專題2.4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（原卷版）

2.4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．知識(shí)點(diǎn)二實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)1．a(chǎn)ras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2．(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3．(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．知識(shí)點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．知識(shí)點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.思考為什么底數(shù)應(yīng)滿足a>0且a≠1?答案①當(dāng)a≤0時(shí)，ax可能無(wú)意義；②當(dāng)a>0時(shí)，x可以取任何實(shí)數(shù)；③當(dāng)a＝1時(shí)，ax＝1(x∈R)，無(wú)研究?jī)r(jià)值．因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1.知識(shí)點(diǎn)五兩類指數(shù)模型1．y＝kax(k>0)，當(dāng)時(shí)為指數(shù)增長(zhǎng)型函數(shù)模型．2．y＝kax(k>0)，當(dāng)時(shí)為指數(shù)衰減型函數(shù)模型．知識(shí)點(diǎn)六指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)如下表：a>10<a<1圖象定義域R值域性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)，即x＝0時(shí)，y＝函數(shù)值的變化當(dāng)x>0時(shí)，；當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，；當(dāng)x<0時(shí)，單調(diào)性在R上是在R上是典型例題分析考向一運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式化簡(jiǎn)求值例1計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))：(1)(2)(3)反思感悟一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，可將系數(shù)、同類字母歸在一起，分別計(jì)算；化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運(yùn)算，可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．考向二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算的綜合應(yīng)用例2(1)已知am＝4，an＝3，求eq\r(am－2n)的值；(2)已知＝3，求下列各式的值．①a＋a－1；②a2＋a－2；③反思感悟條件求值問(wèn)題的解法(1)求解此類問(wèn)題應(yīng)注意分析已知條件，通過(guò)將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等)，尋找已知式和待求式的關(guān)系，可考慮使用整體代換法．(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算問(wèn)題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式．考向三指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1(1)函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)(a>0，且a≠1)的圖象可能是()(2)函數(shù)f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)________．(3)已知函數(shù)y＝3x的圖象，怎樣變換得到y(tǒng)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＋1＋2的圖象？并畫出相應(yīng)圖象．反思感悟處理函數(shù)圖象問(wèn)題的策略(1)抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．考向四比較大小例4(1)比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.(2)設(shè)則a，b，c的大小關(guān)系為________．(用“>”連接)反思感悟比較冪值大小的3種類型及處理方法基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B．C． D．2．函數(shù)，則方程的解集是（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)g（x）=3x+t的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則t的取值范圍為A．t≤–1 B．t<–1C．t≤–3 D．t≥–34．已知，，，則A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是A． B．C． D．6．設(shè)函數(shù)，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題7．已知函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．若函數(shù)有最大值2，則D．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是8．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．是增函數(shù)C．不是周期函數(shù) D．的最小值為三、填空題9．若為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則___________．10．若指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．11．已知函數(shù)，，的圖象如下圖所示，則，，的大小關(guān)系為__________．（用“”號(hào)連接）12．化簡(jiǎn)的結(jié)果是________.四、解答題13．計(jì)算：(1)；(2)已知，求.14．計(jì)算：(1)；(2)15．已知二次函數(shù)在區(qū)間[2，3]上有最大值4，最小值1，(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)．若在時(shí)恒成立，求的取值范圍．16．已知函數(shù)的表達(dá)式為，其中、為實(shí)數(shù).(1)若不等式的解集是，求的值；(2)若方程有一個(gè)根為，且、為正數(shù)，求的最小值；(3)若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明你的結(jié)論.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有A．或 B． C． D．或2．已知函數(shù)，且對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．定義在上的函數(shù)滿足時(shí)，，則的值為A．-2 B．0 C．2 D．84．已知函數(shù)可以表示成一個(gè)偶函數(shù)和一個(gè)奇函數(shù)之差，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）.A． B． C． D．5．已知函數(shù)（，且），則是（

）A．偶函數(shù)，值域?yàn)?B．非奇非偶函數(shù)，值域?yàn)镃．奇函數(shù)，值域?yàn)?D．奇函數(shù)，值域?yàn)?．已知a、b、c是正實(shí)數(shù)，且，則a、b、c的大小關(guān)系不可能為（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．8．若函數(shù)同時(shí)滿足：對(duì)于定義域上的任意x，恒有；

對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”下列四個(gè)函數(shù)中：能被稱為“理想函數(shù)”的有（

）A． B． C． D．三、填空題9．函數(shù)的定義域?yàn)開________.10．已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.11．已知集合，且下列三個(gè)關(guān)系：有且只有一個(gè)正確，則函數(shù)的值域是_______．12．已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．四、解答題13．計(jì)算：．14．已知函數(shù)，，若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍15．一片森林原來(lái)面積為2014萬(wàn)畝，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐的面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)