黑龍江省齊齊哈爾市多校2024-2025學(xué)年高三第一次聯(lián)考（月考）數(shù)學(xué)試題（解析）

2024～2025學(xué)年高三第一次聯(lián)考（月考）試卷數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合的真子集的個數(shù)為（）A.7 B.8 C.31 D.32【答案】A【解析】【分析】計算出然后計算真子集個數(shù)即可.【詳解】由題得所以，有是三個元素，所以真子集個數(shù)為.故選：A2.已知，，則“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】由，，可得，而得不出，，可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，則“，，所以，所以“，”是“”的充分條件；當(dāng)，可滿足，所以“，”是“”的不必要條件.故選：A.3.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京冬奧會的標(biāo)志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量與時間（小時）的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量，且）.如果前4個小時消除了的污染物，那么污染物消除至最初的還需要（）A.3.8小時 B.4小時 C.4.4小時 D.5小時【答案】B【解析】【分析】由題意可得，再令，解出可得，即可得解.【詳解】由題意可知，即有，令，則有，解得，，故還需要4小時才能消除至最初的.故選：B.4.若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的值域?yàn)?，可得函?shù)的值域應(yīng)包含，利用即可得解.【詳解】函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域應(yīng)包含，則有，解得或，所以的取值范圍是.故選：D.5.已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，求出解析式，判斷單調(diào)性，通過比較指數(shù)式與對數(shù)式的大小，由單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小.【詳解】點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則有，解得，有，則在R上單調(diào)遞增.由，，則，所以，即.故選：C.6.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得：當(dāng)時，，當(dāng)，，當(dāng)，，再借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可得解.詳解】由題意知，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，即有在上恒成立，令，則，故當(dāng)時，，當(dāng)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，即有；當(dāng)時，，由題意可得，當(dāng)，，當(dāng)，，則有當(dāng)，，當(dāng)，，分別解得，，即；綜上所述：.故選：D.7.設(shè)函數(shù),的零點(diǎn)分別為、,則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得是函數(shù)的圖象和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)，求得，從而得出結(jié)論．【詳解】由題意可得是函數(shù)的圖象和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且，都是正實(shí)數(shù)，如圖所示：故有，故，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．8.已知，，，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，利用換元法可將原式變形再利用基本不等式即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，且因此，令，則；又；當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立；此時的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將未知數(shù)個數(shù)減少，并合理變形利用基本不等式求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)與是相同的函數(shù)B.函數(shù)的最小值為6C.若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則D.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【解析】【分析】根據(jù)定義域以及對應(yīng)關(guān)系即可判斷A，由基本不等式即可求解B，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解C，由抽象函數(shù)定義域的性質(zhì)即可求解D.【詳解】對于A，由題意可得，解得，所以的定義域?yàn)?，．由得，所以的定義域?yàn)?．又因?yàn)椋屎瘮?shù)與是相同的函數(shù)，故A正確．對于B,，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．由于方程無解，故等號不成立，故B錯誤．對于C,若為定義域上為奇函數(shù)，故定義域需要滿足，則，否則，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，進(jìn)而可得定義域?yàn)?故，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故C正確，對于D，對于已知函數(shù)f2x+1的定義域?yàn)?，則，故，則函數(shù)的定義域?yàn)?，D正確，故選：ACD．10.若，且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷ABC，利用特例判斷D.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，即，故A正確；因?yàn)椋?，所以，故B錯誤；因?yàn)椋?，故C正確；當(dāng)時滿足題設(shè)條件，但不成立，故D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是B.點(diǎn)為曲線的對稱中心C.若過點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則的取值范圍是D.若存在極值點(diǎn)，且，其中，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，求導(dǎo)可得對恒成立，可求以的取值范圍判斷A；對于B，通過平移可得，令，可得為奇函數(shù)可判斷B；對于C，將代入得到的解析式，根據(jù)過某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法求解即可判斷C；對于D，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，先分和討論函數(shù)的單調(diào)性，得到且，此時可得的表達(dá)式，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案可判斷D.【詳解】對于A，由，可得，若在上單調(diào)遞增，則對恒成立，所以對恒成立，所以對恒成立，所以，所以的取值范圍是，故A錯誤；對于B，由，可得，又，所以，令，又，所以關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)為曲線的對稱中心，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率，化簡得，由條件可知該方程有三個實(shí)根，所以有三個實(shí)根，記，所以，令，解得或，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時取得極大值，當(dāng)時，取得極小值，因?yàn)檫^點(diǎn)可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項(xiàng)C正確；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，由，解得或，由，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因?yàn)榇嬖跇O值點(diǎn)，所以，得，令，所以，因?yàn)?，于是，所以，化簡得：，因?yàn)椋?，于是?所以，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的恒成立問題的求解策略:形如的恒成立的求解策略：1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進(jìn)而得到不等式恒成立.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12._________.【答案】##【解析】【分析】直接根據(jù)指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可．【詳解】．故答案為：．13.已知函數(shù)y=x稱為高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，則不等式的解集為______；當(dāng)時，的最大值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】解分式不等式可得，再結(jié)合x定義可得空一；分x∈0,1及，結(jié)合基本不等式計算可得空二.【詳解】由，即，解得，又x表示不超過的最大整數(shù)，故；當(dāng)x∈0,1時，，則，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即當(dāng)時，的最大值為.故答案為：；.14.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為_________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)恒成立得出條件等式，即可構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)研究其最小值即可得.【詳解】當(dāng)時，，則，即，當(dāng)時，，則，即，即有，即，則，令，，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題、共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）若，求和；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）分別計算出集合及集合后，結(jié)合集合交集定義與補(bǔ)集定義即可得；（2）由可得，分與計算即可得解.【小問1詳解】若，則，，則，；【小問2詳解】由，則，當(dāng)時，即恒成立，即；當(dāng)時，即時，，由，則有或，分別解得，無解，故；綜上所述：.16.已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求，的值；（2）若，，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合二次不等式與二次方程的關(guān)系可求；（2）利用乘1法，結(jié)合基本不等式可求．【小問1詳解】不等式的解集為，和是方程的兩個實(shí)數(shù)根，且，，解得；【小問2詳解】（2）由（1）知，于是有，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)且，即等號成立，故的最小值為17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，分、、及進(jìn)行討論即可得；（2）可將原問題轉(zhuǎn)化為對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)分及計算其最小值即可得.【小問1詳解】，當(dāng)時，恒成立，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得或，則當(dāng)，即時，恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】由題意可得對任意的恒成立，即對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，，則，當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，符合要求；當(dāng)時，令，解得，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，則有，令，即，令，，則，即在上單調(diào)遞減，即，即當(dāng)時，恒成立，不符合要求；綜上所述，.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求的值，并證明：在上單調(diào)遞增；（2）求不等式的解集；（3）若在區(qū)間上的最小值為，求的值.【答案】（1）（2）或；（3）或．【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)得，解出；由單調(diào)性的定義即可求解，（2）由函數(shù)單調(diào)性、奇偶性可把不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，解出即可；（3），令，可化為關(guān)于的二次函數(shù)，分情況討論其最小值，令最小值為，解出即可；【小問1詳解】是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，，，，，此時，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；函數(shù)的定義域?yàn)?，在上任取，，且，函?shù)在上單調(diào)遞增，【小問2詳解】由（1）可知，且在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由可得，，即，或，不等式的解集為或；小問3詳解】，．令，，，，當(dāng)時，當(dāng)時，，則（舍去）；當(dāng)時，當(dāng)時，，解得，符合要求，綜上可知或．19.已知函數(shù).（1）若，求圖象在處的切線方程；（2）若恰有兩個極值點(diǎn)，（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】（1）（2）（i）；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；（2）（i）求導(dǎo)后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)與極值點(diǎn)定義計算即可得；（ii）結(jié)合韋達(dá)定理可將證明轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)在上恒成立，借助導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)