專題5.1 三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關系（解析版）

專題5.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關系題型一象限角及終邊相同的角題型二扇形的弧長及面積公式題型三三角函數(shù)的定義及其應用題型四三角函數(shù)符號的判斷題型五同角三角函數(shù)基本關系（知一求二）題型六齊次式化簡求值題型七與的應用題型一 象限角及終邊相同的角例1．（2023春·上海奉賢·高三?？茧A段練習）下列命題中正確的是（

）A．終邊重合的兩個角相等 B．銳角是第一象限的角C．第二象限的角是鈍角 D．小于90°的角都是銳角【答案】B【分析】根據(jù)象限角的定義以及終邊相同的角，可得答案.【詳解】對于A，終邊相同的角可表示為，故A錯誤；對于B，銳角的取值范圍為，故B正確；對于C，第二象限角的取值范圍為，故C錯誤；對于D，銳角的取值范圍為，其，則，但不是銳角，故D錯誤.故選：B.例2．（2023·高三單元測試）設集合，，則集合，的關系為（

）A． B． C． D．莫得關系【答案】B【分析】對于集合，分和分別來研究可得答案.【詳解】集合對于集合，當時，；當時，，.故選：B.練習1．（2022秋·四川涼山·高三統(tǒng)考期末）“角A不大于”是“角A屬于第一象限角”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】由第一象限角定義判斷“角A不大于”與“角A屬于第一象限角”間關系即可.【詳解】“角A不大于”則A可能為，不能得到“角A屬于第一象限角”；由“角A屬于第一象限角”，則A可能為，不能得到“角A不大于”.則“角A不大于”是“角A屬于第一象限角”的既不充分也不必要條件.故選：D練習2．（2022秋·江蘇揚州·高三揚州中學校考期末）如圖所示，終邊落在陰影部分包括邊界的角的集合是__________.【答案】【分析】寫出終邊落在邊界上的角，即可求出.【詳解】因為終邊落在y軸上的角為，終邊落在圖中直線上的角為；，即終邊在直線上的角為，，所以終邊落在陰影部分的角為，故答案為：練習3．（2022秋·江蘇常州·高三華羅庚中學?？茧A段練習）（多選）下列說法錯誤的是（

）A．將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是B．若角，則角為第二象限角C．若角為第一象限角，則角也是第一象限角D．是的充要條件【答案】ACD【分析】根據(jù)角的定義可判斷A，根據(jù)弧度與角度的關系可判斷B，根據(jù)象限角的范圍即可判斷C，根據(jù)三角函數(shù)的周期性即可判斷D.【詳解】對于A：將表分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度為，故A不正確；對于B：因為角，所以角為第二象限角，故B正確；對于C：若為第一象限角，不妨取，則角為第三象限角，故C錯誤；對于D:若，則，故充分性成立，但，可以為，故D錯誤，故選：ACD練習4．（2023春·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知點在第二象限，則為（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】點在第二象限，根據(jù)坐標特征得的符號，即可得所在象限.【詳解】因為點在第二象限，所以，，即為第三象限角．故選：C練習5．（2023春·遼寧沈陽·高三校聯(lián)考期中）下列與角的終邊相同的角的表達式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)終邊相同角的定義即可求解.【詳解】角用弧度制表示為，B、D錯誤；終邊相同應加上，故C錯誤．故選：A．題型二 扇形的弧長及面積公式例3．（2023春·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊．一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，則下列結論錯誤的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）

A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為【答案】D【分析】求得判斷選項A；求得滿足條件的的值判斷選項B；求得滿足條件的的值判斷選項C；求得滿足條件的扇形面積的值判斷選項D.【詳解】扇形的面積為，其圓心角為，半徑為R，圓面中剩余部分的面積為，選項A：.故A正確；選項B：由，可得，解得，又扇形的半徑，則.故B正確；選項C：若扇面為“美觀扇面”，則，解得.故C正確；選項D：若扇面為“美觀扇面”，則，又扇形的半徑，則此時的扇形面積為.故D錯誤.故選：D例4．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作．其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積（弦×矢+矢×矢）．弧田（如圖）由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為，半徑為的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是（

）（精確到）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題設條件計算出弦和矢，再代入弧田面積公式計算作答.【詳解】依題意，弦(m)，矢(m)，則弧田面積=()，所以弧田面積約是.故選：A練習6．（2023春·山東·高三濱州一中校聯(lián)考期中）時鐘的分針長，從到，分針轉過的角的弧度數(shù)為______，分針掃過的扇形面積為______.【答案】【分析】直接計算出分鐘轉過的弧度數(shù)，利用扇形的面積公式可求得分針所掃過的面積.【詳解】由題意得，分針轉過的角的弧度數(shù)為，分針掃過的扇形面積為.故答案為：；.練習7．（2023春·山東·高三統(tǒng)考期中）如圖，航海羅盤將圓周32等分，設圓盤的半徑為4，則其中每一份的扇形面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圓的面積，再乘以即可.【詳解】因為航海羅盤將圓周32等分，圓盤的半徑為4，所以每一份的扇形面積為.故選：C.練習8．（2023春·江西南昌·高三南昌市第十九中學?？茧A段練習）設扇形的周長為，則當扇形的面積最大時，其圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設扇形半徑為，由周長求出弧長為，根據(jù)扇形面積公式求出面積最大時的值，并由此算出圓心角的弧度數(shù)，或使用基本不等式利用半徑的二倍與弧長的和為定值結合扇形面積公式進行求解.【詳解】方法一：設扇形的半徑為（），則扇形的弧長（），扇形的面積，（），由二次函數(shù)知識，當（滿足）時，扇形的面積取最大值，此時，扇形的弧長，扇形圓心角的弧度數(shù).方法二：設設扇形的半徑為，弧長為（，），則扇形的周長，由基本不等式，扇形的面積，當且僅當時取等號，此時，扇形的圓心角的弧度數(shù).故選：B.練習9．（2023春·山東威?！じ呷？茧A段練習）如圖，扇形AOB的面積是1，它的弧長是2，則弦AB的長為________．【答案】【分析】由扇形面積公式可得，從而求得，再根據(jù)即可求解.【詳解】由扇形面積公式，可得，解得，所以，所以.故答案為：練習10．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中學校考期中）一個表面積為的圓錐，其側面展開圖是一個中心角為的扇形，設該扇形面積為，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由弧長公式可求出圓錐母線與底面圓半徑的關系，再由圓錐表面積公式可解.【詳解】設圓錐母線長，底面圓半徑，，所以，圓錐表面積，扇形面積，所以.故選：D題型三 三角函數(shù)的定義及其應用例5．（2023春·北京豐臺·高三統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，動點在單位圓上按逆時針方向作勻速圓周運動，每分鐘轉動一周.若點初始位置的坐標為，則運動到分鐘時，動點所處位置的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設坐標原點為，點為，由三角函數(shù)定義求的正弦和余弦，結合誘導公式的正弦和余弦，由此可得坐標.【詳解】因為點初始位置的坐標為，所以，因為每分鐘轉動一周，逆時針運動分鐘，動點所處位置為，所以，所以，，所以點的坐標為,故選：C.例6．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預測）將頂點在原點，始邊為軸非負半軸的銳角的終邊繞原點順時針旋轉后，交單位圓于點，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，求得的正弦值與余弦值，利用正弦的和角公式，可得答案.【詳解】由點在單位圓上，則，解得，由銳角，即，則，故，所以.故選：D練習11．（2023春·北京海淀·高三北京市八一中學?？计谥校┮阎堑慕K邊與單位圓交于點，則________．【答案】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由三角函數(shù)的定義即可得到結果.【詳解】由題意可得，，則，由三角函數(shù)的定義可得.故答案為：練習12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（且）恒過定點P，若角的頂點在坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊恰好經(jīng)過點P，則______【答案】/【分析】利用對數(shù)函數(shù)圖象的平移變換及性質，求出定點P，進而得到，利用三角函數(shù)的二倍角公式，以及平方關系構造齊次式，再利用商數(shù)關系化簡求值即可.【詳解】因為函數(shù)可看作是由函數(shù)向左平移2個單位，再向上平移3個單位得到，而恒過點，所以恒過點，即，則，故，故答案為：.練習13．（2023·上海金山·上海市金山中學?？寄M預測）若點在角的終邊上，則__________．【答案】/【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.【詳解】因為點，即在角的終邊上，且，所以，則.故答案為:練習14．（2023·山西晉中·統(tǒng)考三模）角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點P．已知．則點P可能位于如圖所示單位圓的哪一段圓弧上（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的定義結合，即可判斷.【詳解】設，則.因為，所以，所以同號，且，則ABD錯誤.故選：C練習15．（河南省南陽市六校2022-2023學年高一下學期第二次聯(lián)考數(shù)學試題）在平面直角坐標系中，角的頂點為O，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由誘導公式、倍角余弦公式得，三角函數(shù)定義知，代入求值即可.【詳解】，由題意，所以.故選：B題型四 三角函數(shù)符號的判斷例7．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期中）點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先判斷在第幾象限，進而判斷三角函數(shù)值的符號，即可得結果.【詳解】因為，則為第三象限角，可得，所以位于第四象限.故選：D.例8．（2021春·高一課時練習）已知點在第二象限，則是第________象限角．【答案】四【分析】由點在第二象限，得到，從而得到所在的象限．【詳解】因為點在第二象限，所以，由可得的終邊在第二象限或第四象限；由可得的終邊在第一象限或第四象限或在軸的非負半軸上，所以是第四象限角．故答案為：四.練習16．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知是第二象限角，則點所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)確定橫坐標和縱坐標的正負，即可求解.【詳解】因為是第二象限角，所以，，進而硧定，.所以點在第四象限.故選：D練習17．（2023春·江西贛州·高三贛州中學校考階段練習）（多選）下列結論正確的是（

）A．與的終邊相同B．若為第三象限角，則C．若，則為第一象限角D．若為第一象限角，則不可能為第二象限角【答案】ABD【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示判斷A，利用象限角的定義判斷B、D，利用特殊值判斷C.【詳解】對于A：因為與終邊相同的角表示為，，當時，即與的終邊相同，故A正確；對于B：為第三象限角，則，，則，，即位于第二象限或第四象限，所以，故B正確；對于C：當時，但是不屬于任何一象限，故C錯誤；對于D：為第一象限角，則，，則，，所以不可能為第二象限角，故D正確；故選：ABD練習18．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習）若，，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】判斷出、的符號，由此可判斷出角的終邊所在的象限.【詳解】由，，得，，所以是第四象限角.故選:D.練習19．（2023春·遼寧沈陽·高三沈陽市第十一中學?？茧A段練習）已知，則點P所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)角所在象限確定點橫、縱坐標的正負，即可得解.【詳解】因為1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，所以，所以點P所在象限為第四象限.故選：D.練習20．（2023春·全國·高三階段練習）（多選）求函數(shù)可能取值，其中

（

）A．16 B． C．10 D．-10【答案】ABD【分析】討論的象限，化簡函數(shù)解析式即可.【詳解】由函數(shù)有意義可得，當時，，當時，，當時，，當時，，故選：ABD.題型五 同角三角函數(shù)基本關系（知一求二）例9．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系求解即可.【詳解】由，且，得，所以.故選：A.例10．（2023·全國·高三專題練習）已知，則__________．【答案】【分析】判斷角所在象限，根據(jù)同角的三角函數(shù)關系解得的值，根據(jù)角的象限，即可確定的值，可得答案.【詳解】由可知在第一象限或第三象限，由可得，結合，解得，在第一象限時，，此時，在第三象限時，，此時，故答案為：練習21．（2021·高一單元測試）若是第二象限角，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關系式，準確計算，即可求解.【詳解】因為若是第二象限角，且，所以.故選：D.練習22．（2023春·上海浦東新·高三上海市進才中學?？计谥校┮阎?，，則______.【答案】/【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關系求解即可.【詳解】因為，所以，因為，所以，即，所以，故答案為：.練習23．（2023春·四川宜賓·高三?？茧A段練習）已知，．(1)求，的值；(2)求的值．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系公式可求出結果；（2）根據(jù)和差角公式可求出結果.【詳解】（1）由，，所以,所以；（2）.練習24．（2021·高三課時練習）（多選）若為銳角，，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)為銳角，先求出，進而求出，然后，在根據(jù)逐項分析即可.【詳解】因為為銳角，，所以所以，所以A錯誤；所以，所以，所以B正確;因為，所以，所以C正確；由，所以D正確，故選：BCD.練習25．（2023·全國·高三專題練習）已知是第三象限角，，則________．【答案】【分析】利用二倍角公式可得，再由同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】因為，整理可得，解得，或，由于是第三象限角，（舍去）所以，．故答案為：．題型六 齊次式化簡求值例11．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省揚中高級中學校聯(lián)考期中）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角的正弦、余弦公式化簡可得，分子分母同時除以，代入即可得出答案.【詳解】故選：C.例12．（2023春·廣東河源·高三龍川縣第一中學校考期中）已知，并且是第二象限角．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用同角公式計算作答.（2）由（1）的結論，利用齊次式法計算作答.【詳解】（1）因為，且是第二象限角，則，所以.（2）由（1）知，，所以.練習26．（2023春·海南?？凇じ叨？谝恢行？计谥校┮阎?，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式變形后，再弦化切可得結果.【詳解】.故選：B練習27．（2023春·云南曲靖·高二宣威市第三中學?？茧A段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換，將問題由弦化切計算即可.【詳解】，分子分母同時除以可得：=5，故選：A.練習28．（2023春·陜西寶雞·高三統(tǒng)考期中）（1）若，求的值;（2）化簡：.【答案】（1）；（2）【分析】（1）弦化切后代入計算；（2）由兩角和與差的正弦、余弦公式結合商數(shù)關系化簡變形．【詳解】（1）

（2）原式練習29．（2023·全國·高三專題練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角的終邊在直線上可得，利用二倍角余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系可得.【詳解】因為終邊在直線上，所以分別在第一象限、第三象限取點，,，，故選：A練習30．（2023春·北京西城·高三北師大實驗中學校考期中）如果角的終邊在直線上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的定義及同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可求解.【詳解】因為角的終邊在直線上，所以.所以.故選：B.題型七 與的應用例13．（2023春·山東濰坊·高三校考階段練習）已知，則的值等