10.3 平面向量的應用（精講）（教師版）

10.3平面向量的應用（精講）考點一夾角【例1-1】（2023·江蘇）若向量，與的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當與共線時，此時，當時，，此時與方向相反，當與的夾角為鈍角時，則需且與不反向，所以且，解得，故選：A【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，又因為O為的外心，所以為直角三角形且，O為斜邊BC的中點，過作的垂線，垂足為，因為在上的投影向量為，所以在上的投影向量為，又因為，所以，因為，所以，即的取值范圍為．故選：D.

【一隅三反】1．（2023春·福建廈門）如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于M，則.

【答案】【解析】設，，則，，又，，所以.故答案為：2．（2023春·湖南懷化）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為【答案】/【解析】由已知得即為向量與的夾角.因為M、N分別是，邊上的中點，所以，.又因為，所以，,,所以.故答案為：3．（2023秋·山東棗莊）如圖，在中，已知，，，是的中點，，設與相交于點，則．

【答案】【解析】因為是的中點，所以，，因為，，，所以，所以.故答案為：.考點二最值【例2】（2023·全國·高三專題練習）如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當點在對角線上運動時，的最小值為（

）

A． B．-1C． D．2【答案】A【解析】由題意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以當時，有最小值為.故選：A【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個動點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為三角形中，，所以是邊長為2的等邊三角形，則以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標系如圖，

則，設，則，故，顯然當時，取得最小值，故選：B.2．（2022春·遼寧大連·）設平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意建立如圖所示平面直角坐標系，

不妨令，因為與的夾角為所以，所以，設，則，，由，所以，即，即，即點表示以為圓心，為半徑的圓，又所以；故選：A3．（2023秋·河北保定）已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．3【答案】D【解析】由，可得，設，可得，所以，因為，所以，以與交點為原點，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，設，且，則，，，當時，.故選：D.

考點三平面向量與四心【例3-1】（2023春·四川成都）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對于A，取BC的中點D，連接MD，AM，由，則，所以，所以A，M，D三點共線，且，設E，F分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B，由為的內心，則可設內切圓半徑為，則有，，，所以，即，故B正確；對于C，由為的外心，則可設的外接圓半徑為，又，，則有，，，所以，，，所以，故C錯誤；對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，由為的垂心，，則，又，則，，設，，則，，所以，即，所以，所以，故D正確；故選：ABD．【例3-2】（2023·全國·高三專題練習）（多選）點O在△所在的平面內，則以下說法正確的是（

）A．已知平面向量滿足，且，則△是等邊三角形B．若，則點O為△的重心C．若，則點O為△的外心；D．若，則點O為△的垂心【答案】ACD【解析】A：由知：是△的外心，若是的中點，則，又，即，故共線且，易知是△的內心，綜上△的內外心重合，即△是等邊三角形，正確.B：由且、是在、上的單位向量，即有，故是的平分線，同理是的平分線，所以O為△的內心，錯誤；C：若分別為的中點，則，又，即，故，同理，又，即，故，所以為△的外心，正確；D：由，知：，而，易知，同理可證、，即O為△的垂心，正確.故選：ACD【一隅三反】1．（2023春·黑龍江哈爾濱）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內的一點，，，的面積分別為、、，則有，設O是銳角內的一點，，，分別是的三個內角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】ABC【解析】對于A，設的中點為D，則，

即三點共線，則，設為的中點，同理可得，故O為的重心，A正確；對于B，若，結合，可知，B正確；對于C，，，，又O為（不為直角三角形）的垂心，設延長后交與G，則,同理，則，即，同理，

故，同理，又，，又O為（不為直角三角形）的垂心，則，故，即，同理，則，同理，故，又，可得，C正確；對于D，中，，，則，又，故，則，故，D錯誤，故選：ABC2．（2023春·湖北武漢）（多選）下列說法中正確的是（

）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是B．已知點在所在平面內，滿足，則是的重心C．已知點在所在平面內，滿足，則點的軌跡一定經過的內心D．若平面向量，共線，且，滿足，則為5或1【答案】ACD【解析】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且（當時與的夾角為），所以且，故A項正確；對于B，由知，故即，即所以點在邊上的高所在直線上，同理可知，在、邊的高所在直線上，則為垂心,故B項錯誤；對于C，因為點滿足，所以點在的內角平分線上，故C項正確；對于D，由知，，又平面向量，共線，故分兩種情形，一是夾角為時，求得的值為5，另一種情形夾角為時求得的值為1．故D項正確．故選：ACD．3．（2023春·廣東佛山）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內一點，、、的面積分別為、、，則.設是銳角內的一點，、、分別是的三個內角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．，，，則C．若為的內心，，則D．若為的重心，則【答案】ACD【解析】對于A選項，因為，由“奔馳定理”可知，A對；對于B選項，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B錯；對于C選項，若為的內心，，則，又（為內切圓半徑），所以，，故，C對；對于D選項，如下圖所示，因為為的重心，延長交于點，則為的中點，所以，，，且，，所以，，由“奔馳定理”可得，D對.故選：ACD.考點四平面向量與三角函數【例4-1】（2023·江蘇揚州·儀征中學?？寄M預測）在中，，，，則的取值范圍是．【答案】【解析】根據正弦定理得，即，，，，，所以，，即的取值范圍．故答案為：．【例4-2】（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學?？寄M預測）在中，角所對的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點為，求的長度.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，，，，.（2）是邊上的中線，，，.【一隅三反】1．（2023春·湖北）如圖，在中，，，，點，分別在邊，上，且，，與交于點．

(1)設，，試用，表示；(2)求的長．【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由余弦定理有：，即，即，解得（負值舍去）．．則在中，，所以，．即．，．即．（2）由（1）知，，在中，由余弦定理有：，所以．則在中，．2．（2023春·吉林長春）的內角的對邊分別為，且．(1)求A；(2)若，三角形面積，求邊上的中線的長．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得，又，則，化簡得．又，所以，則．因為，所以．（2）由得，法一：由得邊上的中線的長為．法二：由余弦定理得：，由，得，解得，，即邊上的中線的長為．3．（2023春·北京）在中，D為邊AC上一點，滿足，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由及正弦定理，得，所以，而，所以，由，得，所以，所以，所以.故選：C考點五平面向量證明線段垂直【例5】（2023·云南）在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，(且)，D為AB的中點，E為的重心，F為的外心．(1)求重心E的坐標；(2)用向量法證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【一隅三反】1．（2023春·陜西西安）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點為中點，設與相交于點.

(1)請用、表示向量；(2)設和的夾角為，若，且，求證：.【答案】(1).(2)證明見解析.【解析】（1）.（2），，.2．（2023春·上海浦東新）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點在邊上，且，設與相交于點．記，．

(1)請用，表示向量；(2)若，設，的夾角為，若，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1），由題意得，所以．（2）由題意，．∵，，∴．∴，∴．3．（2022秋·云南·高三校聯考階段練習）在平面直角坐標系中，已知點，直線，點到直線的距離為，若點滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為零的直線與交于兩點，設，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）設點，則，由得：，兩邊平方整理得，則所求曲線的方程為.（2）設直線的方程為，聯立方程，消去并整理得，因為直線與交于兩點，故，此時，所以，而.又，所以所以考點六向量在物理上的應用【例6】（2023春·廣東清遠）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【答案】B【解析】如圖所示：

，，，設合速度為，小貨船航行速度為，水流的速度為，則有所以有，故選：B.【一隅三反】1（2022·全國·高三專題練習）加強體育鍛煉是青少年生活學習中非常重要的組成部分.某學生做引體向上運動，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學生的體重（單位：）約為（參考數據：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．60【答案】D【解析】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學生體重為（kg）.故選：D．2．（2022·全國·高三專題練習）物體受到一個水平向右的力及與它成60°角的另一個力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（

）A．3N B． C．2N D．【答案】C【解析】由題得,所以,