廣西“飛天”校際2024−2025學(xué)年高三上學(xué)期7月考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

廣西“飛天”校際2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期7月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)z滿足：，（

）A．2 B． C．1 D．2．能正確表示圖中陰影部分的是（

）

A．B． C． D．3．，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，，下列正確的是（

）A． B． C． D．4．紅黃藍(lán)三種不同顏色的小球各兩個(gè)，分別放置在正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)上，共有幾種不同的放置方法（

）A．7 B．8 C．4 D．55．在三子棋游戲（規(guī)則同五子棋，三子連成一線即可獲勝）中，兩個(gè)未經(jīng)訓(xùn)練的人工智能依次隨機(jī)等可能地投放棋子（用A和B表示，A先下），某時(shí)刻戰(zhàn)況如圖，則A能獲勝的概率為（

）ABABBAA． B． C． D．6．四面體中，其余各棱長(zhǎng)均為，則該四面體外接球的表面積是（

）A． B． C． D．7．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則（

）A． B．2 C． D．48．已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線：，，則（

）A．與有唯一交點(diǎn) B．與有唯一交點(diǎn)C．與聯(lián)立恒得兩組整數(shù)根 D．與相交得到的弦，長(zhǎng)恒為10．在集合中取連續(xù)k項(xiàng)作為一組數(shù)據(jù)，下列正確的是（

）A．k為奇數(shù)時(shí)，平均數(shù) B．k為奇數(shù)時(shí)，平均數(shù)C．k為偶數(shù)時(shí)，方差不一定 D．k為偶數(shù)時(shí)，方差一定11．?dāng)?shù)列滿足，，則下列正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．恒成立 D．恒成立三、填空題（本大題共3小題）12．隨機(jī)變量，則.13．記雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，分別過(guò)和坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線m，n，且，記到m，n的距離分別為，，則，若n是C的漸近線，則當(dāng)取最小值時(shí)，.14．設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b均有，且，若實(shí)數(shù)t使得恒成立，t的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)當(dāng)，時(shí)，求的面積.16．點(diǎn)A，B分別是橢圓的上頂點(diǎn)和左頂點(diǎn)，P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與右端點(diǎn)重合），P的橫坐標(biāo)非負(fù)，的中點(diǎn)是M，當(dāng)P位于下頂點(diǎn)時(shí)的面積為1，橢圓離心率為.(1)求橢圓方程；(2)記的面積為，的面積為，求的最小值.17．已知，，，.(1)求在處的切線方程；(2)若恒成立，求a的取值范圍.18．在直三棱柱中底面是正三角形，底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)未知，分別是，的中點(diǎn)，是直三棱柱表面上的一點(diǎn)，且P到底面的距離為.當(dāng)平面時(shí)，當(dāng)P在平面中時(shí)，到的距離為.(1)求直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；(2)當(dāng)P到的距離為1時(shí)，求二面角的余弦值；(3)P每次移動(dòng)都移動(dòng)1個(gè)單位，從上出發(fā)順時(shí)針移動(dòng)的概率為，逆時(shí)針移動(dòng)的概率為，一旦走完一圈便不再移動(dòng)，與平面的夾角為，求第n次移動(dòng)后的概率.19．?dāng)?shù)列是正項(xiàng)遞增數(shù)列，由數(shù)列中所有項(xiàng)構(gòu)成集合A，它的任意一個(gè)子集記為，定義集合B是每一個(gè)子集中的所有數(shù)之和（即分別寫出1個(gè)數(shù)，2個(gè)數(shù)，……n個(gè)數(shù)之和）.(1)若，寫出，以及集合B；(2)，將集合B中的元素分成n組，要求每組中最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之比不超過(guò)2，證明一個(gè)符合題意的分組；(3)，將集合B中的元素分成n組，要求與（2）相同，證明存在這個(gè)分組.

參考答案1．【答案】C【分析】設(shè)，利用可得答案.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以，可得，所?故選C.2．【答案】A【分析】由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】圖中陰影部分表示的是中的元素除去中的元素所剩下的元素，對(duì)比選項(xiàng)可知，只有A符合題意.故選A.3．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算公式判斷A，B項(xiàng)，再根據(jù)向量模的不等式，判斷C，D項(xiàng).【詳解】設(shè)，，,,,則不是定值，所以A，B項(xiàng)錯(cuò)誤；，因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的單位向量，所以，即.故選D.4．【答案】D【分析】列舉法可得答案.【詳解】如圖，用對(duì)角線線段代表正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)上小球及顏色，所以共五種.故選D.5．【答案】B【分析】由互斥加法公式、獨(dú)立乘法公式即可求解.【詳解】A能獲勝的情況有三種：第一種：ABABBAA；第二種：ABABABA；第三種：ABABBAA；所以所求概率為.故選B.6．【答案】C【分析】設(shè)、分別是，的中點(diǎn)，易得，，求出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：上是否存在一點(diǎn)，使得即可，設(shè)，則，利用勾股定理求出，進(jìn)而求出外接球的半徑，根據(jù)球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖，設(shè)、分別是，的中點(diǎn)，連接、、、，由四面體中，，其余各條棱長(zhǎng)均為，所以，，由、分別是，的中點(diǎn)，所以，，所以，，即為、的中垂線，所以球心在上，設(shè)球心為，外接球的半徑為，所以，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：上是否存在一點(diǎn)，使得即可，設(shè)，則，，，于是，解得，所以，于是四面體外接球的表面積.

故選C.7．【答案】B【分析】應(yīng)用余弦定理結(jié)合已知條件計(jì)算即可.【詳解】①,②,①×2-②得,所以,所以.故選B.8．【答案】A【分析】先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，，最后應(yīng)用分組求和即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，，所以，則.故選A.9．【答案】BCD【分析】直接聯(lián)立各選項(xiàng)中直線與題述直線方程即可逐一判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，取，則將代入，得，該方程無(wú)解，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，將代入，得，解得，所以B正確；對(duì)于C、D項(xiàng)，將代入，得，即，解得，，所得弦長(zhǎng)為，所以C、D正確.故選BCD.10．【答案】AC【分析】利用平均數(shù)、方差的計(jì)算公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A、B項(xiàng)，對(duì)于平均數(shù)：假設(shè)從第m項(xiàng)開(kāi)始取，那么平場(chǎng)數(shù)顯然是奇數(shù)，所以A正確B錯(cuò)誤；對(duì)于方差：對(duì)于C、D項(xiàng)，利用特值，如3，5，7，9，11，13，15；其平均數(shù)為，其方差為，而，所以C正確D錯(cuò)誤.故選AC.11．【答案】AB【分析】應(yīng)用數(shù)列的遞推公式證明數(shù)列單調(diào)性，得出遞推式判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)a，b，，，同理，a，b，t，，而，所以故是遞增數(shù)列，所以A正確；，又因?yàn)椋瑒t得出，時(shí)取等，于是，所以B正確；，，而，時(shí)，不符合題意，C錯(cuò)誤；就不成立，D錯(cuò)誤.故選AB.12．【答案】0.34135.【分析】由題意將所求概率轉(zhuǎn)換為特殊區(qū)間的概率即可求解.【詳解】由題意，所以.故答案為：0.34135.13．【答案】2；.【分析】第一空：由點(diǎn)到直線的距離公式直接計(jì)算；第二空：結(jié)合平方關(guān)系、基本不等式即可求解.【詳解】第一空：由題意斜率不為0，所以設(shè)，而，所以，第二空：若n是C的漸近線，則，，而，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí).故答案為：2；.14．【答案】.【分析】對(duì)變形，得到解析式，代入，根據(jù)恒成立列出表達(dá)式，求解即可.【詳解】，當(dāng)，時(shí)，，k是常數(shù)，，即，，當(dāng)時(shí)，，所以，，可解得所以恒成立，在恒成立，只需，解之得不存在.故答案為：.【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件歸納出表達(dá)式，驗(yàn)證當(dāng)是否成立，再由已知條件算出k取值范圍，最后根據(jù)恒成立得出方程無(wú)解.15．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)得到，再結(jié)合正弦定理即可求解；（2）由余弦定理求得，由勾股定理逆定理得，結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）原式；（2）由余弦定理有，即，解得，，所以，所以，故所求面積：.16．【答案】(1)；(2)最小值是1.【分析】（1）由題意列出方程組，求得的值即可求解；（2）畫出圖形，將所求轉(zhuǎn)換為，結(jié)合滿足的條件等式即可求解.【詳解】（1）

由題意得，，，聯(lián)立解得，，，所以橢圓方程為.（2）

，其中是下頂點(diǎn)，，注意到，設(shè)，所以，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，有最小值1，注意到，所以的最小值為1，即的最小值為1.【方法總結(jié)】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在的位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程(組).如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)完全平方公式，結(jié)合二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，令該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于零，然后求出的表達(dá)式為，再構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，然后得到，然后對(duì)其分母構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在原理，最后確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）,所以,，,即.（2）,令,不難發(fā)現(xiàn)恒成立,,令，，令,令,當(dāng)時(shí)，易知,所以單調(diào)遞增，所以,所以單調(diào)遞減，注意到，,當(dāng)時(shí)，時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減,其中，,所以存在，不符合題意,當(dāng)時(shí)，時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減,恰好，符合題意,當(dāng)時(shí)，時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)單調(diào)遞減,其中，,所以存在，不符合題意,綜上所述，.【思路導(dǎo)引】本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式多次求導(dǎo)，其中當(dāng)導(dǎo)函數(shù)是分式型時(shí)，通過(guò)對(duì)分子構(gòu)造新函數(shù).18．【答案】(1)；(2)或；(3)答案見(jiàn)解析.【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明，即可得解；（2）以AC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（3）先得到點(diǎn)的軌跡，再分凈向左1，2，3，4，5步，和凈向右4，5，6，7，8步兩種情況討論即可.【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接，設(shè)高為，因?yàn)槠矫?，P在平面中，平面平面，平面，所以，根據(jù)幾何關(guān)系得到，即側(cè)棱長(zhǎng)為；（2）以AC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖的坐標(biāo)系，則，，，或，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，，或，設(shè)平面的法向量為n2=則有，當(dāng)時(shí)，可取，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，可取，此時(shí)，綜上所述，二面角的余弦值為或；（3）由題意得下圖：由夾角得到與P點(diǎn)軌跡平面相交的圓，圓內(nèi)和圓上的點(diǎn)符合題意圖中，P從A出發(fā)，只需考慮凈結(jié)果，一：凈向左1，2，3，4，5步均可，設(shè)向左步，得到，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)；二：凈向右4，5，6，7，8步均可，設(shè)向右步，得到，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，綜上：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí).【方法總結(jié)】求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.19．【答案】(1)或或，，.(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）直接由、集合B的定義即可求解；

（2）通過(guò)分析得知，只需證明，構(gòu)造函數(shù)，只需，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可證明；（3）分析得知只需證明即可證明原命題.【詳解】（1）或或，，；（2）不難發(fā)現(xiàn)共有個(gè)數(shù)，不妨讓