河北省部分地區(qū)2025屆高三上學(xué)期9月摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2025屆高三年級摸底考試數(shù)學(xué)注意事項:1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，由條件根據(jù)集合包含關(guān)系列不等式求范圍即可.【詳解】不等式，可化為，所以，所以，因為，，所以，所以.所以1,2.故選：A.2.在平面直角坐標(biāo)系中，若的終邊經(jīng)過點，則的值為（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角三角函數(shù)定義結(jié)合二倍角公式求出和，再結(jié)合兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】由任意角三角函數(shù)定義得，，由二倍角公式得，，由兩角和的余弦公式得，，故C正確.故選：C3.在平行四邊形ABCD中，，點E為CD中點，點F滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】連接，由，求解即可.【詳解】解：連接，如圖所示：因為.故選：A.4.已知雙曲線的右焦點為，過點作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求點到雙曲線的漸近線的距離，由條件列方程，化簡可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點的坐標(biāo)為，，雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)點在漸近線上，則，所以，因為，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：C.5.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求得，再由復(fù)數(shù)的除法運算求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意由，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱可得；所以.故選：B.6.已知偶函數(shù)對于都有，且當(dāng)時，.若有6個零點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性和周期性畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為與在上的圖象要有3個交點，從而得到不等式，求出a的取值范圍.【詳解】為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則時，，由可知，函數(shù)的一個周期為2，其中為偶函數(shù)，故同一坐標(biāo)系下，畫出與在上的圖象如下：要想有6個零點，即與有6個交點，則與在上的圖象要有3個交點，故且，解得.故選：C7.邊長為2的正方形的中心為，將其沿對角線折成直二面角.設(shè)為的中點，為的中點，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作圖，根據(jù)二面角的定義，余弦定理，可得是兩腰為1，底邊為的等腰三角形，從而可得旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，將該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑再轉(zhuǎn)化為其軸截面菱形的內(nèi)切圓的半徑，最后根據(jù)等面積求出，即可得到該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積.【詳解】由邊長為2的正方形的中心為，將其沿對角線折成直二面角，則可得，，，，平面平面，又平面平面，平面，平面，又為的中點，為的中點，為的中點，則可得,,過作于點，連接，則，平面，又平面，又，，，,，在中，，又，，將繞直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，作出其軸截面，如圖，則該軸截面中和為邊長為1的等邊三角形，該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑即為菱形的內(nèi)切圓的半徑，由等面積法，則，即，則，因此該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于得到旋轉(zhuǎn)體為兩個同底面的圓錐組合體，其次把求旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的半徑，轉(zhuǎn)化為求軸截面菱形的內(nèi)切圓的半徑.8.在空間直角坐標(biāo)系中，平面、平面、平面把空間分成了八個部分.在空間直角坐標(biāo)系中，確定若干個點，點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)均取自集合，這樣的點共有個，從這個點中任選2個，則這2個點不在同一個部分的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列組合及古典概型的概率的知識計算即可.【詳解】由題意得，從這個點中任選2個，共有種選法，在坐標(biāo)系同一部分的點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)的正負均相同，所以八個部分中的點的個數(shù)分別為，從這27個點中任選2個，若這2個點在同一個部分，概率為所以這2個點不在同一個部分的概率為．故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在單調(diào)遞增.B.函數(shù)在單調(diào)遞減.C.對任意，都有成立.D.存在，使得.【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性判斷A，B，利用函數(shù)的凹凸性判斷C，轉(zhuǎn)化為零點問題，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存在性定理判斷D即可.【詳解】因為，所以，易得，令，所以，故恒成立，故單調(diào)遞增，即當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故A正確，易得，所以，所以存在作為零點，令，，令，，所以函數(shù)在不單調(diào)遞減，故B錯誤，由已知得的二階導(dǎo)數(shù)恒大于0，所以是凹函數(shù)，所以成立，故C正確，欲證，則證，即證存在，，令，即證存在，有零點即可，而，令，所以，故在上單調(diào)遞增，而，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，易得，所以在上恒成立，故在上不可能有零點，故D錯誤.故選：AC10.已知數(shù)列滿足，且，記的前項和為，的前項和為，則下列說法中正確的是（）A.的通項公式為B.C.D.數(shù)列是等差數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】A選項，根據(jù)已知條件得到，故為公比為2的等比數(shù)列，從而得到；B選項，利用分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式得到；C選項，推導(dǎo)出故為遞增數(shù)列，且，故恒成立，所以；D選項，在A選項基礎(chǔ)上得到，為常數(shù)列，故D正確.【詳解】A選項，，則，所以為公比為2的等比數(shù)列，其中，故，則，A正確；B選項，，B正確；C選項，，當(dāng)時，恒成立，故為遞增數(shù)列，且，故恒成立，故，C錯誤；D選項，，故為常數(shù)列，為等差為0的等差數(shù)列，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.11.已知集合，若，則m的取值范圍是______.【答案】或【解析】【分析】化簡集合,由兩集合交集為空集，列出不等式即可求解.【詳解】因為所以或解得：或故答案為：或12.已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的半徑之比為3：1，設(shè)圓錐的底面半徑為，則圓錐的表面積與球的表面積之比為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得圓錐的高，球的半徑，再求出圓錐的表面積和球的表面積，即可得答案.【詳解】因為圓錐的底面半徑為，且軸截面為正三角形，所以圓錐的高，又因為圓錐的高與球的半徑之比為3：1，所以球的半徑，所以圓錐的表面積；球的表面積；所以.故答案為：13.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件時，總成本為（單位：萬元）.若甲產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過5件，且甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量之和不超過10件.則總成本C的最小值為______萬元.【答案】【解析】【分析】由題意可得，且，結(jié)合所給總成本關(guān)系式可得當(dāng)、都取最小值時，總成本最小，代入計算即可得.【詳解】由題意可得，且，由可得：當(dāng)不變時，隨的增大而增大，當(dāng)不變時，隨的增大而增大，故當(dāng)、都取最小值時，有最小值，即時，有最小值，此時.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.14.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義即可得數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，并求出通項公式；（2）寫出數(shù)列的通項公式，利用分組求和的方法即可得出.【小問1詳解】根據(jù)題意由易知，即可得為定值，由此可得數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，所以，可得；即數(shù)列通項公式為；【小問2詳解】由（1）可得；則數(shù)列的前n項和.即可得15.已知函數(shù).（1）若該函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍.（2）當(dāng)時，若方程有兩個實數(shù)根，且，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系討論求解；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，并結(jié)合即可證明.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又該函數(shù)在單調(diào)遞增，故，綜上可知，的取值范圍為【小問2詳解】當(dāng)時，，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，令，則，故，又在上單調(diào)遞增，所以，故【點睛】方法點晴:對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略:1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍;2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.16.將一個骰子在桌面上連續(xù)獨立地拋次（為正整數(shù)）：設(shè)為與桌面接觸的數(shù)字為奇數(shù)的次數(shù)，為擲骰子一次與桌面接觸的數(shù)字為奇數(shù)的概率.（1）當(dāng)時，若骰子的質(zhì)地是均勻的，求Y的數(shù)學(xué)期望和方差.（2）若骰子有瑕疵，即，設(shè)是擲骰子次中與桌面接觸的數(shù)字為奇數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，求證：.【答案】（1）數(shù)學(xué)期望為，方差為.（2）證明詳見解析【解析】【分析】（1）先求得的值，然后根據(jù)二項分布的知識求得的數(shù)學(xué)期望和方差.（2）利用全概率公式證得等式成立.【小問1詳解】若骰子的質(zhì)地是均勻的，則，依題意可知，所以.【小問2詳解】若骰子有瑕疵，即，而是擲骰子次中與桌面接觸的數(shù)字為奇數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，根據(jù)全概率公式可知，整理得.17.如圖1，直角梯形中，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中分別為上下底面直徑，點分別在圓弧上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值等于，求到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)平面與幾何體的上底面交于點，利用面面平行的性質(zhì)，得到，再由平面，證得，進而得到和，證得平面，即可證得平面平面.（2）連接，由平面，得到，由平面，將問題轉(zhuǎn)化為到平面的距離，再利用，即可求解.（3）分別取的中點，連接，利用平面平面，將問題轉(zhuǎn)化為平面與平面夾角的余弦值為，過點作，得到則為平面與平面夾角，結(jié)合等面積法和射影定理，即可求解.【小問1詳解】證明：設(shè)平面與幾何體的上底面交于點，即平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，又因為平面，平面，平面，所以，所以，因為，所以，又因為平面，且平面，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】解：連接，由（1）知平面，所以就是直線與平面所成的角，即，因為，所以，所以為直角三角形，又，所以，又因為平面平面，所以點到平面的距離為，因為平面，所以點到平面的距離等于點