人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（精講）（解析版）

7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖典例精講典例精講考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算【例1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知為虛數(shù)單位，計(jì)算下列各式．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．【一隅三反】1．（2022廣東湛江）計(jì)算：(1)；(2)；（3）；（4）；（5）；（6）.（7）（8）【答案】(1)(2)（3）；（4）；（5）0；（6）8.（7）；（8）.【解析】(1)；(2)；（3）（4）（5）（6）=8（7）；（8）.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算【例2-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)4(2)(3)(4)【解析】（1）．（2）原式．（3）．（4）原式．【例2-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．（3）i＋2i2＋3i3＋…＋2020i2020＋2021i2021.【答案】(1)(2)（3）1010＋1011i【解析】（1）原式．原式（3）原式＝(i－2－3i＋4)＋(5i－6－7i＋8)＋(9i－10－11i＋12)＋…＋(2017i－2018－2019i＋2020)＋2021i＝505·(2－2i)＋2021i＝1010＋1011i.【一隅三反】1．（2022·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)，則_______.【答案】【解析】由題意化簡，則，故答案為：2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）______．（其中i是虛數(shù)單位）【答案】【解析】.故答案為：3（2023·高一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算．(1)；(2)．(3)；(4)；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【解析】（1）解法1：原式．解法2：原式．（2）原式．（3）原式.（4）原式.（5），，，原式.考點(diǎn)三共軛復(fù)數(shù)【例3】（2022春·吉林長春·高一校考期中）已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為___________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以的共軛?fù)數(shù)為.故答案為：【一隅三反】1．（2022·高一單元測試）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，共軛?fù)數(shù)為.故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限； B．第二象限； C．第三象限； D．第四象限．【答案】D【解析】，所以其共軛復(fù)數(shù)為，它在復(fù)平面所對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第四象限.故選：D.3．（2022春·遼寧沈陽·高一沈陽市第四十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足，其中為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)為___________.【答案】【解析】由于，所以，所以.故答案為：考點(diǎn)四在復(fù)數(shù)內(nèi)解方程【例4-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的根，則實(shí)數(shù)______.【答案】2【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的根，所以也是方程的根，所以，得，故答案為：2【例4-2】（2022春·上海浦東新·高一校考期末）已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)虛根和，且，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)虛根和，所以，則，又由求根公式知兩虛根為，，所以，則，解得，滿足要求，所以.故選：C.【例4-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）由于，所以.（2）由于，所以.【一隅三反】1．（2022春·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則該方程的另一個(gè)根為________．【答案】【解析】是關(guān)于的方程的一個(gè)根，設(shè)該方程的另一個(gè)根為，可得，解得.故答案為：．2．（2022春·江蘇南京·高一南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且滿足方程．(1)求和．(2)寫出一個(gè)以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．【答案】(1)，(2)（答案不唯一）【解析】(1)因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，則互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)，，代入中，得，整理得，，解得，，；(2)；，以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以為．3．（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考期末）已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位.(1)若z是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若，z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2)【解析】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以解得：.(2)當(dāng)時(shí)，.因?yàn)閦是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以z的共軛復(fù)數(shù)也是實(shí)系數(shù)方程的根，所以，，解得：，，故.考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用【例5-1】（2022春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知復(fù)數(shù)：滿足，則（

）A． B．z的虛部為C．z的共軛復(fù)數(shù)為 D．z是方程的一個(gè)根【答案】AD【解析】因?yàn)?，所以，對A：，故選項(xiàng)A正確；對B：z的虛部為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：z的共軛復(fù)數(shù)為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對D：因?yàn)榉匠痰母鶠?，所以z是方程的一個(gè)根，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.【例5-2】（2022春·上海閔行·高一閔行中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中真命題的序號是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若是虛數(shù)，則都是虛數(shù).A．①④ B．② C．②③ D．①②③【答案】C【解析】為復(fù)數(shù)，①若，因?yàn)闆]有大小（虛部為0，即為實(shí)數(shù)時(shí)除外），故是錯(cuò)誤的，②若，設(shè)，則，由，得，所以，正確，③若，則，正確，④若是虛數(shù)，不一定都是虛數(shù)，比如，而是虛數(shù)，故錯(cuò)誤，故②③正確，故選：C.【一隅三反】1．（2022春·廣東廣州·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知為虛數(shù)單位，則以下四個(gè)說法中正確的是（

）A． B．復(fù)數(shù)的虛部為C．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則 D．若為復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)【答案】AD【解析】A：，故A正確；B：對于復(fù)數(shù)的虛部為-1，故B錯(cuò)誤；C：由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，設(shè)()，則，所以，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)復(fù)數(shù)()，則，所以，故D正確.故選：AD2．（2022·高一單元測試）（多選）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】對于A：因?yàn)椋瑒t，則，所以，故A正確；對于B：若，則，故B正確；對于C：令，，，由，所以，所以，則，同理可得，所以，故C正確；對于D：令，，則，但是、，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)平