廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

【新結(jié)構(gòu)】廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合B，按照集合的交運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】因?yàn)?，集合，所以．故選：C．2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，，則（）．A. B.5 C. D.8【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義知，再由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，且，所以，所以．故選：A．3.在等差數(shù)列中，若，則（）．A.7 B.12 C.16 D.24【答案】B【解析】【分析】觀察數(shù)列下標(biāo)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解．【詳解】在等差數(shù)列中，若，則，所以，所以．故選：B4.雙曲線的一個頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）．A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求解．【詳解】由雙曲線的方程知兩頂點(diǎn)，，漸近線方程為，由對稱性，不妨求到直線的距離，．故選：C．5.已知向量與的夾角為，且，，則（）．A. B. C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的坐標(biāo)求出它的模，利用數(shù)量積運(yùn)算求出所求向量的模．【詳解】由得，，又，則．故選：D.6.的展開式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為（）A.70 B.56 C.28 D.8【答案】C【解析】【分析】寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，然后確定其常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：C．7.有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為（）．A.40種 B.60種 C.80種 D.120種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，②四人都被錄取，再由分類加法計數(shù)原理即可求．【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；所以共有種不同的錄用情況．故選：B．8.已知三棱錐的體積是，A，B，C是球O的球面上的三個點(diǎn)，且，，，則球O的表面積為（）．A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理即可求出的外接圓半徑，即可求出三棱錐的高，利用余弦定理即可求出，可計算出三角形ABC的面積，再利用錐體的體積公式，進(jìn)而求解．【詳解】因?yàn)椋?，所以由正弦定理得，的外接圓半徑為，在中，由余弦定理可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，∴，由球中的截面性質(zhì)及勾股定理，可知球的半徑，所以球O的表面積為：．故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說法正確的是（）．A.若，則A，B相互獨(dú)立 B.若A，B互斥，則A，B不相互獨(dú)立C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】由條件概率及相互獨(dú)立事件的概率對選項(xiàng)逐一判斷即可．【詳解】A：因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；B：因?yàn)锳，B互斥，則，故A，B不可能相互獨(dú)立，故B正確；C：∵，∴，故C正確；D：∵，∴，∴，故D錯誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則下列說法正確的有（）．A.的一個對稱中心B.的對稱軸方程為C.在上的值域?yàn)镈.的單調(diào)遞減區(qū)間為【答案】BCD【解析】【分析】由題圖可得，根據(jù)三角恒等變換可得，再由余弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、值域逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】由題圖可得，，解得．又，可得，解得．因，所以，所以．所以．對于A，當(dāng)，，所以不是的一個對稱中心，故A錯誤；對于B，令，可得，故的對稱軸方程為，故B正確；對于C，時，，所以，故在上的值域?yàn)?，故C正確；對于D，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則（）．A. B.C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用已知條件，結(jié)合賦值法，即可求解．【詳解】，時，，，而，∴，，時，，∴，∴，故B正確；令，，，令，，故A正確；，是奇函數(shù)，故D正確．令，則，為增函數(shù)，故C錯誤．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在點(diǎn)處切線斜率是__________．【答案】2【解析】【分析】由題意，求出的導(dǎo)函數(shù)，即可得該切線的斜率．【詳解】∵，∴∴時，，則在點(diǎn)處的切線斜率是2．故答案為：2．13.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，則__________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理及三角形中角之間的關(guān)系可得的值，再由角C的范圍，可得角C的大??；再由，可得，由此即可求出結(jié)果．【詳解】因，由正弦定理可得，可得，在三角形中，，且，所以，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以．故答案為?4.記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】由題意在同一個坐標(biāo)系中，分別作出三個函數(shù)的圖像，再按要求得到的圖象，結(jié)合圖像易得函數(shù)的最大值．【詳解】如圖所示，在同一個坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實(shí)紅線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)的最大值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明,再通過線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，根據(jù)向量法求二面角的公式即可求解.【小問1詳解】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因?yàn)椋?，又平面，平面，所以平面．【小?詳解】設(shè)平面的法向量為，則，取，則，．所以，是平面的一個法向量，又因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個法向量，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．16.某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8％，且在每年年底賣出100頭牛．設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，，…．（1）寫出一個遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）求的值．（其中，，）【答案】（1）（2）11775【解析】【分析】（1）由題意，可得；（2）原式可化為，結(jié)合（1）可求出r，k，可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式可得答案．【小問1詳解】由題意，得，并且．【小問2詳解】將化成．比較①②的系數(shù)，可得．解這個方程組，得．所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，則．所以（頭）．17.如圖，在一條無限長的軌道上，一個質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動一個單位，設(shè)移動次后質(zhì)點(diǎn)位于位置．（1）求；（2）求；（3）指出質(zhì)點(diǎn)最有可能位于哪個位置，并說明理由．【答案】（1）（2）0（3）答案見解析【解析】【分析】設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，則，，（1）利用即可；（2）利用即可；（3）先得到，然后分別討論二項(xiàng)式系數(shù)最大值即可．【小問1詳解】設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，所以．【小問2詳解】設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，且，而，所以.【小問3詳解】設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動中向右移動的次數(shù)為Y，顯然每移動一次的概率為，則，所以，若n為偶數(shù)，中間的一項(xiàng)取得最大值，即概率最大，此時，所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置0，若n為奇數(shù)，中間的兩項(xiàng)，取得最大值，即或概率最大，此時或，所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置1或．18.一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，記動圓圓心的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程，并說明E是什么曲線；（2）若點(diǎn)P是曲線E上異于左右頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，點(diǎn)O為曲線E的中心，過E的左焦點(diǎn)F且平行于的直線與曲線E交于點(diǎn)M，N，求證：為一個定值．【答案】（1）曲線，曲線E的是焦點(diǎn)在x軸上，對稱中心在原點(diǎn)，以、為焦點(diǎn)的橢圓．（2）證明見解析【解析】【分析】（1）分別求出動圓圓心與兩已知圓圓心的距離，從而得到兩距離之和是一個定值且大于兩已知圓圓心距離，從而結(jié)合橢圓定義即可得解.（2）當(dāng)弦的斜率不存在時，此時弦為橢圓的短半軸，可得，當(dāng)弦的斜率存在時，設(shè)為k，設(shè)直線的方程為，代入曲線E，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積可得，可得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)動圓的圓心，動圓半徑為r，因?yàn)榛癁闃?biāo)準(zhǔn)方程，故圓心，，因?yàn)榛癁闃?biāo)準(zhǔn)方程，故圓心，，依題意得，，所以，故點(diǎn)Q是以、為焦點(diǎn)的橢圓，所以，，故，所以曲線，曲線E是焦點(diǎn)在x軸上，對稱中心在原點(diǎn)，以、為焦點(diǎn)橢圓.【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)弦的斜率不存在時，此時弦為橢圓的短半軸，此時，此時直線為橢圓的通徑，滿足，從而，當(dāng)弦的斜率存在時，設(shè)為k，設(shè)直線的方程為，代入曲線E得，從而，設(shè)直線，代入曲線E得，設(shè)，，則，，又因?yàn)?，所以，所?綜上所述，為一個定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線定值問題的解決方法主要包括以下幾個步驟：1.設(shè)定變量：需要根據(jù)題目情況設(shè)定直線方程，通常為或的形式；2.利用條件表示其他量：通過題目給出的條件，用設(shè)定的變量表示其他需要的量，如弦長、距離等；3.化簡求定值：將表示的其他量代入到需要求定的量中，通過計算和化簡，最終得到一個與變量無關(guān)的定值.19.帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）．已知在處的階帕德近似為．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）比較與的大小；（3）若有3個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），．（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）求出，，，，根據(jù)，列方程組即可求解；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即可比較大?。唬?），除1外還有2個零點(diǎn)，設(shè)為，，，由導(dǎo)數(shù)由函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求m的范圍．【小問1詳解】由，，知，，，，由題意，，所以，所以，．【小問2詳解】由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，∴時，；時，，所以時，；時，．【小問3詳解】由（1）知，，注意到，則除1外還有2個零點(diǎn)，設(shè)為，，，令，當(dāng)時，在上恒成立，則，所以在上單調(diào)遞減，不滿足，舍去，當(dāng)時，除1