專題01 圓中垂徑定理的應用4種壓軸題型全攻略（解析版）

專題01圓中垂徑定理的應用4種壓軸題型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用圓周（心）角性質求角的計算】 1【考點二利用圓的性質求銳角三角比的計算】 2【考點三利用垂徑定理求線段的長度的計算】 2【考點四利用圓的性質求圖形的面積的計算】 3【過關檢測】 4【典型例題】【考點一利用圓周（心）角性質的計算】【例題1】如圖，是的外接圓，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，然后利用等腰三角形的性質，以及三角形內(nèi)角和定理進行計算，即可解答．【詳解】解：連接，

∵，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【變式1】如圖，在中，點是的中點，點在上，連接、、、．若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，再根據(jù)“弧，弦，圓心角的關系”求出，然后根據(jù)圓周角定理得出答案．【詳解】解：連接，

∵點B是的中點，∴．∵，∴，∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了弧，弦，圓心角的關系，圓周角定理等，理解定理是解題的關鍵．即圓周角定理：同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．【變式2】如圖，是的兩條直徑，點是弧的中點，連接，若，則的度數(shù)（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)圓周角定理可得，結合點是弧的中點，可得，再結合三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形“等邊對等角”的性質求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示，

∵，∴，∵點是弧的中點，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓周角定理及其推論、等腰三角形的性質、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握圓周角定理是解題關鍵．【變式3】如圖，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，連接、，，，則（）．

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)平行線的性質即可作答．【詳解】∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理以及平行線的性質等知識，掌握圓周角定理，是解答本題的關鍵．【考點二利用圓的性質求銳角三角比的計算】【例題2】以正方形的邊為直徑作半圓，過點作直線切半圓于點，交邊于點，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理得，，，設，，在中根據(jù)勾股定理可列方程，從而用含的代數(shù)式表示出和，根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可求出結論．【詳解】解：以正方形的邊為直徑作半圓，，，，是的切線，是的切線，根據(jù)切線長定理得，，．設，，則在中，，，．根據(jù)勾股定理可得：，，，，，故選：．【點睛】本題考查了切線的性質定理、勾股定理、求一個角的正切．熟記相關幾何結論進行幾何推理是解題關鍵．【變式1】如圖，的半徑于點，連接并延長交于點，連接．若，，則為()

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，過作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)勾股定理求出的半徑，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形的面積公式求出，根據(jù)勾股定理求出，再解直角三角形求出答案即可．【詳解】解：連接，過作于，設的半徑為，

，過，，，由勾股定理得：，即，解得：，即，為的直徑，，，，，，解得：，由勾股定理得：，，，故選：A．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，三角形的面積，解直角三角形等知識點，能求出CE的長度是解此題的關鍵．【變式2】如圖，直線與相交于，兩點，且與半徑垂直，垂足為，已知，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設令，，利用勾股定理求得，根據(jù)垂徑定理求得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：，，，令，，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解答此題的關鍵．【變式3】如圖，是的直徑，點P是延長線上的一點，是的切線，C為切點．若，，則．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質得到，根據(jù)正切的定義以及勾股定理進行計算，得到答案．【詳解】解：連接，

∵是的切線，∴，在中，，設，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，解得：，（舍），∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是切線的性質、正切的定義、勾股定理等知識，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．【考點三利用垂徑定理求線段長度的計算】【例題3】如圖，是的直徑，弦于點E，若，，則的長為（）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】連接，由垂徑定理求出的長，由勾股定理求出的長，即可得到的長．【詳解】解：如圖，連接，

直徑，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，掌握定理，作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．【變式1】如圖，是以為底邊的等腰三角形，點O為的外心，連接交于點M．若，則的長為（）

A． B． C．3 D．2【答案】A【分析】連接，由外接圓知，進一步證得為等邊三角形，于是；由垂徑定理相關知識得，在中，由三角函數(shù)知，所以．【詳解】解：連接，∵O為的外心，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在中，，∴．故選：A．

【點睛】本題考查垂徑定理，三角形外接圓，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形；運用垂徑定理相關知識得出垂直從而運用解直角三角形知識是解題的關鍵．【變式2】如圖，的弦垂直半徑，垂足為，若半徑長為5，，則的長為（）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】首先根據(jù)題意得到，然后利用勾股定理得到，然后利用垂徑定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵半徑長為5，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理，解題關鍵在于利用垂徑定理和勾股定理求解．【變式3】如圖，圓的直徑垂直于弦，垂足是，，，則的長為．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得，由于圓的直徑垂直于弦，根據(jù)垂徑定理得，且可判斷為等腰直角三角形，所以，然后利用進行計算．【詳解】解：∵，∴，∵圓的直徑垂直于弦，∴，則為等腰直角三角形，∵∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱说妊苯侨切蔚男再|和圓周角定理．【考點四利用圓的性質求圖形面積的計算】【例題4】如圖，中，，，，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，以為圓心，長為半徑畫弧，交于點．則圖中陰影部分的面積為_____（結果保留π）．【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形可知陰影部分的面積是扇形與扇形的面積之和與的面積之差．【詳解】解：中，，，，，，陰影部分的面積，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、含角的直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．【變式1】已知點C在以為直徑的半圓上，連接，，陰影部分的面積為_____．

【答案】【分析】要求陰影部分的面積即是半圓的面積減去直角三角形的面積，根據(jù)，，可以求得，的長，再根據(jù)半圓的面積公式和直角三角形的面積公式進行計算．【詳解】解：為直徑，，，設，，即，解得：，，．故答案為：．【點睛】本題考查了扇形的面積的計算，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵．【變式2】平行四邊形中，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點E，連接．再以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點F，若，且平分，，則圖中陰影部分面積為_____．（結果不取近似值）【答案】/【分析】連接，由平行四邊形的性質推出是等邊三角形，是等腰三角形，由直角三角形的性質求出的長，得到的長，求出扇形的面積，扇形的面積，的面積，的面積，即可求出陰影的面積．【詳解】解：連接，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，，，，∴陰影的面積．故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算，三角形面積的計算，平行四邊形的性質，直角三角形的性質，關鍵是證明是等邊三角形，是等腰三角形；明白陰影的面積．【變式3】如圖，沿弦折疊扇形紙片，圓心O恰好落在上的點C處，，則四邊形的面積為______．【答案】【分析】由折疊可得四邊形是菱形，得出四邊形是菱形，根據(jù)直角三角形的邊角關系求出，進而得出半徑，由菱形的面積公式可求答案．【詳解】解：如圖，連接交于點D，由折疊可知，，，而，∴，∴四邊形是菱形；∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查圓的基本性質，折疊的性質，銳角三角函數(shù)的應用，掌握折疊的性質、以及直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．【過關檢測】1．如圖，線段為的直徑，點C，D都在上，與相切于點D，若，，則可表示為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)切線的性質得到，根據(jù)等腰三角形的性質得到，于是得到結論．【詳解】解：∵線段為的直徑，∴，∵，∴，∵與相切于點D，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．2．如圖，四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，是⊙O的直徑，連接，，若，且，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)，可得是菱形，進而得到為等邊三角形，結合直徑所對圓周角是直角，可以求出，結合圓內(nèi)接四邊形的性質即可求出；【詳解】解：如圖，連接、，∵，且，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴是菱形，∴，，即為等邊三角形，∴，，∵是⊙O的直徑，∴，，，∵四邊形是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴，∴故選：D【點睛】本題考查平行四邊形、菱形、等邊三角形的判定及性質、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質，準確作出輔助線是解決本題的關鍵．3．如圖，已知是的直徑，點，在上，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓周角的性質可得，求出，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出結果．【詳解】解：是直徑，，，，故選：C．【點睛】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理解決問題，屬于中考?？碱}型．4．如圖，在中，，以為直徑的與，分別交于點D，E，連接，，若，，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．π【答案】A【分析】連接，，證明，可得，求解，再利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：連接，，∵為的直徑，∴，∵，∴，即點E是的中點，∵點O是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質，圓周角定理的應用，扇形面積的計算，熟練的證明是解本題的關鍵．5．如圖，是的直徑，點C、D在上，連接，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直徑所對的的圓周角是直角得到，進而求得，再圓內(nèi)接四邊形的兩個對角互補求解即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理、直角三角形的兩銳角互余、圓內(nèi)接四邊形，熟知直徑所對的的圓周角是直角，以及圓內(nèi)接四邊形的兩個對角互補是解答的關鍵．6．如圖，在中，弦相交于點，若，，則等于（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，根據(jù)與所對弧相同，即可求解．【詳解】解：在中，，，∴，∵與所對弧相同，∴，故選：．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，同弧或等弧所對圓周角相等的知識的綜合，掌握以上知識是解題的關鍵．7．如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，與相切于點，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，，據(jù)此即可求得答案．【詳解】∵四邊形內(nèi)接于，∴．∴．∵與相切于點，∴．∴．故選：B．【點睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質和圓的切線的性質，牢記圓內(nèi)接四邊形的性質（圓內(nèi)接四邊形的對角互補）和圓的切線的性質（圓的切線垂直于過切點的半徑）是解題的關鍵．8．如圖，在中，弦，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由，可得，由，可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線的性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．二、填空題9．如圖，直線與相切于點A，過圓上一點C作的垂線，垂足為B，垂線段交于另一點D，已知半徑為3，，則弦的長為_____．

【答案】【分析】作于點H，連接，，由切線的性質和垂直的定義推出四邊形是矩形，得到，由勾股定理求出的長，由垂徑定理即可求出的長．【詳解】解：如圖，作于點H，連接，，

，，直線與相切于點A，，又，四邊形是矩形，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查切線的性質，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質，解題的關鍵是通過作輔助線構造直角三角形．10．如圖，為的直徑，弦，垂足為點E，連接，若，則等于_____．【答案】8【分析】根據(jù)圓的性質可得，再根據(jù)進而可求；【詳解】解：∵為的直徑，弦，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：8．【點睛】本題主要考查垂徑定理、勾股定理，掌握相關知識是解題的關鍵．11．如圖，是的外接圓，為的直徑，，點為半徑上一點，延長與交于點，過點作，交延長線于點若為中點，則_____．

【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，求得，根據(jù)相似三角形的判定和性質以及勾股定理即可得到結論．【詳解】解：為的直徑，，，，，為中點，，，，，，，，，∽，，，，，，，，故答案為：【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，垂徑定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．12．如圖，是的外接圓，為的直徑，連接，若，，則的長為_____cm．

【答案】6【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到，然后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是的外接圓，為的直徑，∴，∵，，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查圓周角定理、勾股定理，熟知直徑所對的圓周角是直角是解答的關鍵．13．如圖，在平行四邊形中，，，，以點為圓心，的長為半徑畫弧交于點，連接，求：陰影部分的面積_____（結果保留）．

【答案】【分析】過點作于點．可求和的高，觀察圖形可知陰影部分的面積的面積扇形的面積的面積，計算即可求解．【詳解】解：過點作于點，

，，，，，陰影部分的面積：，故答案為：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，扇形面積的計算，本題的關鍵是理解陰影部分的面積的面積扇形的面積的面積．14．如圖，為半圓O的直徑，且，點C為半圓O上一點，連接，以點B為圓心，長為半徑畫弧，交于點D．若，則圖中陰影部分的面積為_____．

【答案】【分析】連接，，過點作于點，利用圓周角定理和含30度的直角三角形的性質，求出，的長度，利用陰影部分的面積等于的面積加上扇形的面積減去扇形的面積進行求解即可．【詳解】解：連接，，過點作于點，

則：，，∵，∴，∴，∵陰影部分的面積等于的面積加上扇形的面積減去扇形的面積，∴陰影部分的面積；故答案為：【點睛】本題考查求陰影部分的面積，解題的關鍵是掌握割補法求面積，扇形的面積公式以及垂徑定理．15．如圖，以點O為圓心，為直徑的半圓經(jīng)過點C．若，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】/【分析】根據(jù)圓周角定理的推論可知，利用勾股定理可求出直徑，再根據(jù)圓周角定理結合圖形可知，即可求出．【詳解】解：∵為直徑，∴，∴在中，．∴的半徑為，∵，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求不規(guī)則圖形的面積、圓周角定理和其推論．理解是解答本題的關鍵．16．如圖，是半圓O的直徑，點P在的延長線上，切半圓O于點C，連接．若，則_____．

【答案】27【分析】連接，由切線的性質可知是直角三角形，由可得，最后根據(jù)圓周角定理即可解答．【詳解】解：連接，∵切于點C，

∴，∴是直角三角形，∵，∴，∴．故答案為27．【點睛】本題考查了圓的切線性質、圓周角定理、直角三角形的性質等知識點，作輔助線連接圓心和切點、垂直構造直角三角形是解答本題的關鍵．17．如圖，的切線交直徑的延長線于點，為切點，若，的半徑為3，則的長為_____．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質得到，再根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半計算即可；【詳解】如圖，連接，

∵是的切線，∴，即，又，的半徑為3，∴，∴．故答案是．【點睛】本題主要考查了切線的性質，直角三角形的性質，準確計算是解題的關鍵．18．如圖，在平面直角坐標系中，已知經(jīng)過原點O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點B坐標為，與交于點C，，則圓中陰影部分的面積為_____．

【答案】/【分析】連接，從圖中明確，然后根據(jù)公式計算即可．【詳解】解：連接，

∵，∴是直徑，根據(jù)同弧對的圓周角相等得：，∵點B坐標為，∴，∴

，，即圓的半徑為2，∴．故答案為：．【