A，B分別向左平移2個單位，再向上平移2個單位，分別得到點A、B的對應(yīng)點C、D，連接AC，BD，CA的延長線交y軸于點K．(1)點P是線段CK上的一個動點，點Q是線段CD的中點，連接PQ，PO，當(dāng)點P在線段CA上移動時（不與A，C重合），請找出，，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)連接AD，在坐標(biāo)軸上是否存在點M，使的面積與的面積相等？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．15．在平面直角坐標(biāo)系中，，，a，b滿足，連接AB交y軸于C．(1)直接寫出______，______；(2)如圖1，點P是y軸上一點，且三角形ABP的面積為12，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，直線BD交x軸于，將直線BD平移經(jīng)過點A，交y軸于E，點在直線AE上，且三角形ABQ的面積不超過三角形ABD面積的，求點Q橫坐標(biāo)x的取值范圍．類型三、一次函數(shù)圖象的平移問題16．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中．直線與軸、軸相交于兩點，動點在線段上，將線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點恰好落在直線上時，過點作軸于點．(1)求證：；(2)如圖2，將沿軸正方向平移得，當(dāng)直線經(jīng)過點時，求點的坐標(biāo)及平移的距離．17．在平面直角坐標(biāo)系中，對于點與圖形W，若點Q為圖形W上任意一點，點關(guān)于第一、三象限角平分線的對稱點為，且線段中點為，則稱點是圖形W關(guān)于點的“關(guān)聯(lián)點”．(1)如圖1，若點是點關(guān)于原點的關(guān)聯(lián)點，則點的坐標(biāo)為；(2)如圖2，在中，，，．①將線段向右平移（）個單位長度，若平移后的線段上存在兩個關(guān)于點的關(guān)聯(lián)點，則d的取值范圍是．②已知點和點，若線段上存在關(guān)于點的關(guān)聯(lián)點，求n的取值范圍．18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與、軸分別相交于點、，與直線交于點，直線交軸于點，交軸于點．（1）若點是軸上一動點，連接、，求當(dāng)取最大值時，點的坐標(biāo)．（2）在（1）問的條件下，將沿軸平移，在平移的過程中，直線交直線于點，則當(dāng)是等腰三角形時，求的長．19．對于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和圖形上的任意點，給出如下定義：將點平移到稱為將點進行“型平移”，點稱為將點進行“型平移”的對應(yīng)點；將圖形上的所有點進行“型平移”稱為將圖形進行“型平移”．例如，將點平移到稱為將點進行“1型平移”，將點平移到稱為將點進行“﹣1型平移”．已知點和點．(1)將點進行“1型平移”后的對應(yīng)點的坐標(biāo)為．(2)①將線段進行“﹣1型平移”后得到線段，點，，中，在線段上的點是．②若線段進行“型平移”后與坐標(biāo)軸有公共點，則的取值范圍是．(3)知點，，點是線段上的一個動點，將點進行“型平移”后得到的對應(yīng)點為，畫圖、觀察、歸納可得，當(dāng)?shù)娜≈捣秶菚r，的最小值保持不變．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸，軸分別交于兩點，點坐標(biāo)為，連接．(1)求點的坐標(biāo)及線段的長度；(2)將線段沿軸向下平移個單位至，連接．當(dāng)為直角三角形時，求的值；當(dāng)周長最小時，的值是；此時，最小周長等于．21．已知直線與軸、y軸分別交于A、B兩點，以A為直角頂點，線段為腰在第一象限內(nèi)作等腰．

(1)求點C的坐標(biāo)(2)P為直線上的動點，若的面積與的面積相等，則點P的坐標(biāo)為多少(3)點M為直線上的動點，點N為x軸上的一點，是否存在以點M、N、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（1）閱讀以下內(nèi)容并回答問題：問題：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線y＝﹣2x向上平移3個單位，求平移后直線的解析式．小雯同學(xué)在做這類問題時經(jīng)常困惑和糾結(jié)，她做此題的簡要過程和反思如下．在課堂交流中，小謝同學(xué)聽了她的困惑后，給她提出了下面的建議：“你可以找直線上的關(guān)鍵點，比如點A（1，﹣2），先把它按要求平移到相應(yīng)的對應(yīng)點A′，再用老師教過的待定系數(shù)法求過點A′的新直線的解析式，這樣就不用糾結(jié)了．”小雯用這個方法進行了嘗試，點A（1，﹣2）向上平移3個單位后的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為，過點A′的直線的解析式為．（2）小雯自己又提出了一個新問題請全班同學(xué)一起解答和檢驗此方法，請你也試試看：將直線y＝﹣2x向左平移3個單位，平移后直線的解析式為，另外直接將直線y＝﹣2x向（“上”或“下”）平移個單位也能得到這條直線．（3）請你繼續(xù)利用這個方法解決問題：對于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的圖形M，將圖形M上所有點都向上平移3個單位，再向左平移3個單位，我們把這個過程稱為圖形M的一次“斜平移”．求將直線y＝﹣2x進行兩次“斜平移”后得到的直線的解析式．二、圖形的旋轉(zhuǎn)類型四、圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律問題23．在每個小正方形的邊長為的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．從一個格點移動到與之相距的另一個格點的運動稱為一次跳馬變換．例如，在的正方形網(wǎng)格圖形中（如圖1），從點經(jīng)過一次跳馬變換可以到達點，，，等處現(xiàn)有的正方形網(wǎng)格圖形（如圖2），則從該正方形的頂點經(jīng)過跳馬變換到達與其相對的頂點，最少需要跳馬變換的次數(shù)是（

）A． B． C． D．24．如圖，在△ABC中,∠ACB=，∠B=，AC=1，BC=，AB=2，AC在直線l上，將△ABC繞點A順時針轉(zhuǎn)到位置①可得到點P1，此時AP1=2；將位置①的三角形繞點P1順時針旋轉(zhuǎn)到位置②，可得到點P2，此時AP2=2+；將位置②的三角形繞點P2順時針旋轉(zhuǎn)到位置③，可得到點P3，此時AP3=3+…，按此順序繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，得到點P2016，則AP2016=(

)A．2016+671 B．2016+672C．2017+671 D．2017+67225．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)并且按一定規(guī)律放大，每次變化后得到的圖形仍是頂角為的等腰三角形．第一次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為；第二次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為；第三次變化后得到等腰三角形，點的對應(yīng)點為……依此規(guī)律，則第2023年等腰三角形中，點的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．26．如圖，在中，頂點，，，將與正方形組成的圖形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點D的坐標(biāo)是．

27．如圖所示，一動點從半徑為2的⊙O上的A0點出發(fā)，沿著射線A0O方向運動到⊙O上的點A1處，再向左沿著與射線A1O夾角為60°的方向運動到⊙O上的點A2處；接著又從A2點出發(fā)，沿著射線A2O方向運動到⊙O上的點A3處，再向左沿著與射線A3O夾角為60°的方向運動到⊙O上的點A4處；……按此規(guī)律運動到點A2017處，則點A2017與點A0間的距離是28．在平面直角坐標(biāo)系中，等邊如圖放置，點的坐標(biāo)為，將等邊繞著點依次順時針旋轉(zhuǎn)，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到，第二次旋轉(zhuǎn)后得到，…，按此作法進行下去，則點的坐標(biāo)為．

類型五、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用29．如圖，等腰，，，點為邊上一點，，點為邊上一點，連結(jié)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，則的最小值為．30．如圖，在四邊形中，，，連接，將繞點旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)到，旋轉(zhuǎn)到，當(dāng)與交于一點，同時與交于一點時，下面四個結(jié)論：；；；周長的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是．31．在中，，，．把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點為點．(1)當(dāng)時，在圖1中作出旋轉(zhuǎn)后的（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接，則的長為______；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，直線分別交，于點，，若為等腰三角形，求的長．32．如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有3個角：、和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的奇妙線．

(1)一個角的角平分線___________這個角的奇妙線．（填是或不是）(2)如圖2，若，射線繞點P從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)首次等于時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為．①當(dāng)t為何值時，射線是的奇妙線？②若射線同時繞點P以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與同時停止旋轉(zhuǎn)．請求出當(dāng)射線是的奇妙線時t的值．33．綜合與實踐【模型感知】手拉手模型是初中數(shù)學(xué)里三角形全等知識點考察的重要模型．兩個有公共頂點且頂角相等的等腰三角形組成的圖形叫手拉手模型．（1）如圖，已知和都是等邊三角形，連接，．求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖，已知和都是等邊三角形，將繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，當(dāng)點在的延長線上時，求證：；【類比探究】（3）如圖，已知和都是等邊三角形．當(dāng)點在射線上時，過點作于點，直接寫出線段，與之間存在的數(shù)量關(guān)系為_____________．類型六、圖形旋轉(zhuǎn)的綜合問題34．問題提出：（1）如圖①，已知是面積為的等邊三角形，是的平分線，則的長為______．問題探究：（2）如圖②，在中，，，，點為的中點，點，分別在邊，上，且．證明：．問題解決：（3）如圖③，李叔叔準(zhǔn)備在一塊空地上修建一個矩形花園，然后將其分割種植三種不同的花卉．按照他的分割方案，點，分別在，上，連接、、，，、分別在、上，連接、，，，其中四邊形種植玫瑰，和種植郁金香，剩下的區(qū)域種植康乃馨，根據(jù)實際需要，要求種植玫瑰的四邊形的面積為，為了節(jié)約成本，矩形花園的面積是否存在最小值？若存在，請求出矩形的最小面積，若不存在，請說明理由．

35．問題提出：

（1）如圖1，點A為線段外一動點，且，，填空：當(dāng)__________時，線段的長取得最大值，且最大值為__________（用含a，b的式子表示）．問題探究：（2）點A為線段外一動點，且，，如圖2所示，分別以，為邊，作等邊三角形和等邊三角形，連接，，找出圖中與BE相等的線段，請說明理由，并直接寫出線段長的最大值．問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點P為線段外一動點，且，，，求線段長的最大值及此時點P的坐標(biāo)．36．已知，點M為線段的中點，點P為線段上一動點，過點P作直線l（不與重合），于點E，于點F．(1)如圖1，當(dāng)點P與點M重合時，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點P不與點M重合時，（1）問中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？(3)在等邊中，點M為的中點，點P為邊上一動點，過點P的直線，于點E，于點F，連結(jié)．①如圖3，當(dāng)時，求的度數(shù)；②如圖4，當(dāng)時，探究的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．37．如圖，在四邊形中，，點在四邊形的內(nèi)部，且，，已知，則的長為．

38．問題初探：（1）一天楊老師給同學(xué)們這樣一個幾何問題：如圖1，和都是等邊三角形，點在上．求證：以、、為邊的三角形是鈍角三角形．小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接，根據(jù)已知條件，可以證明，，從而得出為鈍角三角形，故以、、為邊的三角形是鈍角三角形．請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．類比分析：（2）楊老師發(fā)現(xiàn)，小明通過構(gòu)造全等三角形，將邊和轉(zhuǎn)移，使、、在一個三角形中，為了幫助學(xué)生更好的利用已知邊角的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造全等三角形，楊老師將和換成兩個等腰直角三角形，并隱藏了一部分圖形，得到了下面的圖形，如圖3，并提出了下面的問題，請解答．已知：，，為AC邊上的一點，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．學(xué)以致用：（3）如圖4．已知四邊形是正方形．點在上，，，試求出正方形的面積．39．問題提出（）如圖所示，將含有和角的一副直角三角板與在直線，的頂點和角的頂點重合于點，點在直線上，為平分線，則．問題探究（）如圖，若將三角板繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，平分，請你探究度數(shù)是否會發(fā)生變化？若不變，求出其角度；若變化，請說明理由；問題解決（）如圖，從圖位置開始，將三角板繞點以每秒速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)首次與重合或當(dāng)與首次重合時，兩個三角板都停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)兩三角板的旋轉(zhuǎn)時間為，在整個旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)滿足，求的值．

40．【初步感知】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，將等腰三角形紙片與等腰三角形紙片按圖示位置擺放，其中，．

求證：，請你完成證明．【深入探究】（2）如圖2，中，，點在底邊上，，，點在點的右側(cè)，連接．求證：．小明和小紅分別給出如下思路：①小明同學(xué)從軸對稱變化的角度做了研究：以為對稱軸，利用軸對稱構(gòu)造一個與全等的三角形，通過研究角的大小關(guān)系解決了問題．②小紅同學(xué)從旋轉(zhuǎn)變化的角度做了研究：以點為旋轉(zhuǎn)中心，利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個與全等的三角形，也通過研究角的大小關(guān)系解決了問題．請你選擇一名同學(xué)的思路，寫出證明過程．【學(xué)以致用】為了幫助學(xué)生更好地感悟類比推理思想，李老師將圖2進行修改并提出下面問題，請你解答．（3）如圖3，在（2）的條件下，將“點在點的右側(cè)”改為“點在點的左側(cè)”，其他條件不變，點E在線段上，且滿足，當(dāng)，，時，求的長．（用含的式子表示）41．如圖1，點O為直線上一點，將兩個含角的三角板和三角板如圖擺放，使三角板的一條直角邊在直線上，其中．(1)將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得邊在的內(nèi)部且平分，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為度；(2)三角板在繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，若在的內(nèi)部．試探究與之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時將三角板繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，將射線繞點O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記為，射線平分，射線平分，當(dāng)射線重合時，射線改為繞點O以原速按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在第二次相遇前，當(dāng)時，直接寫出旋轉(zhuǎn)時間t的值．42．?dāng)?shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以“等腰三角形的旋轉(zhuǎn)”為主題，開展如下探究活動：

(1)【操作探究】如圖1，為等邊三角形，將繞點A旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點，連接．①寫出圖1中一個等于的角；②圖1中與的數(shù)量關(guān)系是．(2)【遷移探究】如圖2，將（1）中的等邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，其他條件不變．探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在，，，，將繞點A旋轉(zhuǎn)，得到，連接，F(xiàn)是的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，直接寫出線段的長．43．如圖，在中，，，于點D．點G是射線AD上一點，過G作分別交AB、AC于點E、F：

(1)如圖①所示，若點E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，當(dāng)點G與點D重合時，求證：；(2)如圖②所示，當(dāng)點G在線段AD外，且點E與點B重合時，猜想AE，AF與AG之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)當(dāng)點G在線段AD上時，請直接寫出的最小值．參考公式：44．如圖①，在等腰直角三角形中，，D，E分別為的中點，F(xiàn)為線段上一動點（不與D，E重合），將線段繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．

(1)求證：．(2)如圖②，連接，交于點H．①證明：在點F的運動過程中，總有；②若，直接寫出當(dāng)?shù)拈L度是多少時，為為等腰三角形？45．如下圖，在和中，，，且，則可證明得到．

【初步探究】（1）如下圖，為等邊三角形，過點作的垂線，點為上一動點（不與點重合），連接，把線段繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連．請寫出與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

【思維提升】（2）如下圖，在中，以為邊向外作等邊，連接，，，，求長．

【拓展應(yīng)用】（3）如下圖，在中，，，作交于點，過點作直線，點是直線上的一個動點，線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，則的最小值為_____．

類型七、中心對稱圖形的性質(zhì)應(yīng)用46．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，的坐標(biāo)分別為，，．一個電動玩具從原點出發(fā)，第一次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點成中心對稱；第二次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點成中心對稱；第三次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點成中心對稱；第四次跳躍到點，使得點與點關(guān)于點成中心對稱；…．電動玩具照此規(guī)律跳下去，則點的坐標(biāo)是（

）.A． B． C． D．47．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的點，先將該點向右平移1個單位，再向上平移2個單位，這種點的運動稱為點的斜平移，如點P（2，3）經(jīng)1次斜平移后的點的坐標(biāo)為（3，5）．已知點A的坐標(biāo)為（2，0），點Q是直線l上的一點，點A關(guān)于點Q的對稱點為點B，點B關(guān)于直線l的對稱點為點C，若點B由點A經(jīng)n次斜平移后得到，且點C的坐標(biāo)為（8，6），則△ABC的面積是（）A．12 B．14 C．16 D．1848．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，是邊長為2的等邊三角形，作與關(guān)于點成中心對稱，再作與關(guān)于點成中心對稱，…，如此作下去，則的頂點的坐標(biāo)是___________．

49．如圖，有任意四邊形，分別是A、B、C、D關(guān)于B、C、D、A的對稱點，設(shè)S表示四邊形的面積，表示四邊形的面積，則的值為．50．點、、在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為、、，點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是，點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，，則的長度為．51．對于點和圖形，若點關(guān)于圖形上任意的一點的對稱點為點，所有點組成的圖形為，則稱圖形為點關(guān)于圖形的“對稱圖形”．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，．

(1)①在點，，中，是點關(guān)于線段的“對稱圖形”上的點有_______．②畫出點關(guān)于四邊形的“對稱圖形”；(2)點是軸上的一動點．①若點關(guān)于四邊形的“對稱圖形”與關(guān)于四邊形的“對稱圖形”有公共點，求的取值范圍；②直線與軸交于點，與軸交于點，線段上存在點，使得點是點關(guān)于四邊形的“對稱圖形”上的點，直接寫出的取值范