專題3.1 導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（解析版）

3.1導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)平均變化率：我們把比值eq\f(Δy,Δx)，即eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．(2)瞬時(shí)變化率：如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)無(wú)限趨近于一個(gè)eq\o(□,\s\up3(02))確定的值，即eq\f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線f(x)的割線P0P，其中P0(x0，f(x0))，P(x，f(x))，則割線P0P的斜率是k＝eq\f(f（x）－f（x0）,x－x0)，記Δx＝x－x0，當(dāng)點(diǎn)P沿著曲線y＝f(x)無(wú)限趨近于點(diǎn)P0時(shí)，即當(dāng)Δx→0時(shí)，k無(wú)限趨近于函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)．因此，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝3．導(dǎo)函數(shù)的概念當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝eq\o(□,\s\up3(01))f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)).y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝4．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝eq\o(□,\s\up3(01))α·xα－1f(x)＝sinxf′(x)＝eq\o(□,\s\up3(02))cosxf(x)＝cosxf′(x)＝eq\o(□,\s\up3(03))－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\o(□,\s\up3(04))axlnaf(x)＝exf′(x)＝eq\o(□,\s\up3(05))exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\o(□,\s\up3(06))eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\o(□,\s\up3(07))eq\f(1,x)5．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝eq\o(□,\s\up3(01))f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝eq\o(□,\s\up3(02))f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．6．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作eq\o(□,\s\up3(01))y＝f(g(x))．(2)一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為eq\o(□,\s\up3(02))y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．7．常用結(jié)論(1)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．(2)熟記以下結(jié)論：①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；②eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,f（x）)))′＝－eq\f(f′（x）,[f（x）]2)(f(x)≠0)；③[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).典型例題分析考向一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例1f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，則x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e答案B解析f′(x)＝2021＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2022＋lnx，故由f′(x0)＝2022，得2022＋lnx0＝2022，則lnx0＝0，解得x0＝1.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)常見(jiàn)形式及具體求導(dǎo)的六種方法連乘形式先展開(kāi)化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)分式形式先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)對(duì)數(shù)形式先化為和、差形式，再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元考向二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象例2已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為()答案A解析由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，速度先由快到慢，再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f′(x)先減后增，且恒大于等于0，故符合題意的只有A.故選A.知識(shí)點(diǎn)總結(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值k＝f′(x0).函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)附近的變化情況.考向三求切線方程例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．答案(e，1)解析設(shè)A(m，n)，則曲線y＝lnx在點(diǎn)A處的切線方程為y－n＝eq\f(1,m)(x－m).又切線過(guò)點(diǎn)(－e，－1)，所以有－1－n＝eq\f(1,m)(－e－m).再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(e，1).知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與切線有關(guān)的問(wèn)題的處理策略(1)已知切點(diǎn)A(x0，y0)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值k＝f′(x0).(2)已知斜率k，求切點(diǎn)A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)若已知曲線y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)，求曲線過(guò)點(diǎn)P的切線方程，則需分點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解．①當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).②當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)不是切點(diǎn)時(shí)，可分以下幾步：第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1，f(x1))；第二步：寫出曲線在點(diǎn)P′(x1，f(x1))處的切線方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，可得過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程.考向四由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的取值范圍例4已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．答案(－eq\r(3)，eq\r(3))解析因?yàn)閒(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)，所以f′(x)＝－3x2＋2ax.由題意得－3x2＋2ax＜1恒成立，即3x2－2ax＋1＞0恒成立，則Δ＝4a2－12＜0，解得－eq\r(3)＜a＜eq\r(3).知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的值或取值范圍的解題思路一般是利用切點(diǎn)P(x0，y0)求出切線方程再轉(zhuǎn)化研究．2．兩曲線存在公切線求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的解題思路由兩切線為同一直線得到兩個(gè)方程，然后消去x1和x2中的一個(gè)，轉(zhuǎn)化為方程在特定區(qū)間上有解的問(wèn)題，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的值域問(wèn)題，其中要關(guān)注自變量的取值范圍．基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．曲線在點(diǎn)處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求導(dǎo)，得到曲線在點(diǎn)處的斜率，寫出切線方程.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)處斜率為4，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即，故選：B2．十八世紀(jì)早期，英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：（其中）現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用已知公式，將公式兩邊分別求導(dǎo)，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可得到，求解即可.【詳解】因?yàn)椋ㄆ渲校?，且，所以?duì)兩邊分別求導(dǎo)可得：.令x=1可得：.又，則.故選：B3．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用先求出的值，設(shè)，根據(jù)已知條件求出，再利用奇函數(shù)，求出在上的解析式，同時(shí)可求出導(dǎo)函數(shù)；求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示出直線方程即可．【詳解】解：由題意得，，解得，當(dāng)，時(shí)，，設(shè)，則，，是定義在上的奇函數(shù)，，此時(shí)，，，把代入得，，則切點(diǎn)為，所求的切線方程為：，化簡(jiǎn)得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，奇函數(shù)性質(zhì)的利用，以及函數(shù)解析式，求函數(shù)在某范圍內(nèi)的解析式，一般先將自變量設(shè)在該范圍內(nèi)，再想法轉(zhuǎn)化到已知范圍上去，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)得=，由列式得a的方程求解即可【詳解】由題=,解得a=4故選D【點(diǎn)睛】本題考查切線方程，求導(dǎo)運(yùn)算，直線平行，是基礎(chǔ)題5．已知某質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)，位移S（m）與時(shí)間t（s）的關(guān)系為，則t＝1時(shí)．該質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)速度的大小為（

）A．1m/s B．m/s C．m/s D．2m/s【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】解：由題意得，所以t＝1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為m/s．故選：C．6．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若在上恒成立，則實(shí)數(shù)n的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，求得的值，再根據(jù)在上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的最值即可得出答案.【詳解】解：依題意可得，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，故，因?yàn)樵?，上恒成立，即，所以在，上恒成立，令，則函數(shù)在，上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在，上的最大值為，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C．二、多選題7．已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．對(duì)任意，均存在零點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，有兩條與軸平行的切線C．存在，有唯一零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，存在唯一極小值點(diǎn)，且【答案】BCD【分析】對(duì)于A，C，由已知得，，令，利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，即可對(duì)A，C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；對(duì)于B，，即可得到，由函數(shù)的圖像可知方程有兩個(gè)根，進(jìn)而可以判斷B選項(xiàng)；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由圖像可知此方程的根的情況，進(jìn)而可以判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，令，則，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，遞減，當(dāng)時(shí)，，遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值，即當(dāng)時(shí)，取到極小值，又，即，又因?yàn)樵谏?，遞減，故，當(dāng)時(shí)，取到極大值，即當(dāng)時(shí)，取到極大值，又，即，故，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)即，時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；而當(dāng)，即時(shí)，與的圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即存在在上有唯一零點(diǎn)，故C正確，對(duì)于B，，即，由函數(shù)的圖像可知方程有兩個(gè)根：，，，即斜率為0的切線共有兩條，其切點(diǎn)均不在x軸上，故切線均與x軸平行，故B正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由圖像可知此方程有唯一實(shí)根，因?yàn)椋?，，，，可知，故D正確．故選：BCD8．某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則（

）A．物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為0m/s B．物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/sC．瞬時(shí)速度為9m/s的時(shí)刻是在時(shí) D．物體從0到1的平均速度為2m/s【答案】BCD【分析】由平均速度與瞬時(shí)速度的定義求解即可【詳解】對(duì)于A：，即物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s，A錯(cuò)誤．對(duì)于B：，即物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s，B正確．對(duì)于C：設(shè)物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s，又，所以，物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為9m/s，C正確．對(duì)于D：，D正確．故選：BCD三、填空題9．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】12【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，可推出，將化為，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由函數(shù)可得，則，故函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，則由題意可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，即的最小值為12，故答案為：1210．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程.【詳解】，，則當(dāng)時(shí)，，所以切線方程為：，整理得：故答案為：11．函數(shù)在上可導(dǎo)，且．寫出滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)：______．【答案】，（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式分析，可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上可導(dǎo)，且．可以考查指數(shù)函數(shù)，如，其導(dǎo)數(shù)，滿足．故答案為：，（答案不唯一）．12．設(shè)，則______．【答案】2【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，代入e值即可.【詳解】∵，∴∴故答案為：2四、解答題13．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得曲線在處的切線方程，進(jìn)而求得該三角形的面積；（2）先分離參數(shù)，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)最小值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，又，則曲線在處的切線方程為，令解得令解得，此切線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，則該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為；（2）由在上恒成立，可得在上恒成立，令，則令，則在恒成立，則在單調(diào)遞增，又，，則存在，使得則當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，則時(shí)取得最小值令，，則在恒成立，則在單調(diào)遞增，由，，可得則，即，則則則實(shí)數(shù)a的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．14．設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，證明.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處的斜率，即可寫出切線方程.（2）由題意，令，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，只要，結(jié)論即得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，∴，又，則所求的切線方程為，∴整理：.（2）證明：當(dāng)時(shí)，.設(shè)，其定義域?yàn)?，則證明即可.∵，有，.又，函數(shù)在上單調(diào)遞增.∴有唯一的實(shí)根，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)的最小值為.∴.故得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：1、構(gòu)造函數(shù)：.2、問(wèn)題轉(zhuǎn)化：即在定義域內(nèi)恒成立即可.3、討論單調(diào)性：根據(jù)與0的大小關(guān)系確定區(qū)間單調(diào)性.4、求最值：由函數(shù)單調(diào)性確定最值，并確認(rèn)是否成立即可.15．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)（，且）；(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式再去求導(dǎo)即可解決；（2）依據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則去求導(dǎo)即可解解決；（3）依據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則去求導(dǎo)即可解解決；（4）依據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則去求導(dǎo)即可解決.(1)，則(2)(3)(4)16．已知曲線y＝x3－2x，求過(guò)點(diǎn)(1，－1)的該曲線的切線方程．【答案】x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，切線斜率為k＝3x－2，當(dāng)x0＝1時(shí)，斜率為1，解得切線方程．當(dāng)x0≠1時(shí)，過(guò)(1，－1)點(diǎn)的切線的斜率為＝x＋x0－1＝3x－2，解得x0＝－，斜率為－．【詳解】設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線的斜率為f′(x0)＝3x－2，故切線方程為y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，又知切線過(guò)點(diǎn)(1，－1)，代入上述方程，得－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－，故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y－＝－(x＋)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求在某點(diǎn)(x0，y0)切線方程利用即可.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)公式求解即可.【詳解】.故選：C.2．設(shè)函數(shù)，則等于A．0 B． C． D．【答案】B【詳解】解：求導(dǎo)得：，所以故選B3．若存在過(guò)點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點(diǎn)處的切線方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出的方程，可得出切線方程，再將切線方程與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，則曲線在點(diǎn)的切線斜率為，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由于直線過(guò)點(diǎn)，可得，解得或.當(dāng)時(shí)，切線為軸，對(duì)于函數(shù)，則，解得；當(dāng)時(shí)，切線方程為，聯(lián)立，整理得，，由題意可得，解得.綜上所述，或.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查過(guò)點(diǎn)與曲線相切的切線方程的求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4．設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為A． B． C． D．【答案】C【分析】先由函數(shù)奇偶性，求出，得到，進(jìn)而得到，對(duì)其求導(dǎo)，計(jì)算曲線在點(diǎn)處的切線斜率，從而可求出切線方程.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，故；所以，因此,所以，因此曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查求曲線在某點(diǎn)處的切線方程，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可，屬于?？碱}型.5．設(shè)，若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】,解得,故選B.6．已知函數(shù)的圖象與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn)，其中，則（）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為，結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于，，因?yàn)?，故，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值，屬于難題.二、多選題7．已知實(shí)數(shù)，，，滿足，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【分析】由，變形構(gòu)造函數(shù)，由，變形構(gòu)造函數(shù)，然后由表示圖像上一點(diǎn)與圖像上一點(diǎn)的距離導(dǎo)數(shù)的平方，求得切點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.【詳解】由，得，令，∴，由，得，令，則表示圖像上一點(diǎn)與圖像上一點(diǎn)的距離的平方，設(shè)圖像上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，由，得，∴切點(diǎn)為，∴切點(diǎn)到直線的距離的平方為，∴與的距離的平方的取值范圍為.故選：BCD.8．已知，在處取得最大值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值.【詳解】因?yàn)橛深}可知，所以，所以，，即B正確.令，因?yàn)?，所以是增函?shù)，且，又，所以，即，即C正確.故選：BC.三、填空題9．某物體的運(yùn)動(dòng)路程s(單位：)與時(shí)間t(單位：)的關(guān)系可用函數(shù)s(t)=t3-2表示，則此物體在t0時(shí)的瞬時(shí)速度為27，則t0=________.【答案】3【分析】利用導(dǎo)數(shù)由瞬時(shí)速度的定義直接求解即可【詳解】解：由，得，由題意得，解得.因?yàn)?，?故答案為：310．有一個(gè)長(zhǎng)度為5m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3m/s的速度離開(kāi)墻腳滑動(dòng)，求當(dāng)其下端離開(kāi)墻腳1.4m時(shí)，梯子上端下滑的速度為_(kāi)______.【答案】0.875##(m/s)【分析】建立梯子上端下滑距離的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得速度.【詳解】設(shè)下滑時(shí)間為，則下滑距離函數(shù).當(dāng)下端離開(kāi)墻角時(shí)，用的時(shí)間為.因?yàn)?，所以（?故答案為：0.875(m/s)11．已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的切線方程，由題意，建立方程組，可得答案.【詳解】設(shè)直線與曲線和分別相切于，兩點(diǎn)，分別求導(dǎo)，得，，故，整理可得．同理得，整理可得．因?yàn)橹本€為兩曲線的公切線，所以，解得，所以直線的方程為，令，則．則直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：.12．已知，直線與曲線相切，則______.【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)，先考慮時(shí)的情況，設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得出結(jié)論?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，，，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則得，化簡(jiǎn)得，解得，.又是定義在上的偶函數(shù)，所以.故答案為：四、解答題13．求出下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根據(jù)乘法的求導(dǎo)運(yùn)算法則，以及基礎(chǔ)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)果.（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：由外而內(nèi)，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)果.（3）先計(jì)算式子得：，根據(jù)加法求導(dǎo)法則與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)果.（4）根據(jù)除法求導(dǎo)法則以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得結(jié)果.（5）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：由內(nèi)而外，以及乘法的求導(dǎo)法則，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，則，即（2）由，則（3）由，則，（4）由，則，（5）由，則．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，熟記公式以及基礎(chǔ)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)注意內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)，求導(dǎo)口訣是：由內(nèi)而外，屬基礎(chǔ)題.14．試求過(guò)點(diǎn)P(1，－3)且與曲線y＝x2相切的直線的斜率以及切線方程．【答案】當(dāng)斜率為時(shí)切線方程為；斜率為時(shí)切線方程為.【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，從而得到相應(yīng)的切線方程，代入后可得關(guān)于的方程，解出后可得所求的斜率及相應(yīng)的