專題2.6 冪函數(shù)（原卷版）

2.6冪函數(shù)思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞)值域RR奇偶性奇單調(diào)性增在[0，＋∞)，在(－∞，0]上在(0，＋∞)上，在(－∞，0)上知識(shí)點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)．2．當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象．3．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．典型例題分析考向一冪函數(shù)的概念例1(1)下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4(2)已知是冪函數(shù)，求m，n的值．反思感悟判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法(1)自變量x前的系數(shù)為1.(2)底數(shù)為自變量x.(3)指數(shù)為常數(shù)．考向二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．反思感悟(1)冪函數(shù)圖象的畫法①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．(2)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問(wèn)題的方法首先要考慮冪函數(shù)的概念，對(duì)于冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用．考向三比較冪值的大小例3比較下列各組數(shù)的大小．(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)與.反思感悟此類題在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)要注意冪函數(shù)的特點(diǎn)：指數(shù)不變．比較大小的問(wèn)題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量．考向四冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例4已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍．通過(guò)具體事例抽象出冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，并應(yīng)用單調(diào)性求解，所以，本典例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)．基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．和3．已知冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，則m等于（

）A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，24．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．5．下列比較大小中正確的是（

）A． B．C． D．6．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題7．關(guān)于冪函數(shù)是常數(shù)），結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．冪函數(shù)圖象有可能關(guān)于軸對(duì)稱D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過(guò)第四象限8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4） B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．在內(nèi)的值域?yàn)槿?、填空題9．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．10．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則__________.11．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為__________．12．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則的值為_________．四、解答題13．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象，并加以比較：（1），；

（2），.14．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)在的值域.15．已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍．16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中求的值；求使不等式成立的的取值范圍.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，則f（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)：讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.“雙11”就要到了，電商的優(yōu)惠活動(dòng)很多，某同學(xué)借助于已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動(dòng)進(jìn)行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價(jià)為元，商家準(zhǔn)備在節(jié)前連續(xù)2次對(duì)該商品進(jìn)行提價(jià)且每次提價(jià)，然后在“雙11”活動(dòng)期間連續(xù)2次對(duì)該商品進(jìn)行降價(jià)且每次降價(jià).該同學(xué)得到結(jié)論：最后該商品的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格元相比.A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．無(wú)法確定3．已知是冪函數(shù)，且、，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．4．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．5．定義在R上的偶函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則方程＝的所有實(shí)數(shù)根的和為()A．1 B．2 C．3 D．46．下列命題中，正確的有（

）個(gè)①對(duì)應(yīng)：是映射，也是函數(shù)；②若函數(shù)的定義域是（1,2），則函數(shù)的定義域?yàn)?；③冪函?shù)與圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，方程恒有兩個(gè)實(shí)根.A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題7．已知函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2），則（

）A．f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4） B．f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 D．f（x）在（0，+∞）內(nèi)的值域?yàn)椋?，+∞）8．設(shè)函數(shù)，則（

）A．存在實(shí)數(shù)，使的定義域?yàn)镽B．函數(shù)一定有最小值C．對(duì)任意的負(fù)實(shí)數(shù)，的值域?yàn)镈．若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則三、填空題9．已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),則a=_______10．實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值集合為__________.11．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為______．12．設(shè)函數(shù)，則使成立的的取值范圍是___________.四、解答題13．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)冪函數(shù)的解析式.14．已知冪函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)第三象限；(1)求的值；(2)求函數(shù)的值域.15．已知函數(shù).（1）若是