初中數(shù)學(xué)知識要點

金篌N，我到引用源。府中敷腎梟至衷.20110312

代數(shù)部分

一.整式的運算

(一)化簡與展開

1.同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加：a"-an=am+n

2.累的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘：(am)n=am-n

3.積的乘方，將每一個因式分別乘方，再相乘：(ab)n=an-bn

4.同底數(shù)早相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減：a，°^a，，=am"

5.一個數(shù)的負(fù)指數(shù)是指這個數(shù)的正指數(shù)的倒數(shù)：葭=A

a

6.一個非0數(shù)的0次方等于1：a°=l(aWO)

7.科學(xué)記數(shù)法：將一個有理數(shù)寫成aX10。的形式，其中，lW|a|<10,n為整數(shù)。

［例如：-50800000=-5.08X10,；0.000508=5.08X10「4小數(shù)點移到第一個有效數(shù)字的后面］

有效數(shù)字：對于一個小數(shù)，從左到右，第一個不為0的數(shù)字算起，所有的數(shù)字都是有效數(shù)字。［例如：1.203有4個；

0.01203有4個；120億有3個］

8.單項式乘以多項式：將單項式去乘以多項式的每一項，然后再把所得的積相加。

［例如a(b+c)=ab+ac；a(b-c)=ab-ac］

9.多項式乘以多項式：將一個多項式的每一項去乘以另一個多項式的每一項，然后再把所得的積相加。［例如

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd］

10.合并同類項：字母和對應(yīng)字母的次數(shù)都分別相同的項是同類項，合并同類項的方法是，字母不變，系數(shù)相加。［例如

9x2y3-6x2y3+5x2y3=(9-6+5)x2y3=8x2y3］

11.去括號：將括號前的數(shù)(包括符號)去乘以括號內(nèi)的每一個加數(shù)。

［例如：+a(b-c)=+ab-ac；-a(b-c)=-ab+ac；—(a-b)=~a+b］

12.平方差公式：兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差等于這兩個數(shù)的平方差(a+b)(a-b)=a2-b2

13.完全平方公式：兩個數(shù)和(或差)的平方，等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)積的兩倍，

即(a+b)2=a2+b2+2ab；(a-b)2=a2+b2-2ab

(二)因式分解(將多項式寫成幾個因式乘積的形式)

14.提公因式：ab+ac=a(b+c)［例如：ab-a2-a=a(b-a-l)］

15.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)［例如：4x2-l=(2x+l)(2x-l)］

16.完全平方公式：a2+b2+2ab=(a+b)2；a2+b2-2ab=(a-b)2

完全平方公式因式分解的特征：(1)恰好有三個項：兩個正的平方項和一個乘積項(可正可負(fù))；(2)恰好兩個指數(shù)為

2的平方項的底數(shù)之積的2倍等于乘積項(不含符號)；(3)當(dāng)乘積項為正時，用和的平方；當(dāng)乘積項為負(fù)時，用差的

平方。

17.十字相乘公式：對于x2+px+q,若能找到兩個數(shù)：m、n,使mn=p,m+n=q，那么x2+px+q=(x+m)(x+n),寫成

［例如：x-2x-8=(x+2)(x-4)2x-3x-35=(x-5)(2x+7)］

1Vm

1入nX

1*n+1*m=(m+n)1?7+2?(-5)=-3

分式的運算

1.分式的基本性質(zhì)：分式的分子分母同乘以或除以一個不為o的數(shù)，分式的值不變。例如約分和通分。

npr)+p

2.分式的加減法：(1)同分母的分式相加減，分母不變，分子相加。［例如:-+-=—］

aaa

（2）不同分母的分式相加減，先通分，找出最簡公分母，將分母化成相同的，再分母不變，分子相加減。找最簡公分母

的方法是：找各分母中的不同因式中最高指數(shù)的嘉的乘積。

bcbdcabd+ac

[例如京+瓦=就+嬴

adt

3.分式的乘法：先將分子分母進(jìn)行因式分解，再約分，然后分子乘分子分母乘分母。

'分子。0

4.分式等于0的條件：《

分母=0

三.實數(shù)

1.相反數(shù)：如果a+b=o,那么，這兩個數(shù)互為相反數(shù)。倒數(shù)：如果ab=l,那么，這兩個數(shù)互為倒數(shù)。

2.有理數(shù)的加減法：同號兩數(shù)相加，符號取它們相同的，并把絕對值相加；異號兩數(shù)相加，符號取它們中絕對值較大的,

并把絕對值相減。減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

3.比較兩個數(shù)的大小的方法是做減法，如果被減數(shù)大，則差為正數(shù)；如果被減數(shù)小，則差為負(fù)數(shù)。

a,(a>0)

a,(a>0)

4.絕對值化簡:|a|=<0,(?=0)<

-a,(a<0)

—a,(a<0)

5.有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)）都是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，[如/心1.414,/心1.732，汩]

有理數(shù)和無理數(shù)都是實數(shù)；實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。

6.（a—b）2=（b—a）2；（a_b）3=_（b—a）3

7.112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；

182=324；192=361；23=8；33=27；43=64；53=125

V8=272,712=2V3,V18=372,720=275,724=276,728=25,底=472

8.如果/=a,那么x=/叫數(shù)a的立方根，任意實數(shù)都有一個立方根。[例如：^/-8=-2]

四.二次根式

1.定義：如果x，=a（a》0）,那么x=±^2叫數(shù)a的平方根,一個正數(shù)的平方根有2個，0的平方根為0,負(fù)數(shù)沒有平方根。

6（a》0）叫數(shù)a的算術(shù)平方根，也叫二次根式。

2.二次根式、分式有意義的條件：（1）被開方數(shù)非負(fù)（20）；（2）分母不為0（W0）

3.最簡二次根式：滿足2個條件（1）根號下“三不含”：不含分?jǐn)?shù)、小數(shù)和完全平方因數(shù)。（2）根式不能作分母。

4.二次根式化簡：（1）根號內(nèi)的完全平方因式變成平方形式后直接開出來；根號里的小數(shù)變成分?jǐn)?shù)；根號里的分?jǐn)?shù)進(jìn)行

分子分母分別開方；（2）分母有根號的進(jìn)行分母有理化。

「例如?、反1，號-亂.叵-.巫-返-]

L例如.yi.2'10訴.10-10-105J

分母有理化的方法：（1）分母為a怖的，將分子分母同乘以怖；即3=1?加

5.（2）分?jǐn)?shù)一起作被開方數(shù)

a4b?y/b

的，即，I,在根號內(nèi)將分子分母同乘以b,再將分母開方,

（或?-hjb）時，將分子分母同乘以/(或6-\fb);即:

6.同類二次根式：經(jīng)化簡后，被開方數(shù)相同的。只有同類二次根式才能做加減法，方法是根式不變，系數(shù)相加減。

7.二次根式的乘除：兩個二次根式相乘或相除,直接將被開方數(shù)進(jìn)行乘除，再開算術(shù)平方根，

即：yfa,yjb=yja,b

8.重要化簡：（/）2=a（a》0）；J相=|a|（a的取值無限制）。

9.非負(fù)數(shù)（00的代數(shù)式）：a,|b|,^/c應(yīng)用：若a/bl+A/Z=0,那么：a=0,b=0,c=0

五.一元一次方程的解法

1.去分母：等式兩邊同時乘以所有分母的最小公倍數(shù)。

2.去括號：將括號前的數(shù)（包括符號）去乘以括號內(nèi)的每一個加數(shù)。

3.移項：將常數(shù)項移到等式的右邊，含有未知數(shù)的項移到等式的左邊。移項要變號。

4.系數(shù)化為1：等式兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)。

六.二元一次方程組

1.解法1：代入消元法：將第一個方程的一個字母用另一個字母的代數(shù)式來表示，再代入到第二個方程中去，從而消去

一個字母。比如用x的代數(shù)式表示y的意思是等號的左邊只能是y,等號右邊是含有x的代數(shù)式。

2.解法2：加減消元法：將方程的兩邊同時乘以一個適當(dāng)?shù)臄?shù)，使其中一個字母的系數(shù)變成相反（或相同）的，再將兩

個方程相加（或相減），從而消去一個字母。

3.方程組的解要用大括號括起來。

4.方程應(yīng)用題的類型與公式：

工程問題：工作量=效率X時間、效率=工作量+時間、時間=工作量+效率、

合作效率=合作者的效率相加。

分析方法：畫工作流程圖，常按流程列方程或按人員的工作量總和列方程。

行程問題：路程=速度X時間、速度=路程+時間、時間=路程+速度、

順流速度=船靜速+水速、逆流速度=船靜速-水速、

相遇路程=速度和X相遇時間、追擊路程=速度差X追擊時間

分析方法：畫行程示意圖。

增長率問題：增長后和原來作比，增長了x倍，那么，增長后比原來增長到（1+x）倍，增長后=原來X（1+增長率）

利潤率問題：利潤=（賣價-進(jìn)價）X銷量=收入-成本，

利潤率=利潤+成本=（賣價-進(jìn)價）+成本，賣價=進(jìn)價X（1+利潤率）

七.不等式與不等式組

1.不等式兩邊同時加上或減去一個相同的數(shù)，不等號的方向不變（例如移項要變號，但不變方向）。

2.不等式兩邊同時乘以或除以一個相同的正數(shù)，不等號的方向不變。

3.不等式兩邊同時乘以或除以一個相同的負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變。

4.不等式兩邊都乘以0,兩邊就都變成0。

5.不等式組的解集（取綜合）：同大取大，同小取小，大小小大都取到，大大小小取不了。

6.在數(shù)軸上表示解集時，帶等號的是實心，不帶等號的是空心，大號向右，小號向左。

八.分式方程

解法：1.分母因式分解；

2.找最簡公分母；

3.去分母：兩邊同乘以最簡公分母，變成整式方程；4.解整式方程；

5.檢驗：將根代入最簡公分母中，若=0時，此根為增根；若力0,此根為原方程的根

九.一元二次方程

1.一元二次方程的定義：3個方面：一元、二次、整式

2.方程的根的意義：若x=t是方程ax"+bx+c=0的根，那么，可以把t代入到方程的x中去，即at，bt+c=0

3.直接開平方法解一元二次方程：形如a（x+m）e=n

第一步：化二次項系數(shù)為1,兩邊同除以a

第二步：兩邊開平方，注意，開平方要寫正負(fù)

第三步：移項，將數(shù)移到右邊

第四步：寫Xl,X2

注意：在增長率問題中特別適用。

4.配方法解一元二次方程：形如ax2+bx+c=0(aWO)的方程

第一步：化二次項系數(shù)為1(兩邊同除以a)

第二步：將常數(shù)項移項

第三步：配方，等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方

第四步：變形，左邊寫成完全平方的形式，右邊化簡計算

第五步：用直接開平方法進(jìn)行計算

5.公式法解一元二次方程：

第一步：化成一般形式ax2+bx+c=0

第二步：寫出a=?,b=?,c=?

第三步：計算判別式△=b—4ac,與0比較大小

第四步：(1)當(dāng)△<()時，寫“此方程無實根”;

(2)當(dāng)△=()時，寫xi=xa=?

-b±4bJ4ac

(3)當(dāng)△>()時，代入公式x-2a

化簡，寫出兩根Xl=?,X2=?

6.因式分解法解一元二次方程

第一步：移項，將方程的右邊變成0

第二步：觀察，用合適的方法將方程左邊進(jìn)行因式分解，比如提公因式、平方差、十字相乘等方法，變成兩個因式相

乘的形式，化簡成(x+m)(x+n)=0

第三步：兩個因式分別等于0,即x+m=0或x+n=O

第四步：分別計算兩個根：XF?,X尸？(如果分解成完全平方的形式，就寫XFX產(chǎn)？)

7.根的判別式對于一元二次方程ax°+bx+c=O(a/0)

△=b-4ac叫根的判別式

(1)當(dāng)△>?時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)當(dāng)△<()時，方程沒有實數(shù)根。

hC

8.一'兀二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：再+%2=-,?%2——°

aa

9.造方程公式：以xi,X2為根的一元二次方程為(x-xi)(x-x2)=0

10.解一元二次方程應(yīng)用題的類型：

(1)幾何圖形的面積問題：分析方法:畫圖,并根據(jù)某部分面積的兩種表示方法列方程

(2)循環(huán)比賽問題：分析方法:記公式,x支球隊打比賽，比賽總場次：單循環(huán)^x(xT)；雙循環(huán)x(x-l)

(3)增長率問題：分析方法:列表一二三.假設(shè)每次的平均增長率為x,增長為加，下降為減，后一次一a

的為乘,前一次的為除,兩次后的為平方。二a(l±x)

(4)商品銷售問題：總利潤=收入-成本=差價義銷量三a(l±x)2

求最值時二次函數(shù)配方法變形的步驟：U)在前兩項提出二次項系數(shù)

(2)加減一次項系數(shù)一半的平方(3)寫成完全平方的形式。

*(5)勻變速問題：已知減速中的初速(或加速中的末速)V、總路程s,求總時間t、速度平均變化值a、一段路程Si

的時間x

方法一：用公式

平均速度干=(初速度+末速度)+2時間=路程;平均速度，

加速度2=臀

路程=平均速度X時間

即時速度=初速度±加速度X時間

［方法二：畫圖法：在時間一一速度圖象中，三角形或梯形的面積表示走過的路程，斜率表示速度變化率（加速度）。用

三角形的面積比等于相似比的平方列方程。］

十.正比例函數(shù)

1.函數(shù)的一般知識：①P（m,n）表示點P在x軸和y軸上的垂足對應(yīng)的實數(shù)分別為m,n,|m|、|n|分別表示點P到y(tǒng)軸、x

軸的距離。②函數(shù)解析式是含有兩個變量（x、y）的等式，用含x的代數(shù)式表示y。③函數(shù)的圖象上的點和滿足解析式

的解一一對應(yīng)。點在函數(shù)的圖象上（也可以說圖象經(jīng)過點），那么點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式。④用待定系數(shù)法求解析

式時，有幾個待定系數(shù)就代入幾個點。⑤兩個圖象交于一點，求交點的方法是聯(lián)立解方程組，也可以理解為這個點的

坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)的解析式。⑥一元不等式可以理解為兩個函數(shù)在自變量取相同值時，函數(shù)值比較大小，高的大，低

的小。⑦與坐標(biāo)軸平行的線段長度公式：與x軸平行的線段AB（B在右邊），AB=XB-XA；與y軸平行的直線AB（B

AA

在上邊），A5=力一力⑧坐標(biāo)系中的中點公式：若A（X4），B（xB,yB）,為AB的中點，那么：

%=/廣,九="；力；線段延長一倍公式：XB=2xc-xA,yB=2yc-yA

2.定義：形如y=kx（k/O）的函數(shù)叫正比例函數(shù)。

3.圖象是一條過原點的直線；當(dāng)1t=±1時，即y=±x直線與坐標(biāo)軸的夾角為45度，是坐標(biāo)軸夾角的平分線。

4.函數(shù)解析式由一個點確定，用待定系數(shù)法計算。

H■.一次函數(shù)

1.定義:形如y=kx+b（k/0）叫一次函數(shù)。圖象為直線：當(dāng)k>0時，為一撇，經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)

k<0時，為一捺，經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減小。k決定直線的傾斜程度，k相等時，兩直線平行。|k|越大,

直線越傾斜；|k|越小，直線越平緩。當(dāng)1;=±1時，直線與坐標(biāo)軸的夾角為45度,k等于傾斜角的正切。

2.當(dāng)b>0時，直線交y軸的正半軸，經(jīng)過一、二象限；當(dāng)b<0時，直線交y軸的負(fù)半軸，經(jīng)過三、四象限；b=0時，直

線過原點。直線與y軸的交點是（0,b）ob決定直線位置的高低。

3.函數(shù)解析式由兩個點確定直線，用待定系數(shù)法解二元一次方程組計算。k=力一力,|k|等于以直線所在線段為斜邊的

直角三角形的豎邊與橫邊的比值。

4.點在函數(shù)的圖象上（圖象經(jīng)過點），那么點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式。

5.求坐標(biāo)系中的線段旋轉(zhuǎn)后點的坐標(biāo)的方法是構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等的直角三角形。

6.兩條直線的交點坐標(biāo)的算法是，將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立解方程組。直線與x軸交點的算法是令y=0,解x的方程；y軸

交點的算法是令x=0,求y的值。

7.與方程的關(guān)系：方程kix+bFkzx+be的根表示直線y=kix+bi與直線丫=屋*+從的交點的橫坐標(biāo)；不等式kix+bDkax+R表示直

線y=kix+bi與直線y=kzx+b2的交點上方部分的橫坐標(biāo)范圍；不等式kix+bKLx+b?表示直線y=kix+bi與直線y=k：ix+b2的交

點下方部分的橫坐標(biāo)范圍。

8.面積相等的兩個三角形，一般是三角形的中線形式或梯形形式。注意直線兩側(cè)都可以。

9.在“（勻速）時間一一路程”、“（變速）時間一一速度”、“時間一一工程量”、“時間一一進(jìn)水量”、“質(zhì)量一一錢數(shù)”

等問題的圖象中，一條線段斜率表示速度、速度變化率（加速度）、工作效率、進(jìn)（放）水速度、單價，等于Ik|。有

時，“撇”表示出發(fā)、加速、進(jìn)水的過程；“捺”表示返回、減速、放水的過程。

十二.反比例函數(shù)

1.定義：若x與y的乘積為定值，即：形如y=（=kxT（kWO）的函數(shù)叫反比例函數(shù)。圖象為雙曲線，不與任何坐標(biāo)軸相

交，是關(guān)于原點對稱的中心對稱圖形，也是關(guān)于X軸與y軸的夾角平分線y=±x對稱的軸對稱圖形（三對稱圖形）。

2.當(dāng)k>0時，圖象在一、三象限，為“兩捺”，在每個象限內(nèi)（分支上），y隨x的增大而減?。划?dāng)k<0時，圖象在二、

四象限，為“兩撇”，在每個象限內(nèi)（分支上），y隨x的增大而增大。|k|越大，雙曲線離原點越遠(yuǎn)。

3.圖象過點（m,n）,那么，m?n=k,并且，圖象上任意一點向兩個軸作垂線形成的矩形，它的面積等于IkI,對應(yīng)的直角

三角形的面積是34

211

4.函數(shù)解析式由一個點確定，用待定系數(shù)法計算，k=xy?

5.點在函數(shù)的圖象上（圖象經(jīng)過點），那么點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式。

6.求兩個函數(shù)圖象交點的方法是將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立解方程組。

7.利用圖象解不等式的解法是看圖象中同一個x取值處圖象的位置高低，高大低小。

8.反比例函數(shù)題：

（1）用一個已知點的坐標(biāo)求k:k=xy；

（2）用矩形或直角三角形的面積求k:S卿=|k|或“A=|k|/2；

（3）雙曲線上有兩個坐標(biāo)相關(guān)的點，可以用字母表示其中一個點的一個坐標(biāo)（設(shè)m）,再算出其它3個坐標(biāo)值，最后列方

程求k.

（4）輔助線:過雙曲線上的點作x或y軸的垂線.

十三.二次函數(shù)

1.定義：形如y=ax?+bx+c（a關(guān)0）,叫二次函數(shù)的一般式；由a決定開口的大小和方向，c決定圖象與y軸的交點，與y

軸交于（0,c）,由a和b的符號決定對稱軸的位置：左同右異。

2.對于y=ax；它的圖象為拋物線，頂點為原點，對稱軸為y軸，當(dāng)a>0時，開口向上，當(dāng)a〈0時，開口向下，la|越大,

開口越小。y=ax2+k的對稱軸為y軸（直線x=0）,y=a（x-h）°的對稱軸為直線x=h。

3.圖象的平移：對于y=ax:將拋物線向右平移h個單位，向上平移k個單位得到y(tǒng)=a（x-h>+k,這種形式叫三次國寥

的項，卓式，它的頂點為（h,k），對稱軸x=h；左右平移時，括號內(nèi)變化，上下平移時，括號外變化。IaI越大，開

口越小；當(dāng)a>0時，開口向上，函數(shù)在頂點處有最小值，當(dāng)x=h時，函數(shù)的最小值為k；當(dāng)a〈0時，開

口向下，函數(shù)在頂點處有最大值；當(dāng)x=h時，函數(shù)的最大值為k；

一般式通過配方法得到頂點式：y=a（x+-）2+號二，頂點為（-，號工），對稱軸為x=-券

配方法的步驟：（1）在前兩項提出二次項系數(shù)

（2）加減一次項系數(shù)一半的平方（3）寫成完全平方的形式。

4.點在函數(shù)的圖象上（圖象經(jīng)過點），那么點的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式。

5.a+b+c,a-b+c,4a+2b+c,4a-2b+c分別表示當(dāng)x=+1,+2時函數(shù)y的值。

6.由三個點確定拋物線的解析式，用待定系數(shù)法計算。若已知頂點（或?qū)ΨQ軸、最值），就設(shè)頂點式；否則設(shè)一般式。

7.y=a（x-xj（x-xz）叫二次函數(shù)的交點式，其中，x1、x,為拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)。常用于求解析式。

8.與方程的關(guān)系：（1）ax2+bx+c=0的解表示拋物線與x軸（直線y=0）公共點的橫坐標(biāo)。方程的判別式△滿足：當(dāng)△>（）

時，拋物線與x軸有兩個公共點［交點］;當(dāng)△=（）時，拋物線與x軸只有一個公共點；當(dāng)△<（）時，拋物線與x軸沒有

公共點。方程的兩根處、加滿足根與系數(shù)的關(guān)系，且％=%±強(qiáng)=—2是拋物線的對稱軸。

22a

（2）兩個圖象交點的求法：拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+t或y=t的交點是將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立解方程組，方程

組的解就是兩個圖象的交點；消去y后得一個一元二次方程，方程的判別式△滿足：當(dāng)時，拋物線與直線有兩個

公共點［交點］;當(dāng)△=（）時，拋物線與直線只有一個公共點；當(dāng)△＜（）時，拋物線與直線沒有公共點。

十四.統(tǒng)計與概率

1.平均數(shù)7：反映一組數(shù)據(jù)的總體平均水平。算法：n個數(shù)相加的和除以n。

2.加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)Xl,X2,…X0，每個數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)［重復(fù)次數(shù)］為fl,f2,…fn,那么，平均數(shù)為（flXXl+fzXXRj+fnX

X?）4-（fl+fz+…+fn）

3.極差：反映一組數(shù)據(jù)的波動大小。算法：用最大數(shù)減去最小數(shù)的差。

4.方差s'：反映一組數(shù)據(jù)的波動大小。算法：第一步：算平均數(shù)；第二步：所有數(shù)減去平均數(shù)；第三步：平方；第四步:

再算平均數(shù)。

5.眾數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。算法：一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)。

6.中位數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。將一組數(shù)從小到大（或從大到?。┡帕校旁谧钪虚g的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)。

7.扇形統(tǒng)計圖：反映多個對象在一個時間段（橫向比較）所占的百分比。

8.條形統(tǒng)計圖：反映多個對象在一個時間段（橫向比較）的具體數(shù)據(jù)。

9.折線統(tǒng)計圖：反映一個對象在幾個時間段（縱向比較）的變化情況。

10.直方圖：反映多個對象在連續(xù)范圍內(nèi)的具體情況。

11.概率P（事件發(fā)生）=事件發(fā)生的總頻數(shù)（在面積問知中'概率=總面積）

12.分析多個步驟概率的方法是用列舉法：列表（只用于兩步）和畫樹形圖（要點：有幾個步驟就畫幾步）。

十五.，常見的規(guī)律數(shù)

1)2,4,6,8,10,12,...偶數(shù)2n

2)1,3,5,7,9,11,……奇數(shù)2n-l

3)1,4,7,10,13,...3n-2

4)1,2,4,8,16,32,...2的次數(shù)2~

5)1,4,9,16,25,...平方數(shù)空

6)1,8,27,64,125,...立方數(shù)n3

7)1,1,2,3,5,8,13,..?前2個數(shù)的和=后一個數(shù)

8)1,1,1,3,5,9,17,31,……前3個數(shù)的和=后一個數(shù)

9)1,3,7,13,21,31,...連續(xù)2個數(shù)的差按偶數(shù)增加

10)1,3,6,10,15,21,28,?……連續(xù)2個數(shù)的差按自然數(shù)增加

幾何部分

幾何學(xué)習(xí)法：（打橫線的為重要概念）

1.熟記定義、定理及公式

2.畫出圖形，寫出推理過程

3.掌握常見的輔助線及方法

一.相交線與平行線

1.對頂角相等。

2.兩直線平行，同位角相等。（“F”形）

3.兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（“Z”形）

4.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。（“C”形）

5.同位角相等，兩直線平行。

6.內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

7.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

8.相加=90度的兩個角互為余角，相加=180度的兩個角互為補角。

等角的余角相等,等角補角相等。

9.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

10.垂直于同一直線的兩條直線互相平行。

11.兩點之間，線段最短，此線段長叫兩點間的距離。

12.點和直線之間，垂線段最短，此垂線段長叫點和直線間的距離。

13.證明中可用的依據(jù)是：已知、已證、等量代換、等式性質(zhì)，各種定義（比如角平分線定義、平角定義、垂直定義等）,

定理。

14.證明過程的注意事項：因為所以（???，）、內(nèi)容、依據(jù)三者要匹配。依據(jù)只能寫漢字，并且要完整。

二.平面直角坐標(biāo)系

1.點P（m,n）表示點P在x軸和y軸上的垂足對應(yīng)的實數(shù)分別為m,n,

|m|、|n|分別表示點P到y(tǒng)軸、x軸的距離。

四個象限的符號為：第一象限（+,+）,第二象限（-，+）,第三象限（-，-），第四象限（+,-）。

x軸上的點，縱坐標(biāo)為0；y軸上的點，橫坐標(biāo)為0。

2.點P（m,n）在坐標(biāo)系中的平移：向右（或向左）平移a個單位，橫坐標(biāo)加上（或減去）a,向上（或向下）平移b個單位,

縱坐標(biāo)加上（或減去）bo

3.坐標(biāo)系中的任意三角形都能求面積，用割補法畫方框。

三.三角形及多邊形

1.三角形內(nèi)角和為180度。

2.三角形一個內(nèi)角的鄰補角叫外角，三角形的一個處魚等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.n邊形內(nèi)角和（n-2）X180度。

5.四邊形內(nèi)角和為360度。

6.多邊形外角和為360度。

7.鑲嵌：幾個圖形在一個頂點處能夠不漏不重疊的平鋪叫鑲嵌，鑲嵌的性質(zhì)是在一個頂點處的幾個內(nèi)角的和等于360度。

四.全等三角形

1.全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等。

2.有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SAS）o

3.有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（SSS）o

4.有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（ASA）o

5.有兩角和第一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（AAS）o

6.有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）。

7.AAA和一般三角形的SSA不能證明全等。

五.等腰三角形與軸對稱

1.等邊對等角。

2.等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高，三線合一。

4.有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。

5.等邊三角形三邊相等，三角為60度。

6.120度的等腰三角形三邊之比為1：1：而

7.等邊三角形面積公式（邊長為a）：當(dāng)~a"

8.線段的垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等。

9.到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上。

10.角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

11.到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。

12.一個圖形沿著一條直線對折，與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱。

13.軸對稱圖形對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分。

六.直角三角形

1.直角三角形兩銳角互余。

2.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

3.30度的直角三角形中，30度的銳角所對的直角邊是斜邊的一半；30度的直角三角形三邊比為1:

4.等腰直角三角形三邊比為1：1:y[2

5.勾股定理及逆定理：直角三角形中，a、b為直角邊，c為斜邊〈=>a2+b2=c2；

常用的比值：3:4:5；5:12:13；1:1:^2;1:^3：2；1：2：乖;1：1：范

6.用勾股定理可以求邊長，當(dāng)知道直角三角形的兩邊關(guān)系知道時，可以用勾股列方程。

7.等積法解決與垂線段的長及高的長度有關(guān)的問題：

例如求直角三角形斜邊上的高h(yuǎn)：SA=1ab=,1ch,其中c為斜邊。

七.四邊形

1.兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形。

2.平行四邊形的對邊相等。

3.平行四邊形的對角相等。

4.平行四邊形的對角線互相平分。

5.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

6.一組對邊平行并且相等的四邊形是平行四邊形。

7.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

8.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。__________________________________

9.有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。

10.矩形的四個角都是直角。

11.矩形的對角線相等并且互相平分。

12.對角線相等的平行四邊形是矩形。

13,_缸個直魚的四邊形遢矩睦___________________________________

14.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

15.菱形的四條邊都相等。

16.菱形的兩條對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角。

17.四邊相等的四邊形是菱形。

18.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。____________________________________

19.正方形四邊相等，四個角都是90度。

20.正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等。

_正方形兩條對魚線招五分成四個金笠的疊腰直角三角/%__________________________

22.等腰梯形對角線相等,同一底上的兩個底角相等，對角線也相等。

額一回二底邊相鄰的兩仝底角相笠的梯形是笠腰梯幽一對角一線相笠的梯形遑等腰梯形3_____

24.三角形兩邊中點的連線叫三角形的中位線,三角形的中位線平行第三邊,并且等于第三邊的一半。三角形的中位線截

得的新三角形面積是原三角形面積的四分之一。

25.梯形兩腰中點的連線叫做梯形的中位線平行于兩底邊,并且等于兩底邊和的一半。

26.兩條平行線之間的垂線段的長度都相等，叫兩條平行線的距離，同底等高的兩個三角形面積相等。特別注意：三角形

的中線平分面積，梯形中的兩組三角形面積相等。

27.梯形中常用的輔助線是：①過上底的兩端作高。②過上底的一端作腰的平行線。③過上底的一端作對角線的平行線。

28.與中點有關(guān)的輔助線：中線倍長或變?yōu)橹形痪€。

29.常用的數(shù)據(jù)：3:4:5；5:12:13；1：2：/；30度的直角三角形三邊比為1:十：2；等腰直角三角

形三邊比為L1：*；120度的等腰三角形三邊之比為1：1：4;等邊三角形面積公式：斗a，

八.旋轉(zhuǎn)

1.旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等。

2.旋轉(zhuǎn)前后的兩個對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

3.對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

4.中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度，和另一個圖形重合，那么這兩個圖形關(guān)于這個點成中心對稱。

5.關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線被對稱中心平分；對應(yīng)線段平行并且相等。

6.坐標(biāo)系中關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相反；關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)相反；關(guān)于原點對

稱的點，兩坐標(biāo)都相反。

九.圓

1.共斜邊的兩個直角三角形，四個頂點共圓。

2.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。

3.垂徑定理的逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；平分弧的直徑垂直于弦，并且

平分弦。

4.圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

5.垂直平分半徑的弦所對的圓心角為120°。

6.圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半。

7.圓周角定理的推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角，90度的圓周角所對的弦是直徑。

8.圓內(nèi)接四邊形對角互補，并且一個外角等于它的內(nèi)對角。

9.點與圓的位置關(guān)系：d表示圓心與點的距離（輔助線是點與圓心的連線）

d>r〈=>圓外；d=r〈=>圓上；d<r〈=〉圓內(nèi)

10.外心：三角形外接圓的圓心，三邊的垂直平分線的交點，到三個頂點的距離相等，這個距離是外接圓的半徑；直角三

角形的外心是斜邊的中點；若0為4ABC的外心，則/A0B=2/ACB；外心關(guān)注圓心的作用。

11.直線與圓的位置關(guān)系：d表示圓心與直線的距離（輔助線是圓心向直線作垂線）

d>r〈=>相離；d=r〈=>相切；d<r〈=〉相交

12.切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

13.切線的判定：經(jīng)過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。

14.切線長定理：過圓外一點向圓可以引兩條切線，那么它們的切線長相等，并且這個點和圓心的連線平分兩條切線的夾

角。

15.內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊距離相等，這個距離是內(nèi)切圓的半徑。若I為4ABC

的內(nèi)心，則/AIB=90°+'|/C。內(nèi)心關(guān)注角平分線交點的作用。

16.圓與圓的位置關(guān)系：d表示兩個圓心的距離，先計算R+r與R-r：

d>R+r〈二〉外離；d=R+r〈=〉外切；R-r<d<R+r<=>相交；d=R-r〈=>內(nèi)切；OWdVR-r〈二〉內(nèi)含。

17.正n邊形都有唯一的外接圓和內(nèi)切圓，它們是同心圓，它們的圓心是中心，外接圓的半徑是正n邊形的半徑，內(nèi)切圓

的半徑是邊心距，一條邊所對的圓心角是中心角，正n邊形的中心角=每個外角=幽；正n邊形可以分成n個等腰

n

三角形，分析正多邊形的問題時往往只畫一個等腰三角形。

15.弧的長與扇形的面積公式：(n為圓心角度數(shù)，R為半徑)

(1)弧長公式1弧(2)扇形的面積S扇=嚓3=11弧R

loUoOUZ

16.圓錐的側(cè)面展形圖是一個扇形，圓錐底面的周長是扇形的弧長，圓錐的母線是扇形的半徑，圓

錐的側(cè)面積是扇形的面積。(大R為母線，小r為底面圓的半徑)(1)圓錐的側(cè)面積：

S?B=nRr(2)圓錐的底面積：S鏈底="召(3)圓錐的全面積=側(cè)面積+底面積

(4)圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角公式：n=—

K

17.解決與垂線段的長有關(guān)的問題用等積法：比如求直角三角形斜邊上的高和求一般三角形內(nèi)切

圓的半徑r。

18.相關(guān)輔助線：

(1)解決與弦長有關(guān)的問題：過圓心作弦的垂線，連接半徑，構(gòu)成直角三角形，用垂徑和勾股定理解題。

(2)解決切線的問題是連接過切點的半徑。

19.考查圓中的角要優(yōu)先觀察圓周角和圓心角，其它角就通過互余互補外角轉(zhuǎn)化成圓周角和圓心角。

重要結(jié)論

1.等積法解決與垂線段的長及高的長度有關(guān)的問題：

(1)求直角三角形斜邊上的高h(yuǎn)：SA=；ab=；ch,其中c為斜邊。

(2)求一般三角形內(nèi)切圓的半徑r：SA=((a+b+c)r。

2.三角形內(nèi)切圓中的切線長：若I為AABC的內(nèi)心(圖1),

CD=1(AC+BC-AB)；

特別是：當(dāng)/C=90°時(圖2),

求直角三角形內(nèi)切圓的半徑r=CD=|(AC+BC-AB)

圖1圖2

3.求圖形陰影部分面積的方法：將有圓弧的部分找出圓心，連接半徑，再分割成扇形、弓形、三角形、矩形、正方形、梯

形的面積的加減，有時還要用“等底等高的三角形面積相等”來轉(zhuǎn)換。

十.相似三角形

1.性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊、對應(yīng)高、中線、角平分線及對應(yīng)周長的比相等，都等于相似比(k),面積比

是相似比的平方(甘)。

2.判定1：平行于三角形一邊的直線與另兩邊相交，所形成的新三角形與原三角形相似。

3.判定2：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似(AA)o

4.判定3：有兩組邊的比相等，并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。(S，AS')

5.判定4：有三組邊的比相等的兩個三角形相似。(S'S'SD

6.兩個三角形的面積比：(1)相似時，面積比等于相似比的平方；(2)高相等時，面積比等于底邊的長度比；(3)底相

等時，面積比等于高的長度比。

7.位似：兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，

這個點叫做位似中心，新圖形與原圖形的邊長比是相似比。在坐標(biāo)系中，關(guān)于原點位似的兩個圖形的對應(yīng)點,新坐標(biāo)是

原坐標(biāo)的±1<倍。

acababc

8-比的性質(zhì)：b=d0ad=bc6-=a:b:c=e:f:g<=>—=7

eIg

重要結(jié)論與例題

10.射影：直角三角形斜邊上的高將直角三角形分成的兩個直角三角形與原三角形相似，并得出三個比例式。

11.相交弦、切割線、割線定理：

12.“土”字形：（圖1）EG:GF=BD:CD

13.小孔成像1/AB+1/CD=1/EF（圖2）

14.三角形內(nèi)接平行四邊形AF/AB+AE/AC=1（圖3）

特別：三角形內(nèi)接菱形1/AB+1/AC=1/AF（圖4）

15.平行線分線段成比例

16.三角形的角平分線分第三邊成比例

17.三角形的兩條高得四點共圓

18.三角形的兩條中線交點得重心分中線1：2

（圖3）（圖4）

H^一三角函數(shù)知識點

1.定義：正弦sinA鬢察；余弦cosA=看詈正切tanA-；［余切cotA=^^1

tanA

用法：對邊=斜邊X正弦=鄰邊X正切；

鄰邊=斜邊X余弦=對邊+正切；斜邊=對邊+正弦=鄰邊+余弦

2.特殊角的三角函數(shù)值：

01近tan300=當(dāng)

sin30=-cos30°=

2

sin45°=華

cos450=叵tan45°=l

2

1

sin600=cos60°=tan60°=/

2

3.解三角函數(shù)題的基本方法：（1）用特殊角（2）構(gòu)造直角三角形。原則：題目給出的特殊角（30、45、60、120、135、

150度）不能拆開，應(yīng)構(gòu)造成直角三角形。

十二.圖形的變換（從一個圖形變成另一個圖形的過程）

1.圖形的變換的四種類型：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)（含中心對稱）、位似。（前三個為全等變換）

2.圖形的變換描述要素：①平移：兩個點對應(yīng)點②軸對稱：一條對稱軸

③旋轉(zhuǎn)：中心、順（逆）時針、角度④中心對稱：一個中心點

⑤位似：中心、同（反）向、相似比。

十三.投影與視圖

1.平行光線形成的投影叫平行投影；點光源發(fā)出的光線形成的投影叫中心投影；投影線垂直于投影面的平行投影叫正投

影。

2.物體面平行于投影面時，這個面與它的正投影形狀、大小都相同。

3.三視圖：主視圖（正視圖）、俯視圖、左視圖；

畫三視圖的要求：主視圖與俯視圖的長對正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等。位置如圖：

主左

十四.常見的兩種情況

俯

1、一點到圓上的最近和最遠(yuǎn)距離:圓內(nèi)和圓外

2、圓上一條非直徑的弦所對的兩種圓周角：銳角和鈍角

3、圓與圓沒有公共點：外離和內(nèi)含

4、圓與圓只有一個公共點（相切）：外切和內(nèi)切

5、大小兩圓相交：兩圓心在公共弦的兩側(cè)和同側(cè)

6、圓中兩條平行弦的距離：兩弦在圓心的兩側(cè)和同側(cè)

7、已知圓的半徑和它內(nèi)接等腰三角形底邊到圓心的距離，求腰長：圓心在三角形的內(nèi)和外

8、三角形中與高有關(guān)的問題：高在三角形的內(nèi)部和外部

9、位似：同向和反向

中考題型的解法

一.一次函數(shù)不等式看圖題的解法：三種問題：方程組的解；方程的解；不等式及不等式組的解集。對不等式用三個步驟

完成：先找出不等式或方程所對應(yīng)的交點的交坐標(biāo)，特別是橫坐標(biāo)；然后判斷滿足題意條件是在該點的哪一邊（對函

數(shù)是上大下小，對X是右大左?。?；最后寫出解集。

二.反比例函數(shù)題：1.用一個已知點的坐標(biāo)求k:k=xy；2.用矩形或直角三角形的面積求k:S矩航|k|或SntA=|k|/2；3.

雙曲線上有兩個坐標(biāo)相關(guān)的點,可以用字母表示其中一個點的一個坐標(biāo)（設(shè)m）,再算出其它3個坐標(biāo)值,最后列方程求k.

輔助線:過雙曲線上的點作x或y軸的垂線.相關(guān)知識：1、雙曲線是三種對稱圖形；2、一次函數(shù)y=kx+b

中k=±l時,直線與坐標(biāo)軸的夾角是45度,構(gòu)成等腰直角三角形,與雙曲線組成軸對稱圖形。

三.證切線的方法：1.連接半徑，證垂直；2.過圓心作直線的垂線，證距離等于半徑。

四.證線段相等的方法:全等；等腰[分兩種類型:一種是角度不固定的,另一種是角度固定的，比如15度、22.5度、75度、

67.5度等，這時一定要算出角度];相等圓心角、圓周角所對的弦；平行四邊形；切線長；等腰梯形；角平分線；中垂

線；都和半徑相等的線段；等量線段加減；[x:a=x:b；a2=b2=mn]

五.求線段長度常用的方法：勾股定理（特別是勾股列方程）、相似三角形（特別是母子相似和共邊相似）、三角函數(shù)、面

積法（垂線段長）、線段加減。

六.證角相等及角度的方法：全等；等腰；相似三角形；旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)角及對應(yīng)角；等弧所對的圓心角、圓周角；圓內(nèi)

接四邊形的一個外角；等角的余角、補角；三角形的一個外角；角平分線；等腰梯形；兩個直角三角形共斜邊一四點

共圓f圓內(nèi)接四邊形、同??；圓外角、圓內(nèi)角f圓周角一圓心角；45度、30度的直角三角形由邊長得角的度數(shù)。

七.證垂直（直角）的方法：平行線的兩個角是直角（“工”字形）；三角形中另兩個角互余；180度去減旁邊的兩個角；

全等三角形的對應(yīng)直角。

八.證平行的方法：三種角（同位、內(nèi)錯、同旁內(nèi)角）；證平行四邊形。

九.求函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法（有幾個待定系數(shù)就找?guī)讉€點）：正比例函數(shù)只要1個點；反比例函數(shù)只要1個點；

一次函數(shù)要2個點；二次函數(shù)要3個點，或頂點再加1個點。

十.求坐標(biāo)的方法：1、過點作坐標(biāo)軸的垂線，求垂線段長；2、解方程（組）求交點。

十一.求線段加法的方法是長線截取或短線延長；求線段乘法的方法是變比