人教版高中數(shù)學精講精練必修二10.3 頻率與概率（精講）（解析版）

10.3頻率與概率（精講）思維導圖思維導圖典例精講典例精講考點一頻率與概率概念的辨析【例1】（2023·全國·高一專題練習）下列四個命題中真命題的個數(shù)為（

）個①有一批產品的次品率為，則從中任意取出件產品中必有件是次品；②拋次硬幣，結果次出現(xiàn)正面，則出現(xiàn)正面的概率是；③隨機事件發(fā)生的概率就是這個隨機事件發(fā)生的頻率；④擲骰子次，得點數(shù)為的結果有次，則出現(xiàn)點的頻率為.A． B． C． D．【答案】A【解析】對于①，一批產品的次品率即出現(xiàn)次品的概率，它表示的是產品中出現(xiàn)次品的可能性的大小，并非表示件產品中必有件次品，故①不是真命題；對于②，拋次硬幣，結果次出現(xiàn)正面，可知出現(xiàn)正面的頻率是，而非概率，故②不是真命題；對于③，隨機事件發(fā)生的概率不隨試驗次數(shù)的多少而發(fā)生變化，是事件的一種固有屬性，而隨機事件發(fā)生的頻率，會發(fā)生變化，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會穩(wěn)定于概率，但頻率只是概率的近似值，并不表示概率就是頻率，故③不是真命題；對于④，擲骰子次，得點數(shù)為的結果有次，即次試驗中，“出現(xiàn)點”這一事件發(fā)生了次，則出現(xiàn)點的頻率為，故④為真命題.綜上所述，真命題個數(shù)為個.故選：A.【一隅三反】1．（2022·高一課時練習）下列說法中正確的是（

）A．當試驗次數(shù)很大時，隨機事件發(fā)生的頻率接近概率B．頻率是客觀存在的，與試驗次數(shù)無關C．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定【答案】A【解析】A選項，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性可知A選項正確.B選項，頻率與實驗次數(shù)有關，B選項錯誤.C選項，隨機事件發(fā)生的頻率不是這個隨機事件發(fā)生的概率，C選項錯誤.D選項，概率不是隨機的，是確定的，D選項錯誤.故選：A2．（2022·全國·高一專題練習）下列四個命題中正確的是（

）A．設有一批產品，其次品率為，則從中任取200件，必有10件是次品B．做100次拋硬幣的試驗，結果51次出現(xiàn)正面，因此出現(xiàn)正面的概率是C．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率D．拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結果18次，則出現(xiàn)1點的頻率是【答案】D【解析】對于A，次品率是大量產品的估計值，并不是必有10件是次品，故A錯誤；對于B，拋硬幣出現(xiàn)正面的概率是，而不是，故B錯誤；對于C，頻率與概率不是同一個概念，故C錯誤；對于D，利用頻率計算公式求得頻率，故D正確.故選：D3．（2022·高一課時練習）某地氣象局預報說：明天本地降水的概率為80%，則下列解釋正確的是（

）A．明天本地有80%的區(qū)域降水，20%的區(qū)域不降水B．明天本地有80%的時間降水，20%的時間不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上說法均不正確【答案】C【解析】選項A，B顯然不正確，因為明天本地降水的概率為80%，不是說有80%的區(qū)域降水，也不是說有80%的時間降水，而是指降水的可能性是80%.故選：C.4．（2022·全國·高一專題練習）（多選）對下面的描述：①頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事件發(fā)生的可能性的大小；②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率就是事件A發(fā)生的概率；③頻率是不能脫離具體的n次試驗的試驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．其中正確的說法有（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】由頻率和概率的意義知，頻率是反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率是反映事件發(fā)生的可能性的大小，故①正確；由頻率和概率的關系知，頻率是概率的近似值，是通過大量試驗得到的，而概率是頻率的穩(wěn)定值，是確定的理論值，故②錯誤，③④正確.故選：ACD.考點二頻率與概率的計算【例2-1】（2023·高一課時練習）已知一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)具體如下：10

8

6

10

13

8

10

12

11

78

9

11

9

12

9

10

11

12

11那么頻率為0.4的范圍是（

）A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.5【答案】C【解析】5.5~7.5的頻率為，7.5~9.5的頻率為，9.5~11.5的頻率為，11.5~13.5的頻率為，所以C選項正確.故選：C【例2-2】（2023·全國·高一專題練習）根據(jù)統(tǒng)計，某籃球運動員在1000次投籃中，命中的次數(shù)為560次，則該運動員（

）A．投籃命中的頻率為0.56 B．投籃10次至少有5次命中C．投籃命中的概率為0.56 D．投籃100次有56次命中【答案】A【解析】由題意可知投籃命中的頻率為，得到的頻率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于概率，故A正確，C錯誤，投籃10次或100次相當于做10次或100次實驗，每一次的結果都是隨機的，其結果可能一次沒中，或者多次投中等，頻率、概率只反映事件發(fā)生的可能性的大小，不能說明事件是否一定發(fā)生，故BD錯誤；故選：A【一隅三反】1．（2022福建）拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是___________.【答案】【解析】拋擲一枚質地均勻的硬幣，要么正面向上，要么反面向上，因此第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是，故答案為：2．（2023·高一課時練習）某個地區(qū)從某年起幾年內的新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)如下表：（1）填寫表中的男嬰出生頻率；（保留兩位有效數(shù)字）時間范圍1年內2年內3年內4年內新生嬰兒數(shù)554490131352017191男嬰數(shù)2716489968128590男嬰出生頻率________________（2）這一地區(qū)男嬰出生的概率約是______.【答案】

0.49

0.54

0.50

0.50

0.50【解析】（1）根據(jù)得：1年內男嬰出生頻率為；2年內男嬰出生頻率為；3年內男嬰出生頻率為；4年內男嬰出生頻率為；（2）根據(jù)頻率估計概率，頻率的穩(wěn)定值為，所以，這一地區(qū)男嬰出生的概率約是.故答案為：；；；；.3．（2022·全國·高一專題練習）某射擊運動員為備戰(zhàn)奧運會，在相同條件下進行射擊訓練，結果如下：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率0.80.950.880.920.890.91（1）該射擊運動員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？（2）假設該射擊運動員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？（3）假如該射擊運動員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？（4）假如該射擊運動員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？【答案】（1）0.9；（2）270；（3）不一定擊不中靶心；（4）不一定【解析】（1）由題意得，擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0.9.（2）擊中靶心的次數(shù)大約為.（3）由概率的意義，可知概率是個常數(shù)，不因試驗次數(shù)的變化而變化.后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不一定擊不中靶心.（4）由概率的意義知，不一定.考點三隨機模擬【例3-1】（2022春·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為40%，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產生出[0，9]之間整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù)：192

907

966

925

271

932

812

458

569

683

257

393

127

556

488

730

113

537

989

431據(jù)此估計三只豚鼠中至少一只被感染的概率為（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75【答案】D【解析】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對立事件為三只豚鼠都沒被感染，隨機數(shù)中滿足三只豚鼠都沒被感染的有907，966，569，556，989共5個，故三只豚鼠都沒被感染的概率為，則三只豚鼠中至少一只被感染的概率為故選：D【一隅三反】1．（2022·全國·高一專題練習）某種心臟手術，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率：先利用計算器或計算機產生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，由于成功率是0.6，我們用0，1，2，3表示手術不成功，4，5，6，7，8，9表示手術成功；再以每3個隨機數(shù)為一組，作為3例手術的結果，經隨機模擬產生如下10組隨機數(shù)：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【答案】A【解析】由題意，10組隨機數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術全部成功”的有：569,989，故2個，故估計“3例心臟手術全部成功”的概率為.故選：A.2．（2023西藏）在這個熱“晴”似火的7月，多地持續(xù)高溫，某市氣象局將發(fā)布高溫橙色預警信號（高溫橙色預警標準為24小時內最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫37攝氏度以上的概率是．某人用計算機生成了20組隨機數(shù)，結果如下：116785812730134452125689024169334217109361908284044147318027若用0，1，2，3，4表示高溫橙色預警，用5，6，7，8，9表示非高溫橙色預警，則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預警信號的概率估計是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預警信號的隨機數(shù)有12個，分別為：116,812,730,452,125,217,109,361,284,147,318,027,則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預警信號的概率估計是：，故選：A.3．（2022·高一課時練習）手機支付已經成為人們常用的付費方式．某大型超市為調查顧客付款方式的情況，隨機抽取了100名顧客進行調查，統(tǒng)計結果整理如下：顧客年齡歲20歲以下70歲及以上手機支付人數(shù)3121491320其他支付方式人數(shù)0021131121從該超市顧客中隨機抽取1人，估計該顧客年齡在且未使用手機支付的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在隨機抽取的100名顧客中，顧客年齡在且未使用手機支付的共有人，所以從該超市隨機抽取1名顧客，估計該顧客年齡在且未使用手機支付的概率為．故選：A.4．（2023北京）試解釋下面情況中的概率意義：①某廠產品的次品率為；②服用某種藥物治愈某種疾病的概率為．【答案】①答案見解析；②答案見解析．【解析①“某廠產品的次品率為”是指任取一件產品為次品的可能性為，即若從該產品中任取件產品，其中可能有件次品，而不是一定有件次品；②“服用某種藥物治愈某種疾病的概率為”是一個隨機事件，概率為說明這種藥治愈此種疾病的可能性是，但不是表示其一定能治愈，只是治愈的可能性較大．考點四綜合運用【例4】（2022·高一課前預習）有一個轉盤游戲,轉盤被平均分成10等份(如圖所示),轉動轉盤,當轉盤停止后,指針指向的數(shù)字即為轉出的數(shù)字.游戲規(guī)則如下:兩個人參加,先確定猜數(shù)方案,甲轉動轉盤,乙猜,若猜出的結果與轉盤轉出的數(shù)字所表示的特征相符,則乙獲勝,否則甲獲勝.猜數(shù)方案從以下三種方案中選一種:A．猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”B．猜“是4的整數(shù)倍數(shù)”或“不是4的整數(shù)倍數(shù)”C．猜“是大于4的數(shù)”或“不是大于4的數(shù)”請回答下列問題:(1)如果你是乙,為了盡可能獲勝,你將選擇哪種猜數(shù)方案,并且怎樣猜?為什么?(2)為了保證游戲的公平性,你認為應制定哪種猜數(shù)方案?為什么?(3)請你設計一種其他的猜數(shù)方案,并保證游戲的公平性.【答案】(1)應選方案B,猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”;(2)應當選擇方案A;(3)可以設計為:猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”【解析】(1)如題圖,方案A中“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為=0.5;方案B中“不是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為=0.8,“是4的整數(shù)倍數(shù)”的概率為=0.2;方案C中“是大于4的數(shù)”的概率為=0.6,“不是大于4的數(shù)”的概率為=0.4.乙為了盡可能獲勝,應選方案B,猜“不是4的整數(shù)倍數(shù)”.(2)為了保證游戲的公平性,應當選擇方案A.因為方案A猜“是奇數(shù)”或“是偶數(shù)”的概率均為0.5,從而保證了該游戲是公平的.(3)可以設計為:猜“是大于5的數(shù)”或“不是大于5的數(shù)”,此方案也可以保證游戲的公平性.【一隅三反】1．（2023廣東）下面有三種游戲規(guī)則：袋子中分別裝有大小相同的球，從袋中取球，游戲1游戲2游戲33個黑球和1個白球1個黑球和1個白球2個黑球和2個白球取1個球，再取1個球取1個球取1個球，再取1個球取出的兩個球同色→甲勝取出的球是黑球→甲勝取出的兩個球同色→甲勝取出的兩個球不同色→乙勝取出的球是白球→乙勝取出的兩個球不同色→乙勝問其中不公平的游戲是()A．游戲1 B．游戲1和游戲3C．游戲2 D．游戲3【答案】D【解析】游戲1中，取2個球的所有可能情況為：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲勝的可能性為0.5，故游戲是公平的；游戲2中，顯然甲勝的可能性為0.5，游戲是公平的；游戲3中，取2個球的所有可能情況為：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲勝的可能性為eq\f(1,3)，游戲是不公平的．故選D.2.（2022甘肅）如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到火車站的人進行調查，調查結果如下：所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表中各時間段內的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑．【答案】見解析【解析】(1)共調查了100人，其中40分鐘內不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用頻率估計概率，可得所求概率為eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調查結果得所求各頻率為所用時間(分鐘)10～2020～3030～4040～505