蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題05圓與圓的對(duì)稱性壓軸題五種模型全攻略特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題05圓與圓的對(duì)稱性壓軸題五種模型全攻略考點(diǎn)一圓的基本概念考點(diǎn)二判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三利用垂徑定理求值考點(diǎn)四垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)五垂徑定理的推論典型例題典型例題考點(diǎn)一圓的基本概念例題：（2022·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長度相等的兩條弧一定是等弧；③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣弧；⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等弧．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)考點(diǎn)二判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例題：（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，若點(diǎn)P在圓內(nèi)，則d的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東廣州·一模）A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，4），（﹣5，1），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O上 D．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O外2．（2021·全國·九年級(jí)期中）已知⊙O的半徑為6cm，當(dāng)線段OA＝8cm時(shí)，點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是_________．考點(diǎn)三利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（

）A．8B．12C．16D．2【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于________cm．考點(diǎn)四垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．2．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．考點(diǎn)五垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【變式訓(xùn)練】1．（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)九年級(jí)期中）下列語句中不正確的有（

）

①長度相等的弧是等?。虎诖怪庇谙业闹睆狡椒窒?；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條??；⑤半圓是圓中最長的??；⑥不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學(xué)九年級(jí)期末）下列說法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧C．等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條直徑課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2021·四川·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①平分弦的直徑，必垂直于這條弦；②圓的切線垂直于圓的半徑；③三點(diǎn)確定一個(gè)圓；④同圓或等圓中；等弦所對(duì)的圓周角相等．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．（2021·遼寧撫順·九年級(jí)階段練習(xí)）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點(diǎn)P在邊AB上，且AP＝3，如果⊙P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）A．點(diǎn)B、C均在⊙P內(nèi) B．點(diǎn)B在⊙P上、點(diǎn)C在⊙P內(nèi)C．點(diǎn)B、C均在⊙P外 D．點(diǎn)B在⊙P上、點(diǎn)C在⊙P外3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點(diǎn)E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長為（

）A．16 B．13 C．10 D．4．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，．若以點(diǎn)B為圓心，以4cm長為半徑作OB，則下列選項(xiàng)中的各點(diǎn)在外的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D5．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時(shí)與最低位置時(shí)的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（

）A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米二、填空題6．（2022·黑龍江七臺(tái)河·九年級(jí)期末）若兩個(gè)圓的半徑分別為3和4，圓心之間的距離是5，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是______．7．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）已知⊙O與點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，若⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是_________．8．（2020·全國·九年級(jí)期中）下列說法：①半徑為3cm且經(jīng)過點(diǎn)P的圓有無數(shù)個(gè)；②直徑是圓的對(duì)稱軸；③菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；④平分弦的直徑垂直于這條弦．其中真命題有___．（填序號(hào)）9．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學(xué)校九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為_________平方米．10．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段OP長的最小值是______．三、解答題11．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．12．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知A為上的一點(diǎn)，的半徑為1，所在的平面上另有一點(diǎn)P．（1）如果，那么點(diǎn)P與有怎樣的位置關(guān)系？（2）如果，那么點(diǎn)P與有怎樣的位置關(guān)系？13．（2022·重慶·九年級(jí)期末）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度（即的中點(diǎn)到弦AB的距離）為4cm，求這個(gè)圓形截面所在圓的半徑．14．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E．(1)求證：四邊形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半徑．15．（2022·山東省棗莊市第四十一中學(xué)一模）在《折疊圓形紙片》綜合實(shí)踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問題：(1)如圖1，的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心，求AB長；(2)如圖2，弦AB，垂足為點(diǎn)C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過的中點(diǎn)D，，求的半徑．專題05圓與圓的對(duì)稱性壓軸題五種模型全攻略考點(diǎn)一圓的基本概念考點(diǎn)二判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三利用垂徑定理求值考點(diǎn)四垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)五垂徑定理的推論典型例題典型例題考點(diǎn)一圓的基本概念例題：（2022·上海民辦建平遠(yuǎn)翔學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．半圓是弧 B．過圓心的線段是直徑C．弦是直徑 D．長度相等的兩條弧是等弧【答案】A【解析】【分析】利用圓的有關(guān)定義分別判斷即可．【詳解】解：A、半圓是弧，正確，符合題意；B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義及性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期末）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點(diǎn)一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對(duì)稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧進(jìn)行分析．【詳解】解：直徑是圓中最長的弦，說法正確，符合題意；經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)一定可以作圓，不符合題意；圓有無數(shù)條對(duì)稱軸，符合題意；沒有強(qiáng)調(diào)是在同圓或等圓中，不符合題意；正確的說法有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵是掌握直徑、弧的定義，注意在同圓或等圓中，優(yōu)弧的長度一定大于劣弧的長度．2．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學(xué)九年級(jí)期中）下列判斷正確的個(gè)數(shù)有（

）①直徑是圓中最大的弦；②長度相等的兩條弧一定是等弧；③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；④弧分優(yōu)弧和劣?。虎萃粭l弦所對(duì)的兩條弧一定是等?。瓵．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】【詳解】①直徑是圓中最大的弦；故①正確，②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等??；故②不正確③半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；故③正確④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確⑤同一條弦所對(duì)的兩條弧可位于弦的兩側(cè)，故不一定相等，則⑤不正確．綜上所述，正確的有①③故選B【點(diǎn)睛】本題考查了圓相關(guān)概念，掌握弦與弧的關(guān)系以及相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例題：（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，若點(diǎn)P在圓內(nèi)，則d的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷得出即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P在圓內(nèi)，且⊙O的半徑為5，∴0≤d＜5，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種：⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r，②點(diǎn)P在圓上?d=r，③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東廣州·一模）A，B兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，4），（﹣5，1），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O上 D．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O外【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理，可得OA、OB的長，根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：∵OA＝＝5，OB＝＝＞5，∴點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．2．（2021·全國·九年級(jí)期中）已知⊙O的半徑為6cm，當(dāng)線段OA＝8cm時(shí)，點(diǎn)A和⊙O的位置關(guān)系是_________．【答案】點(diǎn)A在⊙O外【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為6cm，OA＝8cm，∴OA＞⊙O的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．故答案為點(diǎn)A在⊙O外．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．考點(diǎn)三利用垂徑定理求值例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（

）A．8B．12C．16D．2【答案】C【解析】【分析】連接OA，先計(jì)算OM=，根據(jù)垂徑定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理計(jì)算AM，根據(jù)垂徑定理，得到AB=2AM，判斷選擇即可．【詳解】連接OA，∵⊙O的直徑CD=20，AB⊥CD，OM：OC=3：5，∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，∴AM==8，∴AB=2AM=16，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】先畫好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長；【詳解】連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點(diǎn)C，則OC等于________cm．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理可將AC的長求出，再根據(jù)勾股定理可將OC求出．【詳解】解：如圖，連結(jié)OA，則由垂徑定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，由勾股定理可得OC==3cm，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理．考點(diǎn)四垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（

）cm．A．10 B．14 C．26 D．52【答案】D【解析】【分析】如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，設(shè)圓的半徑為r，而再利用勾股定理建立方程即可．【詳解】解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，則設(shè)圓的半徑為r，而解得：圓柱形容器的截面直徑為52cm．故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用，作輔助線構(gòu)建符合垂徑定理的模型是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．【答案】26【解析】【分析】令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，根據(jù)勾股定理求出OC2+BC2=OB2，進(jìn)而求出半徑．【詳解】解：如圖，由題意，得OD垂直平分AB，∴BC=10cm，令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，在Rt△BOC中OC2+BC2=OB2，∴（r-2）2+102=r2，解得r=26．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，熟練地掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．【答案】3【解析】【分析】過O作OD⊥AB于D，連接OA，由垂徑定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的長即可．【詳解】解：過O作OD⊥AB于D，連接OA，如圖所示：則AD=BD=AB=4（米），在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），即圓心O到水面AB的距離為3米，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五垂徑定理的推論例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進(jìn)行判斷．【詳解】A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心，所以B選項(xiàng)為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對(duì)的弧，所以C選項(xiàng)為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦，所以D選項(xiàng)為真命題．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)九年級(jí)期中）下列語句中不正確的有（

）

①長度相等的弧是等弧；②垂直于弦的直徑平分弦；③圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條?。虎莅雸A是圓中最長的?。虎薏辉谕粭l直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓.A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理及圓的有關(guān)概念和對(duì)稱性對(duì)每個(gè)語句分別進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蛲耆睾系幕∈堑然?故①不正確；垂直于弦的直徑平分弦說法正確；圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故③說法不正確；平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧，故④說法不正確；半圓的弧長是圓的弧長的一半，不是圓中最長的弧，故⑤說法不正確；不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故⑥說法正確，∴不正確的語句有4個(gè)，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學(xué)九年級(jí)期末）下列說法正確的是（

）A．相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧C．等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條直徑【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)AC進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對(duì)B進(jìn)行判斷；根據(jù)對(duì)稱軸的定義對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、等弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所以本選項(xiàng)正確；D、圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2021·四川·成都嘉祥外國語學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①平分弦的直徑，必垂直于這條弦；②圓的切線垂直于圓的半徑；③三點(diǎn)確定一個(gè)圓；④同圓或等圓中；等弦所對(duì)的圓周角相等．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理的推論可判斷①，根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷②，根據(jù)確定圓的條件可判斷③，根據(jù)圓周角與弦的關(guān)系可判斷④．【詳解】解：①平分弦（不是直徑）的直徑，必垂直于這條弦；②圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；③平面內(nèi)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓；④同圓或等圓中；等弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)．故沒有正確的．故選A【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論，切線的性質(zhì)，確定圓的條件，圓周角與弦的關(guān)系，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·遼寧撫順·九年級(jí)階段練習(xí)）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點(diǎn)P在邊AB上，且AP＝3，如果⊙P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）A．點(diǎn)B、C均在⊙P內(nèi) B．點(diǎn)B在⊙P上、點(diǎn)C在⊙P內(nèi)C．點(diǎn)B、C均在⊙P外 D．點(diǎn)B在⊙P上、點(diǎn)C在⊙P外【答案】D【解析】【分析】如圖所示，連接DP，CP，先求出BP的長，然后利用勾股定理求出PD的長，再比較PC與PD的大小，PB與PD的大小即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接DP，CP，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AP=3，AB=8，∴BP=AB-AP=5，∵，∴PB=PD，∴，∴點(diǎn)C在圓P外，點(diǎn)B在圓P上，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟知用點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系去判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點(diǎn)E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長為（

）A．16 B．13 C．10 D．【答案】C【解析】【分析】連接OC，可知OC=OB，設(shè)：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，利用勾股定理即可求出OB，由此可求出直徑AB．【詳解】解：如圖，連接OC，則OB=OC，∵⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點(diǎn)E，∴CE=DE=4，∵OE∶OB＝3∶5，設(shè)：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=1，∴OB=5，即AB=10．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的垂徑定理，以及勾股定理的應(yīng)用，合理利用線段比例關(guān)系構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江·溫州繡山中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，．若以點(diǎn)B為圓心，以4cm長為半徑作OB，則下列選項(xiàng)中的各點(diǎn)在外的是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出BD的長，進(jìn)而得出點(diǎn)A，C，D與⊙B的位置關(guān)系．【詳解】解：連接BD，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∵∠B＝90°，∴BD5，∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，∴點(diǎn)D在⊙B外，點(diǎn)C在⊙B上，點(diǎn)A在⊙B內(nèi)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①如果點(diǎn)P在圓外，那么d＞r；②如果點(diǎn)P在圓上，那么d＝r；③如果點(diǎn)P在圓內(nèi)，那么d＜r．反之也成立．5．（2022·湖北·鄂州市教學(xué)研究室一模）如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時(shí)與最低位置時(shí)的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（

）A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D．米【答案】B【解析】【分析】由題意知，秋千擺至最低點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，由垂徑定理知OD⊥AB，AD=AB=1.5米．再根據(jù)勾股定理求得OA即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴由垂徑定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，∴OA2=AD2+OD2，則OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，解得：OA=2.5(米)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，將實(shí)際問題抽象為幾何問題是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·黑龍江七臺(tái)河·九年級(jí)期末）若兩個(gè)圓的半徑分別為3和4，圓心之間的距離是5，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是______．【答案】相交【解析】【分析】首先根據(jù)題意比較兩個(gè)圓的半徑的和差與圓心距的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】由題意可知r1=3，r2=4，d=5，可知4-3＜5＜4+3，即r2-r1＜d＜r2+r1．所以兩個(gè)圓相交．故答案為：相交.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與圓的位置關(guān)系，掌握兩個(gè)圓的半徑的和差與圓心距的關(guān)系是判斷的關(guān)鍵，即相切，相交，相離．7．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）已知⊙O與點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，若⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是_________．【答案】點(diǎn)P在⊙O內(nèi)【解析】【分析】比較⊙O的半徑為r與點(diǎn)P到圓心的距離的大小，進(jìn)而判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【詳解】解：∵⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，∴⊙O的半徑＞線段OP的長，∴點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，故答案為：點(diǎn)P在⊙O內(nèi)．【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r；②點(diǎn)P在圓上?d＝r；③點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r．8．（2020·全國·九年級(jí)期中）下列說法：①半徑為3cm且經(jīng)過點(diǎn)P的圓有無數(shù)個(gè)；②直徑是圓的對(duì)稱軸；③菱形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；④平分弦的直徑垂直于這條弦．其中真命題有___．（填序號(hào)）【答案】①【解析】【分析】根據(jù)圓的定義判斷①為真命題；根據(jù)對(duì)稱軸是直線，判斷②為假命題；根據(jù)菱形的性質(zhì)及四點(diǎn)共圓判斷③是假命題；根據(jù)垂徑定理判斷④為假命題．【詳解】解：①半徑為3cm且經(jīng)過點(diǎn)P的圓有無數(shù)個(gè)，本說法是真命題，符合題意；②直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸，本說法是假命題，不符合題意；③菱形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定在同一個(gè)圓上，本說法是假命題，不符合題意；④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，本說法是假命題，不符合題意；故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的定義及性質(zhì)，正確理解相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．9．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學(xué)校九年級(jí)期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為_________平方米．【答案】40【解析】【分析】由題意可知OC⊥AB于D，交圓弧于C，由垂徑定理得到米，再由勾股定理得到米，求得米，然后由弧田面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意得：OC⊥AB于D，∴AD＝BD＝AB＝8米，在中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），∴弧田面積＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米），故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則線段OP長的最小值是______．【答案】6【解析】【分析】過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，連接OB，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH＝8，再利用勾股定理計(jì)算出OH，然后根據(jù)垂線段最短求解．【詳解】解：如圖，過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，連接OB，∴AH＝BH＝AB＝×16＝8，，在Rt△BOH中，由勾股定理可得：，∴線段OP長的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及最短線段問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·江蘇泰州·九年級(jí)期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．【詳解】解：∵E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴OE⊥AF，∵CO⊥EO，∴OC∥AF，∴∠OAE＝∠COD，∵CD⊥AB，∴∠AEO＝∠ODC，在△AEO和△ODC中，，∴△AEO≌△ODC（AAS），∴CD＝OE＝4，∵OC＝5，∴OD＝＝＝3．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．12．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知A為上的一點(diǎn)，的半徑為1，所在的平面上另有一點(diǎn)P．（1）如果，那么點(diǎn)P與有怎樣的位置關(guān)系？（2）如果，那么點(diǎn)P與有怎樣的位置關(guān)系？【答案】（1）點(diǎn)P在外；（2）點(diǎn)P可能在外，也可能在內(nèi)，還可能在上，實(shí)際上，點(diǎn)P位于以A為圓心，以為半徑的圓上．【解析】【分析】（1）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)，再逐個(gè)判斷即可；（2）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)，再逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：（1），的直徑為2點(diǎn)的位置只有一種情況在圓外，即點(diǎn)與的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．（2），的直徑為2點(diǎn)的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內(nèi)．即點(diǎn)P可能在外，也可能在內(nèi)，還可能