專題9.4 拋物線的定義與性質(zhì)(解析版)

9.4拋物線的定義與性質(zhì)思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)內(nèi)容提要1.拋物線的定義：平面上到定點(diǎn)F的距離與到定直線l(不過定點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線，其中定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：定義標(biāo)準(zhǔn)方程()p>0焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱軸頂點(diǎn)圖形Aypxxx軸原點(diǎn)y?xxx軸x0yxy軸x0yxy軸3.拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離可用坐標(biāo)表示，例如開口向右的拋物線y2=2pxp>0中，若點(diǎn)A在拋物線上，且典型例題分析考向一拋物線的定義【例1】已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)P，過F且垂直于x解析：如圖，可以AB為底，PF為高來計(jì)算△PAB的面積，下面先求AB，將x=p2代入y2=2px解得：y=±p，所以AB=2p【變式】(2020.新課標(biāo)I卷)已知A為拋物線C：y2=2pxp>0上一點(diǎn)，點(diǎn)AA.2B.3C.6D.9答案：C解析：如圖，涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考慮拋物線的定義，設(shè)焦點(diǎn)為Fp2，0，準(zhǔn)線為l：x=?p2，作AH⊥l于H，交y軸于G考向二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】若拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為32，0，則拋物線C答案：y解析：先判斷開口，并設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)為32，0?開口向右，可設(shè)拋物線方程為y2=2pxp>0，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為p2[變式1]若拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程為y答案：2解析：先把所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即把平方項(xiàng)系數(shù)化1，并判斷開口，y=由拋物線的準(zhǔn)線方程是y=?18知拋物線開口向上，所以a>0故拋物線的準(zhǔn)線方程為y=?14a，與y=?1[變式2]頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線C經(jīng)過點(diǎn)A2，1，則C答案：y2=解析：拋物線過點(diǎn)A2若開口向右，可設(shè)拋物線C的方程為y2將點(diǎn)A2，1解得：p=14，所以C若開口向上，可設(shè)拋物線C的方程為x2=2mym>解得：m=2，所以C的方程為綜上所述，C的方程為y2=1考向三焦半徑和焦點(diǎn)弦【例3】已知拋物線E：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線E的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P答案：2解析：涉及PF，常用拋物線定義轉(zhuǎn)化為P到準(zhǔn)線的距離，如圖，作PQ⊥準(zhǔn)線于Q，因?yàn)椤螾AF=30°，所以∠所以PA=PQsin∠在△PAF中，PA和PF所對(duì)的角恰好分別是∠PFA和∠PAF在△PAF中，由正弦定理，PA所以sin∠PFA考向四直線與拋物線有關(guān)計(jì)算問題【例4】已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F1，0，準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A答案：x解析：涉及MF，想到用定義轉(zhuǎn)化為M到準(zhǔn)線的距離，如圖1，作MN⊥準(zhǔn)線于N，則MF=MN，所以MFMA=MNMA于是只需找cos∠MAF最小的情形，此時(shí)∠MAF最大，如圖2，當(dāng)AM為拋物線切線時(shí)，∠MAF最大，拋物線C的準(zhǔn)線為x=?1，所以A聯(lián)立x=my?1y2=4x消去x整理得：y2?4my+4=0，因?yàn)橹本€AM基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過拋物線上一點(diǎn)P作于點(diǎn)，則（

）A．5 B．4 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可知拋物線的準(zhǔn)線方程以及點(diǎn)，進(jìn)一步可得拋物線方程，然后求得，最后可得結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)，知準(zhǔn)線的方程為，焦點(diǎn)，于是有拋物線的方程為，因?yàn)?，所以，代入拋物線方程解得，從而，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查拋物線的定義以及對(duì)題意的理解，屬基礎(chǔ)題.2．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出是拋物線通徑的一半，再由勾股定理即可解決.【詳解】由題意可知，，所以.因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)，所以軸，所以故選：D.3．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由拋物線定義性質(zhì)：先求出p值，再將點(diǎn)M代入，求得，然后可以求的面積【詳解】根據(jù)拋物線的定義：，所以p=2;因此拋物線方程：y2=4x;由于點(diǎn)M在拋物線上，所以則；三角形的面積：；故答案：B【點(diǎn)睛】考查拋物線的定義性質(zhì)，求p4．設(shè)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若(為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，可知，從而可以確定出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得的值，進(jìn)而求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到結(jié)果.【詳解】由對(duì)稱性可知：點(diǎn)的坐標(biāo)為或，代入拋物線，解得，所以拋物線方程為：，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線與拋物線的交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)在拋物線上的條件，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題目.5．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)，，，都在拋物線上，則四點(diǎn)中與焦點(diǎn)距離最小的點(diǎn)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義，分別求出點(diǎn)M,N,P,Q到焦點(diǎn)F的距離即可．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為；則點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為，點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為，點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為；所以點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離最小.故選A【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)A在拋物線C上，且，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的最小值為（

）A．8 B． C． D．6【答案】B【分析】依題意得點(diǎn)坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則，求即為最小值．【詳解】如圖所示：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)，不妨設(shè)由題意知，直線l方程為，則，得所以，得由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，又所以的最小值為故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，將化為，利用三點(diǎn)共線是求得最小值的關(guān)鍵點(diǎn)．二、多選題7．對(duì)拋物線y＝4x2，下列描述正確的是（

）A．開口向上，準(zhǔn)線方程為y＝－B．開口向上，焦點(diǎn)為C．開口向右，焦點(diǎn)為(1,0)D．開口向右，準(zhǔn)線方程為y＝－1【答案】AB【分析】根據(jù)拋物線方程寫出焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程，并判斷開口方向即可.【詳解】由題設(shè)，拋物線可化為，∴開口向上，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.故選：AB8．已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分焦點(diǎn)在軸，軸上進(jìn)行討論，根據(jù)條件求出即可【詳解】由于焦點(diǎn)在直線上，則當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，令，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的方程為：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，令，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的方程為：，故選：BC.三、填空題9．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，若P在以線段為直徑的圓上，則該圓的方程為.【答案】【分析】根據(jù)條件求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可得答案.【詳解】解：由題意得：拋物線的焦點(diǎn)為，與x軸垂直點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即故點(diǎn)的坐標(biāo)為或又Q為x軸上一點(diǎn)，且為直徑，點(diǎn)在圓上故設(shè)圓心為，于是有，即所以圓的方程為故答案為：10．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若是的中點(diǎn)，則.【答案】【分析】過點(diǎn)，，分別向準(zhǔn)線引垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，，利用拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】如圖，過點(diǎn)，，分別向準(zhǔn)線引垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，，，由，得，，，故，又，所以，故.故答案為：11．若拋物線上一點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．【答案】．【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式求解．【詳解】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，，即，設(shè)，則，，由得．故答案為：．12．已知二次函數(shù)的圖像交軸于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與平行，且與拋物線相切于點(diǎn)，則．【答案】0【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和向量的轉(zhuǎn)化以及垂直關(guān)系的向量表示即可求解.【詳解】設(shè)，則中點(diǎn)，所以，又，則，故，所以，又直線與平行，且與拋物線相切于點(diǎn)，記，所以，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的橫坐標(biāo)相同，則連線與軸垂直，所以．故答案為：0.四、解答題13．已知拋物線的對(duì)稱軸為x軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)且開口向左，又拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求這個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法即可求解.【詳解】根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，因此．從而可知所求方程為．14．已知拋物線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，（1）求及的值．（2）過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】（1），；（2）或．【分析】（1）首先表示出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的定義求出，從而得到拋物線方程，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出；（2）設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、利用焦半徑公式得到方程，解得，即可求出直線方程.【詳解】解：（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，由題意知，，所以拋物線方程為，，.（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為：，代入拋物線方程，整理得，設(shè)點(diǎn)，，，，又，即，，，，所求直線方程為：或．15．分別根據(jù)下列條件，求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)拋物線的焦點(diǎn)到x軸的距離是2，而且焦點(diǎn)在y軸的正半軸上．(2)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)之一．【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）確定拋物線的焦點(diǎn)，求得p，即可得答案；（2）求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，分2種情況確定拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得答案.【詳解】（1）由已知可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，且，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）因?yàn)殡p曲線中，，又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以的焦點(diǎn)坐標(biāo)為或．如果拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，且，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；如果拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，且10，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．16．已知拋物線上橫坐標(biāo)為2的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率分別為，且，證明：直線l經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析，（2，0）.【解析】（1）由拋物線的定義可得：，即可求出，進(jìn)而可得拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為，，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，再利用，列方程即可求出，進(jìn)而可得直線經(jīng)過定點(diǎn)【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線的定義可得：，解得：，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）證明：設(shè)直線的方程為，，代入拋物線方程化簡(jiǎn)得，∴.，∵，解得：∴直線經(jīng)過定點(diǎn)，且定點(diǎn)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求拋物線方程的關(guān)鍵是利用拋物線的定義，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點(diǎn)的距離列出方程；第二問的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程和、兩點(diǎn)坐標(biāo)，直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得出，將用斜率公式表示出來即可求得，從而判斷出所過的點(diǎn)到.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．在下列四條拋物線中，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意可知，然后分析判斷即可【詳解】由題意知，即可滿足題意，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.故選：D．2．已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖形可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用特殊值法驗(yàn)證即可得到答案.【詳解】解：由題意，當(dāng)，時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，方程表示開口向左的拋物線，故排除選項(xiàng)C、D；當(dāng)，時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，方程表示開口向右的拋物線，故排除選項(xiàng)B，而選項(xiàng)A符合題意，故選：A.3．已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為，由三點(diǎn)共線時(shí)，最小求解.【詳解】如圖所示：由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，，故選：C4．設(shè)P為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.【詳解】解：如圖，

因?yàn)?，且關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點(diǎn)，所以.當(dāng)P在線段AF上時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：A5．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，拋物線內(nèi)部平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，一條光線沿射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，若，則拋物線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立其與拋物線方程求出，代入拋物線方程可求出，再運(yùn)用拋物線焦點(diǎn)弦公式可得，解方程即可.【詳解】如圖所示，，設(shè)，，直線AB的方程為，，則，解得：，將代入得，又因?yàn)?，即：，即：，又因?yàn)?，所以，即：，所以拋物線方程為.故選：B.6．已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．9【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義求得，進(jìn)而求得拋物線方程.設(shè)出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，拋物線的方程為．設(shè)直線的方程為，將此方程代入，整理得．設(shè)，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：B．二、多選題7．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，且，直線交于另一點(diǎn)，記坐標(biāo)原點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)條件先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再逐項(xiàng)分析求解.【詳解】依題意，拋物線C的準(zhǔn)線為，因?yàn)闉镃上一點(diǎn)，且，則，解得，故A正確；可得拋物線C:，焦點(diǎn)為，因?yàn)锳為C上一點(diǎn)，則4，所以，故B錯(cuò)誤；若，則線的方程為，代入，得，整理得，解得或，因?yàn)锽與A分別在x軸的兩側(cè)，可得；同理：若，可得；綜上所述：或，故C錯(cuò)誤；若，則，則；同理：若，可得；故D正確；故選：AD.8．已知圓：直線：，下列說法正確的是（

）A．直線上存在點(diǎn)，過向圓引兩切線，切點(diǎn)為A，B，使得B．直線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引割線與圓交于A，B，使得C．與圓內(nèi)切，與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是一條拋物線D．與圓外切，與直線相切的動(dòng)圓圓心的軌跡是一條拋物線【答案】ABCD【分析】AB選項(xiàng)考查直線與圓的位置關(guān)系，存在點(diǎn)P，故找到適合的一個(gè)點(diǎn)就可，CD選項(xiàng)因圓與圓內(nèi)切，外切，則找到圓心距與兩半徑之間的關(guān)系就可以得到點(diǎn)的軌跡.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，則,又因?yàn)闉閳A的兩條切線，所以，且，則，，所以，因此存在點(diǎn)在直線上，且滿足，故A正確．B選項(xiàng)，過點(diǎn)P作圓的割線，交圓與兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為，因?yàn)闉閳A的切線，所以，又，所以，則，，，所以存在點(diǎn)P，使得有解，故B正確．C選項(xiàng)，設(shè)動(dòng)圓圓心設(shè)為，半徑設(shè)為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓內(nèi)切，且與直線相切則如圖所示，，作的平行線與的距離為1，則到直線的距離為，故到定直線與到定點(diǎn)Ｏ的距離相等，故Ａ點(diǎn)的軌跡為拋物線．對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)動(dòng)圓圓心設(shè)為，半徑設(shè)為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓外切，且與直線相切，如圖所示：，，作的平行線與的距離為1，則到直線的距離為，則A到定點(diǎn)O的距離等于到定直線的距離．∴A點(diǎn)的軌跡為拋物線，D對(duì)，ABCD全對(duì)．故選：ABCD三、填空題9．拋物線的準(zhǔn)線方程為.【答案】/【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程即得．【詳解】由拋物線，拋物線的準(zhǔn)線方程為．故答案為：．10．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，P為y軸正半軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)A，P，B的縱坐標(biāo)成等比數(shù)列，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【分析】直線與拋物線聯(lián)立，算出縱坐標(biāo)之積即可獲解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立得，，即，∴，∵點(diǎn)A，P，B的縱坐標(biāo)成等比數(shù)列，∴，∴P的坐標(biāo)為.故答案為：11．設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為是上的一點(diǎn)且在第一象限，以為圓心，以為半徑的圓交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)，且三點(diǎn)共線，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為.【答案】6【分析】由條件推得，從而可得，結(jié)合圖形求得AD的長(zhǎng)，由拋物線焦半徑公式即可求得答案.【詳解】由題意，A在第一象限，三點(diǎn)共線為圓的直徑，則,由拋物線定義又對(duì)于拋物線：，有則,設(shè)拋物線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為E,則,在中，可得．設(shè)A的橫坐標(biāo)為則即,故答案為：612．過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于．【答案】4【分析】過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由為直角梯形的中位線及拋物線的定義求出，到軸的距離為所求．【詳解】拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由于的中點(diǎn)為，過分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為交縱軸于點(diǎn)，如圖所示：由拋物線的定義可知，則由為直角梯形的中位線知，，，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.四、解答題13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線C的方程；【答案】.【分析】由拋物線上的點(diǎn)求拋物線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€：經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，故拋物線的方程為.14．已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為.（1）求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，求的最小值.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；（2）.【分析】（1）表示點(diǎn)到直線的距離，表示為坐標(biāo)的函數(shù)，求函數(shù)的最小值