理科數(shù)學(xué)-2024屆新高三開學(xué)摸底考試卷（課標(biāo)全國專用）03(解析版)

2024屆新高三開學(xué)摸底考試卷（課標(biāo)全國專用）03理科數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：D2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再由模長(zhǎng)公式計(jì)算模長(zhǎng)即可求解【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.3．已知，，．．．，的平均數(shù)為10，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則，，．．．，的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（

）A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和8【答案】C【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】解：∵，，…，的平均數(shù)為10，標(biāo)準(zhǔn)差為2，∴，，…，的平均數(shù)為：，標(biāo)準(zhǔn)差為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞增的函數(shù)有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)奇偶性排除選項(xiàng)AB；由定義域排除選項(xiàng)D；再求導(dǎo)判斷單調(diào)性判斷C作答.【詳解】對(duì)于C，令，其定義域?yàn)镽，而，即函數(shù)是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，是非奇非偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于A，令，其定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞增，A正確；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，不符合題意，D錯(cuò)誤.故選：A5．已知某批零件的長(zhǎng)度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為（）（附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則68.27%，95.45%）A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B【分析】正態(tài)分布中，，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可.【詳解】正態(tài)分布中，，所以68.27%，95.45%，所以13.59%，故選：B.6．已知圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（

）A．1 B．4 C．9 D．1或9【答案】D【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意兩圓相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差的絕對(duì)值，即可得到方程，解得即可.【詳解】圓，即，圓心為，半徑，圓，圓心，半徑為，所以因?yàn)閮蓤A只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以兩圓相外切或相內(nèi)切，顯然兩圓不能相外切，所以，即，解得或.故選：D7．的圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)值的變化趨勢(shì)．【詳解】是偶函數(shù)，排除D，時(shí)，，排除A、B．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象．解題方法是排除法．可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等），排除一些選項(xiàng)，研究函數(shù)的特殊值，函數(shù)值的正負(fù)、函數(shù)值的變化趨勢(shì)等再排除一些選項(xiàng)，直到只剩下一個(gè)選項(xiàng)為正確選項(xiàng)．8．“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為時(shí)，學(xué)習(xí)率為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．75 B．74 C．73 D．72【答案】C【分析】由已知可得，再由，結(jié)合指對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題設(shè)可得，則，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為次．故選：C．9．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線：相交于A，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若到的準(zhǔn)線的距離等于，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線定義可知直線過拋物線的焦點(diǎn)，從而求出焦點(diǎn)坐標(biāo)可得的值.【詳解】如圖，假設(shè)直線不過拋物線焦點(diǎn)F，過A、B、M分別做準(zhǔn)線的垂線，垂直分別為E、D、G，則GM是直角梯形AEDB的中位線則又因?yàn)?，所以由定義可知所以A、B、F三點(diǎn)共線由直線可得F的坐標(biāo)為所以.另解：設(shè)A，，聯(lián)立方程組得，則，，所以到的準(zhǔn)線的距離等于．因?yàn)?，所以，解得?0．如圖，矩形ABCD中，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將沿AE向上翻折，使點(diǎn)移到P點(diǎn)，則在翻折過程中，下列結(jié)論不正確的是（

）

A．存在點(diǎn)P，使得B．存在點(diǎn)P，使得C．三棱錐的體積最大值為D．當(dāng)三棱錐的體積達(dá)到最大值時(shí)，三棱錐外接球表面積為4π【答案】A【分析】連接，為中點(diǎn)，連接，確定，，若，得到，重合，不成立，A錯(cuò)誤，平面時(shí)，，B正確，計(jì)算得到CD正確，得到答案.【詳解】如圖所示：連接，為中點(diǎn)，連接，，連接，，，，，故，故，

對(duì)選項(xiàng)A：，若，又，則，重合，不成立，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：當(dāng)平面時(shí)，平面，則，又，，平面，故平面，平面，故，正確；對(duì)選項(xiàng)C：當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，最大值為，正確；對(duì)選項(xiàng)D：平面，平面，故，，故，故是三棱錐外接球球心，半徑為，故外接球表面積為，正確.故選：A.11．函數(shù)在內(nèi)的值域?yàn)?則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的值域得到即可解得.【詳解】解：函數(shù)，因?yàn)椋?∴，所以，解得,故的取值范圍為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12．12．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以函數(shù)在上遞增，所以，即，即，所以，即，綜上，.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，利用中間量來比較的大小是解決本題的關(guān)鍵.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______．（用數(shù)字作答）【答案】40【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為，求出，即可求出二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)和，因此，又，令，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：40.14．已知數(shù)列滿足，，若，，則的值為______.【答案】或【分析】由等比的定義結(jié)合其性質(zhì)得出的值.【詳解】因?yàn)?，，所以?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q.由，，得，，所以.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則.綜上，的值為或.故答案為：或15．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，連接交另一條漸近線于點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為__________.【答案】2【分析】根據(jù)題意即可得出，所以，再由可得為的中點(diǎn)，即，代入另一條漸近線可得，即可計(jì)算出離心率為.【詳解】如下圖所示：

易知，則過點(diǎn)作軸的垂線方程為，不妨設(shè)與漸近線交于點(diǎn)，則可得，又可得，為的中點(diǎn)，即；又在另一條漸近線上，即，解得；所以雙曲線的離心率為.故答案為：216．在三棱錐中，PA⊥平面ABC，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的體積為______．【答案】【分析】根據(jù)棱錐體積公式及基本不等式可得體積最大，然后利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)及球的體積公式即得.【詳解】由題可知三棱錐的體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐外接球的直徑為，則，因此，三棱錐外接球的體積為.故答案為：.三、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分17．已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等比數(shù)列定義證明即可；（2）使用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由第（1）問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.18．某體育頻道為了解某地電視觀眾對(duì)卡塔爾世界杯的收看情況，隨機(jī)抽取了該地200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下表是根據(jù)所有調(diào)查結(jié)果制作的觀眾日均收看世界杯時(shí)間（單位：時(shí)）的頻率分布表：日均收看世界杯時(shí)間（時(shí)）頻率0.10.180.220.250.20.05如果把日均收看世界杯的時(shí)間高于2.5小時(shí)的觀眾稱為“足球迷”．(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān)；非足球迷足球迷合計(jì)女70男40合計(jì)(2)將樣本的頻率分布當(dāng)作總體的概率分布，現(xiàn)從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取4人，記這4人中的“足球迷”人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）由頻率分布表求出“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率即可得到樣本中“足球迷”的人數(shù)，從而完善列聯(lián)表，計(jì)算出卡方，即可判斷；（2）由（1）從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取人，其為“足球迷”的概率，則，求出相應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為，則在抽取的人中，“足球迷”有人，所以列聯(lián)表如下：非足球迷足球迷合計(jì)女70男40合計(jì)所以，所以有的把握認(rèn)為該地的電視觀眾是否為“足球迷”與性別有關(guān).（2）由頻率分布表可知，“足球迷”對(duì)應(yīng)的頻率為，所以從該地的電視觀眾中隨機(jī)抽取人，其為“足球迷”的概率，所以，即的可能取值為、、、、，所以，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為所以.19．在圖1中，為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，O為AC邊的中點(diǎn)，E在BC邊上，且，沿AC將進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得．

(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等邊三角形三線合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可證明；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，由面面夾角的向量法計(jì)算即可；方法二：作，垂足為M，作，垂足為N，連接，首先由線面垂直得出，則二面角的平面角為，在中，求出即可．【詳解】（1）證明：連接OB，因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，，所以，因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，所以，在等邊三角形中，，因?yàn)镺為AC邊的中點(diǎn)，所以，則，又，所以，即，因?yàn)?，平面，平面，所以平面?/p>

（2）方法一：因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，為邊中點(diǎn)，所以，由（1）得平面，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．方法二：作，垂足為M，作，垂足為N，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又平面平面，所以二面角的平面角為，因?yàn)?，所以，所以，，在中，，，所以，所以，所以，即二面角的余弦值為?/p>

20．已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)，并且與圓相切．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)動(dòng)直線過點(diǎn)，且與軌跡分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求證：直線恒過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)動(dòng)圓與圓相切的切點(diǎn)為，得到，根據(jù)橢圓的定義即可判斷點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，再求出方程即可；（2）根據(jù)題意可知直線的斜率顯然不為0，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，，則，再聯(lián)立橢圓和直線的方程，消去整理得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得，，再利用，，三點(diǎn)共線得到，進(jìn)一步得到直線所過的定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓與圓相切的切點(diǎn)為，則，所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的方程為，則，，所以，所以橢圓的方程為，即點(diǎn)的軌跡的方程為．

（2）由題意可知直線的斜率顯然不為0，不妨設(shè)直線的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，消去整理得，所以，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以，即，所以，解得，故直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．

21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)a分類討論，即可得單調(diào)區(qū)間.(2)將零點(diǎn)代入原方程并作差，可得，從而得，,再換元，問題轉(zhuǎn)化為證明恒成立，即可證明.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減；令，得，則在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)