專題5.1 平面向量的概念及其線性運算（原卷版）

5.1平面向量的概念及其線性運算思維導(dǎo)圖知識點總結(jié)1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|.(2)零向量：的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量.(5)相等向量：長度且方向的向量.(6)相反向量：長度且方向的向量.2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝；(2)若a≠0，則當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；特別地，當(dāng)λ＝0時，0a＝0；當(dāng)a＝0時，λ0＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝；λ(a＋b)＝3.共線向量定理設(shè)a為非零向量，如果有一個實數(shù)λ，使，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.[常用結(jié)論]1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.典型例題分析考向一平面向量的有關(guān)概念設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.考向二向量的線性運算角度1平面向量加、減運算的幾何意義例2(2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點E為線段CD上靠近C的三等分點，點F為線段BC的中點，則eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))角度2向量的線性運算例3在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b角度3利用向量的線性運算求參數(shù)例4在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq\r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.感悟提升平面向量線性運算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.考向三共線向量定理的應(yīng)用例5(1)(2022·綿陽二診)已知平面向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則()A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線(2)(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)xeq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))，yeq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A.3 B.4C.5 D.6感悟提升利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.考向四等和(高)線定理(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數(shù)k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面內(nèi)一組基底eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.例給定兩個長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點C在以O(shè)為圓心的圓弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④；⑤A．1 B．2 C．3 D．42．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．2020cm長的有向線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且僅有兩個點A，B，使得是單位向量C．方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量D．一人從A點向東走500米到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（

）A． B． C． D．4．若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（

）A． B．C． D．6．已知空間任一點和不共線的三點、、，下列能得到、、、四點共面的是（

）A． B．C． D．以上都不對二、多選題7．若是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量，，則下列說法正確的是（

）A． B． C．與的夾角為 D．8．對于兩個向量和，下列命題中錯誤的是（

）A．若，滿足，且與同向，則 B．C． D．三、填空題9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_________.10．在中，、、分別是角A、、的對邊，，，，，則___________.11．在中，，且，則的最小值是___________.12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.四、解答題13．運用數(shù)量積知識證明下列幾何命題：(1)在中，，則；(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點，設(shè)，用向量表示.15．已知，且與的夾角為，又，，(1)求在方向上的投影；(2)求．16．平面內(nèi)給定三個向量，且．(1)求實數(shù)k關(guān)于n的表達式；(2)如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G的直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設(shè)向量，求的最小值．提升題型訓(xùn)練一、單選題1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（

）A． B． C．0 D．22．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（

）A．與 B．與 C．與 D．與3．下列命題正確的是A．B．C．D．4．對于非零向量，，定義．若，則（

）A． B． C． D．5．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是（

）A．[，＋∞) B．[，＋∞)C．[，6] D．[，6]6．已知，，則的最大值等于（

）A．4 B． C． D．5二、多選題7．有如下命題，其中真命題為（

）A．若冪函數(shù)的圖象過點，則B．函數(shù)（且）的圖象恒過定點C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．8．下列命題中假命題的是（

）A．向量與向量共線，則存在實數(shù)使B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則C．若，則D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是.三、填空題9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號）①，；②；；③，；④，．10．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為______.11．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_____.12．已知平行四邊形AB