第01講 6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（原卷版）

第01講6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①熟練掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。②靈活應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決數(shù)學(xué)與生活中的計(jì)數(shù)問(wèn)題。③理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系。④掌握分類與分步的計(jì)數(shù)原則及分類標(biāo)準(zhǔn)。1.理解與掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的計(jì)數(shù)方法；2能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；知識(shí)點(diǎn)01：分類加法計(jì)數(shù)原理（1）定義：完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：如果完成一件事情有類不同方案,在第1類方案中有種不同的方法,在第2類方案中有種不同的方法,……在第類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.【即學(xué)即練1】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）音樂(lè)播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任選一首歌曲進(jìn)行播放，有多少種不同的選法？【答案】【詳解】依題意一共有種選法.知識(shí)點(diǎn)02：分步乘法計(jì)數(shù)原理（1）定義：完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,那么完成這件事共有種不同的方法.（2）推廣：完成一件事需要個(gè)步驟,做第1步有種不同的方法,做第2步有種不同的方法,……做第步有種不同的方法,則完成這件事共有種不同的方法.【即學(xué)即練2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）一種號(hào)碼撥號(hào)鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共10個(gè)數(shù)字，這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成個(gè)四位數(shù)號(hào)碼？．【答案】【詳解】按從左到右的順序撥號(hào)可以分四步完成：第1步，有10種撥號(hào)方式，第2步，有10種撥號(hào)方式，第3步，有10種撥號(hào)方式，第4步，有10種撥號(hào)方式，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共可以組成個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼.故答案為：.知識(shí)點(diǎn)03：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題.區(qū)別：①分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事.②分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題,各個(gè)步驟中的方法相互依存,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.題型01利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題【典例1】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谥校┩瓿梢豁?xiàng)工作，有兩種方法，有6個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)第二種方法，從這10個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（

）A．6種 B．10種 C．4種 D．60種【典例2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛(ài)國(guó)主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團(tuán)員為總負(fù)責(zé)人，有種不同的選法．【典例3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中，要接通電源，使電燈發(fā)光的方法種數(shù)是．【典例4】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺(tái)12個(gè)頻道、本地臺(tái)10個(gè)頻道和其他省市46個(gè)頻道的節(jié)目．(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時(shí)，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？(2)如果有3個(gè)頻道正在轉(zhuǎn)播同一場(chǎng)球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線方程，若從0、1、2、3、5、7這六個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)分別作為A、B的值，則可表示條不同的直線．【變式2】（2023上·陜西漢中·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，現(xiàn)從這三個(gè)班中任選1人去參加活動(dòng)，則不同的選法共有種.【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，組成數(shù)對(duì)，則其中的數(shù)對(duì)有多少個(gè)?題型02利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題【典例1】（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）甲同學(xué)計(jì)劃從3本不同的文學(xué)書和4本不同的科學(xué)書中各選1本閱讀，則不同的選法共有（

）A．81種 B．64種 C．12種 D．7種【典例2】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）某公司員工義務(wù)獻(xiàn)血，在體檢合格的人中，O型血的有10人，A型血的有5人，B型血的有8人，AB型血的有3人．從4種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血，不同的選法種數(shù)為（）A．1200 B．600 C．300 D．26【典例3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在圖中的電路中，僅合上2只開(kāi)關(guān)接通電路，有多少種不同的方法？

【變式1】（2023上·江西南昌·高二江西師大附中?？计谥校┯?，2，3，4可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．24 C．36 D．48【變式2】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）某商場(chǎng)共有4個(gè)門，若從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，不同走法的種數(shù)是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式3】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有3名老師、8名男生和5名女生共16人.若需1名老師和1名學(xué)生參加評(píng)選會(huì)議，則不同的選法種數(shù)為（）A．39 B．24C．15 D．16題型03兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上中的某一個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)），則頂點(diǎn)處的數(shù)字都大于頂點(diǎn)處的數(shù)字的標(biāo)注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36【典例3】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某班班委由2位女同學(xué)、3位男同學(xué)組成，現(xiàn)要從該班委里選出2人去參加學(xué)校組織的培訓(xùn)活動(dòng)，要求至少要有1位女同學(xué)參加，則不同的選法共有多少種？【變式1】（2023上·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【變式2】（2023下·山東菏澤·高二校考階段練習(xí)）口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球每個(gè)球有不同編號(hào)，現(xiàn)從中取出2個(gè)球．(1)至少有一個(gè)白球的取法有多少種？(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？【變式3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）從a、b、c、d、e這5個(gè)元素中取出4個(gè)，放在4個(gè)不同的格子中，且元素b不能放在第二個(gè)格子里．問(wèn)：一共有多少種不同的放法？題型04用計(jì)數(shù)原理解決涂色（種植）問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個(gè)不同區(qū)域），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方法有（

）

A．48種 B．64種 C．96種 D．144種【典例2】（2023下·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，則不同的綠化方案有（

）A．48種 B．72種 C．64種 D．256種【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用5種不同的顏色給圖中的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，則共有多少種不同的涂色方法？1234【變式1】（2023下·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)?？计谥校┰谌鐖D所示的四個(gè)區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個(gè)區(qū)域只能種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有種（用數(shù)字作答）【變式2】（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有5種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.【變式3】（2023下·江蘇常州·高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示的一圓形花圃，擬在A，B，C，D區(qū)域種植花苗，現(xiàn)有3種不同顏色的花苗，每個(gè)區(qū)域種植1種顏色的花苗，且相鄰的2塊區(qū)域種植顏色不同的花苗，則不同的種植方法總數(shù)為（

）A．12 B．18 C．24 D．30【變式4】（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）用6種不同的顏色為如圖所示的廣告牌涂色，要求在A，B，C，D四個(gè)區(qū)域中相鄰(有公共邊的)區(qū)域不用同一種顏色，求共有多少種不同的涂色方法？A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)?？计谀┘?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（

）A．6種 B．12種 C．3種 D．9種2．（2023下·安徽池州·高二校聯(lián)考期中）“聲東擊西”是游擊戰(zhàn)爭(zhēng)的一種戰(zhàn)術(shù)：聲東可以擊東、南、西、北中的任意一個(gè)方向，以此靈活地打擊或消滅敵人.同樣還有“聲南擊北”等不同的戰(zhàn)術(shù)，由此可知這類戰(zhàn)術(shù)中打擊或消滅敵人的方法總數(shù)為（

）A．16 B．12 C．4 D．33．（2023下·福建泉州·高二?？计谀┯?名學(xué)生報(bào)名參加3項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為（

）A．243 B．125 C．60 D．1204．（2023下·黑龍江大慶·高二?？计谥校┩瓿梢患掠腥惒煌桨?，在第類方案中有種不同的方法，在第類方案中有種不同的方法，在第類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，其中（

）A． B． C． D．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．366．（2023下·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期中）有序數(shù)對(duì)滿足，且使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則這樣的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．15 B．14 C．13 D．107．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方形的每一個(gè)頂點(diǎn)處分別標(biāo)上中的某一個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)），則頂點(diǎn)處的數(shù)字都大于頂點(diǎn)處的數(shù)字的標(biāo)注方法有（

）A．36種 B．48種 C．24種 D．26種8．（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期末）根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，我國(guó)勞動(dòng)人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù).算籌計(jì)數(shù)法就是用一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來(lái)表示數(shù)字，如圖所示.如果用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為（

）

A． B． C． D．二、多選題9．（2023下·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法10．（2023下·山東棗莊·高二棗莊八中?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B．每組選1名組長(zhǎng)的選法種數(shù)為3024C．若推選2人發(fā)言，這2人需來(lái)自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種三、填空題11．（2023上·山東日照·高二日照一中?？茧A段練習(xí)）某次足球比賽共12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行（1）小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；（2）半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場(chǎng)交叉淘汰賽（每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng)決出勝者；（3）決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加決賽一場(chǎng)，決出勝負(fù)．則全部賽程共需比賽場(chǎng)．12．（2023下·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谥校┮阎本€中的a，b，c是取自集合中的3個(gè)不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是．四、解答題13．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知某容器中，H有3種同位素，Cl有2種同位素，Na有3種同位素，O有4種同位素，試問(wèn)一共可以組成多少種HCl和NaOH的分子？14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）用6種不同顏色的彩色粉筆寫黑板報(bào)，板報(bào)設(shè)計(jì)如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的彩色粉筆.若允許同一種顏色多次使用，則該板報(bào)有多少種書寫方案?

B能力提升1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“回文聯(lián)”是對(duì)聯(lián)中的一種，既可順讀，也可倒讀．比如，一副描繪廈門鼓浪嶼景色的回文聯(lián)：霧鎖山頭山鎖霧，天連水尾水連天．由此定義“回文數(shù)”，n為自然數(shù)，且n的各位數(shù)字反向排列所得自然數(shù)與n相等，這樣的n稱為“回文數(shù)”，如：1221，2413142．則所有5位數(shù)中是“回文數(shù)”且各位數(shù)字不全相同的共有（

）A．648個(gè) B．720個(gè) C．810個(gè) D．891個(gè)2．（2023下·高二單元測(cè)試）算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明．現(xiàn)有一種算盤（如圖1），共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位，檔中橫以梁，梁上一珠撥下，記作數(shù)字，梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字（如圖2中算盤表示整數(shù)）．如果撥動(dòng)圖1算盤中的三枚算珠，可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（