專題09 三角函數(shù)（解析版）

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題09三角函數(shù)三角函數(shù)作為高考必考題，高考題型一般作為小題出現(xiàn)，偶爾也會出現(xiàn)解答題。小題部分一般是函數(shù)解析式應(yīng)用，求參數(shù)取值范圍。考點01三角函數(shù)概念考點02三角函數(shù)恒等變形考點03三角函數(shù)圖像及性質(zhì)考點04三角函數(shù)綜合應(yīng)用考點01三角函數(shù)概念1．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷理科·第2題)若α為第四象限角，則 ()A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D解析：方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D．方法二：當(dāng)時，，選項B錯誤；當(dāng)時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力．2．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第9題)已知，且，則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或(舍去)，又．

故選：A．【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．(2021年高考全國甲卷理科·第9題)若，則 ()A． B． C． D．【答案】A解析：，，，，解得，，．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出．4．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第9題)已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ= ()A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D解析：，，令，則，整理得，解得，即．故選：D．【點睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡求值，屬于中檔題二填空1．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第14題)已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為_______．【答案】1解析：設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得．2．(2021高考北京·第14題)若點關(guān)于軸對稱點為，寫出的一個取值為___．【答案】(滿足即可)解析：與關(guān)于軸對稱，即關(guān)于軸對稱，，則，當(dāng)時，可取的一個值為．故答案為：(滿足即可)．3．(2023年北京卷·第13題)已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．【答案】①．②．解析：因為在上單調(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因為，則，即，則．不妨取，即滿足題意．故答案為：．4．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷·第13題)已知，則________；______．【答案】(1)．(2)．解析：，，5．(2014高考數(shù)學(xué)陜西理科·第13題)設(shè)，向量，若∥，則_______．【答案】解析:，,因為，所以，，即．考點02三角函數(shù)恒等變形1．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第8題)已知，則 ()．A． B． C． D．【答案】B解析：因為，而，因此，則，所以．故選：B2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷·第7題)已知銳角，，則 ()．A． B． C． D．【答案】D解析:因為，而為銳角，解得：．故選：D．3．(2021年高考浙江卷·第8題)已知是互不相同銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是 ()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C解析:法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于．取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選C．法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于．取，，，則，故三式中大于的個數(shù)的最大值為2，故選C．4．(2021年新高考Ⅰ卷·第6題)若，則 ()AB．C．D．【答案】C解析:將式子進行齊次化處理得：,故選C．5．(2022新高考全國II卷·第6題)若，則 ()A． B．CD．【答案】C解析：由已知得：,即：，即：所以,故選：C6．(2019·上?！さ?6題)已知.①存在在第一象限，角在第三象限；②存在在第二象限，角在第四象限； ①②均正確；B．①②均錯誤；C．①對，②錯；D．①錯，②對【答案】D【解析】(推薦)取特殊值檢驗法：例如：令和，求看是否存在.(考試中，若有解時則認為存在，取多組解時發(fā)現(xiàn)沒有解，則可認為不存在)，選D.(一般方法)設(shè)則；以為主元則可寫成：其判別式；設(shè)函數(shù)，并設(shè)，則即單調(diào)遞減；而，故的零點在上，設(shè)為；則當(dāng)時，，當(dāng)時，；故存在使得而對方程，根據(jù)韋達定理，存在時，而使得對應(yīng)的存在，而此時，故此時必為負數(shù)，即在Ⅱ或Ⅳ象限；也同樣存在，使得對應(yīng)的存在，此時，故此時必存在一個值為負數(shù)，另一個為正數(shù)，即在Ⅱ、Ⅳ象限或Ⅰ、Ⅲ象限均可，故選D．【點評】本題主要考三角恒等變換、不等式綜合.7．(2019·全國Ⅱ·理·第10題)已知，，則 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴.,∴，，∴，又，∴，，又，∴，故選B．【點評】利用二倍角公式得到正余弦關(guān)系，利用角范圍及正余弦平方和為關(guān)系得出答案．本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準(zhǔn)確性是關(guān)鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關(guān)鍵，切記不能憑感覺．二填空1．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第13題)若，則__________，_________．【答案】①．②．解析:，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．故答案為：；．2．(2020江蘇高考·第8題)已知，則的值是____．【答案】【解析】,故答案為：3．(2019·江蘇·第13題)已知，則的值是.【答案】【解析】法1：，解得，或.所以＝＝＝.法2：令，則，即，解得，所以.考點03三角函數(shù)圖像及性質(zhì)1．(2023年全國乙卷理科·第6題)已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則 ()A． B． C． D．【答案】D解析：因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D．2．(2023年全國甲卷理科·第10題)函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為 ()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C解析：因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為．故選：C．3．(2021年新高考Ⅰ卷·第4題)下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是 ()A． B． C． D．【答案】A解析:因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件,故選A．4．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第9題)已知曲線,,則下面結(jié)論正確的是 ()A．把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線B．把上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線D．把上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線【答案】D【解析】因為函數(shù)名不同,所以先將利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成與相同的函數(shù)名,則,則由上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍變?yōu)?再將曲線向左平移個單位得到,故選D．5．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第7題)設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可得：函數(shù)圖象過點，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為故選：C6．(2022高考北京卷·第5題)已知函數(shù)，則 ()A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C解析:因為．對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯．故選,C．7．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)·第12題)已知，則 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為,因為當(dāng)所以,即,所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A8．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第6題)為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點 ()A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D解析:因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選,D．9．(2022新高考全國I卷·第6題)記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則 ()A．1 B． C． D．3【答案】A解析:由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以．故選：A10．(2021高考北京·第7題)函數(shù)是 ()A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D解析：由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時，取最大值．故選：D．11．(2020天津高考·第8題)已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號是 ()A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【解析】因為，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確．故選：B．12．(2019·天津·理·第7題)已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則 ()A． B． C． D．2【答案】答案：C解析：是奇函數(shù)，，又因為，，因為的最小正周期為，且，所以，，，可得，，．13．(2019·全國Ⅱ·理·第9題)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A.【點評】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；=3\*GB3③函數(shù)，再利用降冪公式及三角函數(shù)公式法求三角函數(shù)的周期，例如，，所以周期.14．(2019·全國Ⅰ·理·第11題)關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)②在區(qū)間單調(diào)遞增③在有4個零點④的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是 ()A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】答案：C解析：作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，是偶函數(shù)，①正確，在區(qū)間單調(diào)遞減，②錯誤，在有3個零點，③錯誤；的最大值為2，④正確，故選C．二填空1．(2021年高考全國甲卷理科·第16題)已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．【答案】2解析：由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以．因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2．方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2．故答案為：2．【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點求解．2．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第16題)關(guān)于函數(shù)f(x)=有如下四個命題：①f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱．②f(x)的圖像關(guān)于原點對稱．③f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱．④f(x)的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③解析：對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng)時，，則，命題④錯誤．故答案為：②③．【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．3．(2020江蘇高考·第10題)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是____．【答案】【解析】,,當(dāng)時,故答案為：4．(2020北京高考·第14題)若函數(shù)的最大值為2，則常數(shù)的一個取值為________．【答案】(均可)【解析】因為，所以，解得，故可?。蚀鸢笧椋?均可)．5．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)·第15題)記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．【答案】3解析：因為，(，)所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：6．(2019·北京·理·第9題)函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是__________．【答案】．【解析】函數(shù)，周期為．考點04三角函數(shù)綜合應(yīng)用1．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)·第11題)設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，圖象如下所示：則，解得，即．故選：C．2．(2019·全國Ⅲ·理·第12題)設(shè)函數(shù)(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：①在有且僅有3個極大值點②在有且僅有2個極小值點③在單調(diào)遞增④的取值范圍是其中所有正確結(jié)論的編號是 ()A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】在有且僅有3個極大值點，分別對應(yīng)，故①正確．在有2個或3個極小值點，分別對應(yīng)和，故②不正確．因為當(dāng)時，，由在有且僅有5個零點．則，解得，故④正確．由，得，，所以在單調(diào)遞增，故③正確．綜上所述，本題選D．【點評】本題為三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度中等，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，考查數(shù)形結(jié)合思想．在本題中，極小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認真計算，易出錯．3．(2020北京高考·第10題)2020年3月14日是全球首個國際圓周率日(Day)．歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形(各邊均與圓相切的正邊形)的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值．按照阿爾·卡西的方法，的近似值的表達式是 ()．A． B．C． D．【答案】A【解析】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓周角為，每條邊長為，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，，則．故選：A．二填空1．(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題·第17題)設(shè)點P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】解析:以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因為，所以，故的取值范圍是．故答案為：．2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷·第15題)已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．【答案】解析：因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：．3．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷