專題8.1 空間幾何體的表面積和體積（原卷版）

專題8.1空間幾何體的表面積和體積題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題型二斜二測畫法題型三最短路徑題型四空間幾何體的表面積題型五空間幾何體的體積題型六截面問題題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2023·上海·上海市七寶中學?？寄M預測）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，在長方體中，鱉臑的個數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高一專題練習）下列關(guān)于空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述錯誤的是（

）A．棱柱的側(cè)棱互相平行B．以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體不一定是圓錐C．正三棱錐的各個面都是正三角形D．棱臺各側(cè)棱所在直線會交于一點練習1．（2023·全國·高一專題練習）一個幾何體由六個面組成，其中兩個面是互相平行且相似的四邊形，其余各面都是全等的等腰梯形，則這個幾何體是（

）A．三棱柱 B．三棱臺 C．四棱柱 D．四棱臺練習2．（2023·全國·高三專題練習）（多選）下列說法正確的是（

）A．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．棱臺的側(cè)面都是等腰梯形C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面練習3．（2023·全國·高三專題練習）下列說法正確的是（

）A．等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B．球體的截面都是圓面C．正四棱臺的側(cè)面展開圖是一個等腰梯形D．正三棱錐的四個面都是等邊三角形練習4．（2023春·甘肅·高三校聯(lián)考期中）（多選）下列命題正確的是（

）A．圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線B．兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．以直角梯形的一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形練習5．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）某兒童玩具的實物圖如圖1所示，從中抽象出的幾何模型如圖2所示，由OA，OB，OC，OD四條等長的線段組成，其結(jié)構(gòu)特點是能使它任意拋至水平面后，總有一條線段所在的直線豎直向上，則=（

）

A． B． C． D．題型二 斜二測畫法例3．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學校聯(lián)考階段練習）如圖，是的直觀圖，則是（

）A．正三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能例4．（2023·全國·高三專題練習）某幾何體底面的四邊形OABC直觀圖為如圖矩形，其中，，則該幾何體底面對角線AC的實際長度為（

）A．6 B． C． D．練習6．（2023春·全國·高三專題練習）如圖等腰梯形，，，，，那么該梯形直觀圖的面積是______.練習7．（2023·全國·高三專題練習）如圖，是的直觀圖，其中，，那么是一個（

）

A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定練習8．（2023·全國·高一專題練習）已知在如圖所示的等腰梯形中，，，用斜二測畫法畫出該梯形的直觀圖，則該梯形的直觀圖的面積為__________.練習9．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）

A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形練習10．（2023春·河南周口·高三?？计谀┤鐖D，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的正方形，則原圖形的周長是（

）A．16 B．12 C． D．題型三 最短路徑例5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點C，則小蟲爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國·高一專題練習）如圖，正三棱錐中，，點分別為的中點，一只螞蟻從點出發(fā)，沿三棱錐側(cè)面爬行到點，求：(1)該三棱錐的體積與表面積；(2)螞蟻爬行的最短路線長.練習11．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形，山腳呈圓形，半徑為2km，山高為，是山坡上一點，且.現(xiàn)要建設一條從到的環(huán)山觀光公路，這條公路從出發(fā)后先上坡，后下坡，當公路長度最短時，下坡路段長為______.練習12．（2023·全國·高三專題練習）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（

）A． B． C． D．練習13．（2023·四川資陽·統(tǒng)考三模）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，，D在A1C上，E是A1B的中點，則的最小值是（

）A． B． C． D．練習14．（2023春·安徽·高三安徽師范大學附屬中學校考階段練習）如圖，在長方體中，，，，若P為線段上的動點，則的最小值為______.練習15．（2023·全國·高三專題練習）長方體ABCD－A1B1C1D1中，寬、長、高分別為3、4、5，現(xiàn)有一個小蟲從A出發(fā)沿長方體表面爬行到C1來獲取食物，則其路程的最小值為________．題型四 空間幾何體的表面積例7．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知某圓錐的底面半徑為2，其體積與半徑為1的球的體積相等，則該圓錐的母線長為（

）A．1 B．2 C． D．5例8．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎獔A錐PO，其軸截面（過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊長為6m，頂角為的等腰三角形，該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．練習16．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈?，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．練習17．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃ǘ噙x）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球的表面積相等D．圓柱?圓錐?球的體積之比為練習18．（河北省2023屆高三模擬（六）數(shù)學試題）柷（zhù），是一種古代打擊樂器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂曲將開始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長，下口正方形邊長，底座可近似地看作是底面邊長比下口邊長長，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．練習19．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖，它是由正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐得到.已知，若該半正多面體的表面積為，體積為，則為（

）

A． B． C．2 D．練習20．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）（多選）已知半徑為R的球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切.若圓臺上下底面半徑分別為r1和r2，母線長為l，球的表面積與體積分別為S1和V1，圓臺的表面積與體積分別為S2和V2.則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為題型五 空間幾何體的體積例9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）樂高積木是由丹麥的克里斯琴森發(fā)明的一種塑料積木，由它可以拼插出變化無窮的造型，組件多為組合體．某樂高拼插組件為底面邊長為、高為的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的圓心、直徑為、高為的圓柱，則該組件的體積為（

）．（單位：）A． B． C． D．例10．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┰谥校?，，，將繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為_________.練習21．（2023·北京海淀·?？既＃┕?44年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，開創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長是，內(nèi)口長，寬，高（忽略壁的厚度，取圓周率），若手柄的底面半徑為，體積為，則銅方升的容積約為（小數(shù)點后保留一位有效數(shù)字）（

）

A． B． C． D．練習22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預測）如圖是某烘焙店家烘焙蛋糕時所用的圓臺狀模具，它的高為8cm，下底部直徑為12cm，上面開口圓的直徑為20cm，現(xiàn)用此模具烘焙一個跟模具完全一樣的兒童蛋糕，若蛋糕膨脹成型后的體積會變?yōu)樵瓉硪簯B(tài)狀態(tài)下體積的2倍（模具不發(fā)生變化），若用直徑為10cm的圓柱形容量器取液態(tài)原料（不考慮損耗），則圓柱中需要注入液態(tài)原料的高度約為（

）（單位：cm）A．2.26 B．10.45 C．4.12 D．4.61練習23．（2023·廣東佛山·?？寄M預測）如圖，某圓柱體的高為，是該圓柱體的軸截面.已知從點出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面到點的路徑中，最短路徑的長度為，則該圓柱體的體積是（

）

A．3 B． C． D．練習24．（2023·福建福州·福州三中?？寄M預測）如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺的體積為（

）

A． B． C． D．練習25．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為______.

題型六 截面