10.3 平面向量的應(yīng)用（精講）（教師版）

10.3平面向量的應(yīng)用（精講）考點(diǎn)一夾角【例1-1】（2023·江蘇）若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】當(dāng)與共線時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與方向相反，當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則需且與不反向，所以且，解得，故選：A【例1-2】．（2023秋·福建莆田）已知O為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，其中，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，又因?yàn)镺為的外心，所以為直角三角形且，O為斜邊BC的中點(diǎn)，過(guò)作的垂線，垂足為，因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以在上的投影向量為，又因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即的取值范圍為．故選：D.

【一隅三反】1．（2023春·福建廈門）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于M，則.

【答案】【解析】設(shè)，，則，，又，，所以.故答案為：2．（2023春·湖南懷化）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值為【答案】/【解析】由已知得即為向量與的夾角.因?yàn)镸、N分別是，邊上的中點(diǎn)，所以，.又因?yàn)?，所以?,所以.故答案為：3．（2023秋·山東棗莊）如圖，在中，已知，，，是的中點(diǎn)，，設(shè)與相交于點(diǎn)，則．

【答案】【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，，所以，所?故答案為：.考點(diǎn)二最值【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，為等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為（

）

A． B．-1C． D．2【答案】A【解析】由題意，，，，所以，所以，即平分，由可得，所以當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：A【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)槿切沃?，，所以是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，

則，設(shè)，則，故，顯然當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：B.2．（2022春·遼寧大連·）設(shè)平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

不妨令，因?yàn)榕c的夾角為所以，所以，設(shè)，則，，由，所以，即，即，即點(diǎn)表示以為圓心，為半徑的圓，又所以；故選：A3．（2023秋·河北保定）已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C． D．3【答案】D【解析】由，可得，設(shè)，可得，所以，因?yàn)?，所以，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，且，則，，，當(dāng)時(shí)，.故選：D.

考點(diǎn)三平面向量與四心【例3-1】（2023春·四川成都）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來(lái)，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，由，則，所以，所以A，M，D三點(diǎn)共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對(duì)于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，即，故B正確；對(duì)于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，，則有，，，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，延長(zhǎng)AM交BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，，則，，所以，即，所以，所以，故D正確；故選：ABD．【例3-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）點(diǎn)O在△所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的是（

）A．已知平面向量滿足，且，則△是等邊三角形B．若，則點(diǎn)O為△的重心C．若，則點(diǎn)O為△的外心；D．若，則點(diǎn)O為△的垂心【答案】ACD【解析】A：由知：是△的外心，若是的中點(diǎn)，則，又，即，故共線且，易知是△的內(nèi)心，綜上△的內(nèi)外心重合，即△是等邊三角形，正確.B：由且、是在、上的單位向量，即有，故是的平分線，同理是的平分線，所以O(shè)為△的內(nèi)心，錯(cuò)誤；C：若分別為的中點(diǎn)，則，又，即，故，同理，又，即，故，所以為△的外心，正確；D：由，知：，而，易知，同理可證、，即O為△的垂心，正確.故選：ACD【一隅三反】1．（2023春·黑龍江哈爾濱）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A，設(shè)的中點(diǎn)為D，則，

即三點(diǎn)共線，則，設(shè)為的中點(diǎn)，同理可得，故O為的重心，A正確；對(duì)于B，若，結(jié)合，可知，B正確；對(duì)于C，，，，又O為（不為直角三角形）的垂心，設(shè)延長(zhǎng)后交與G，則,同理，則，即，同理，

故，同理，又，，又O為（不為直角三角形）的垂心，則，故，即，同理，則，同理，故，又，可得，C正確；對(duì)于D，中，，，則，又，故，則，故，D錯(cuò)誤，故選：ABC2．（2023春·湖北武漢）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿足，則是的重心C．已知點(diǎn)在所在平面內(nèi)，滿足，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的內(nèi)心D．若平面向量，共線，且，滿足，則為5或1【答案】ACD【解析】對(duì)于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且（當(dāng)時(shí)與的夾角為），所以且，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，由知，故即，即所以點(diǎn)在邊上的高所在直線上，同理可知，在、邊的高所在直線上，則為垂心,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在的內(nèi)角平分線上，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D，由知，，又平面向量，共線，故分兩種情形，一是夾角為時(shí)，求得的值為5，另一種情形夾角為時(shí)求得的值為1．故D項(xiàng)正確．故選：ACD．3．（2023春·廣東佛山）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．，，，則C．若為的內(nèi)心，，則D．若為的重心，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由“奔馳定理”可知，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），所以，，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示，因?yàn)闉榈闹匦?，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，，且，，所以，，由“奔馳定理”可得，D對(duì).故選：ACD.考點(diǎn)四平面向量與三角函數(shù)【例4-1】（2023·江蘇揚(yáng)州·儀征中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，，則的取值范圍是．【答案】【解析】根據(jù)正弦定理得，即，，，，，所以，，即的取值范圍．故答案為：．【例4-2】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，.(1)求角的值；(2)若，邊上的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng)度.【答案】(1)(2)【解析】（1），，，，，，.（2）是邊上的中線，，，.【一隅三反】1．（2023春·湖北）如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上，且，，與交于點(diǎn)．

(1)設(shè)，，試用，表示；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由余弦定理有：，即，即，解得（負(fù)值舍去）．．則在中，，所以，．即．，．即．（2）由（1）知，，在中，由余弦定理有：，所以．則在中，．2．（2023春·吉林長(zhǎng)春）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求A；(2)若，三角形面積，求邊上的中線的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理得，又，則，化簡(jiǎn)得．又，所以，則．因?yàn)?，所以．?）由得，法一：由得邊上的中線的長(zhǎng)為．法二：由余弦定理得：，由，得，解得，，即邊上的中線的長(zhǎng)為．3．（2023春·北京）在中，D為邊AC上一點(diǎn)，滿足，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在中，由及正弦定理，得，所以，而，所以，由，得，所以，所以，所以.故選：C考點(diǎn)五平面向量證明線段垂直【例5】（2023·云南）在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，(且)，D為AB的中點(diǎn)，E為的重心，F(xiàn)為的外心．(1)求重心E的坐標(biāo)；(2)用向量法證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）如圖，∵，，，∴，則由重心坐標(biāo)公式，得；（2）．易知的外心F在y軸上，可設(shè)為．由，得，∴，即．∴．∴，∴，即．【一隅三反】1．（2023春·陜西西安）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn).

(1)請(qǐng)用、表示向量；(2)設(shè)和的夾角為，若，且，求證：.【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析.【解析】（1）.（2），，.2．（2023春·上海浦東新）已知在中，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，設(shè)與相交于點(diǎn)．記，．

(1)請(qǐng)用，表示向量；(2)若，設(shè)，的夾角為，若，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1），由題意得，所以．（2）由題意，．∵，，∴．∴，∴．3．（2022秋·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為，若點(diǎn)滿足，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則，由得：，兩邊平方整理得，則所求曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去并整理得，因?yàn)橹本€與交于兩點(diǎn)，故，此時(shí)，所以，而.又，所以所以考點(diǎn)六向量在物理上的應(yīng)用【例6】（2023春·廣東清遠(yuǎn)）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求此時(shí)小貨船航行速度為多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h【答案】B【解析】如圖所示：

，，，設(shè)合速度為，小貨船航行速度為，水流的速度為，則有所以有，故選：B.【一隅三反】1（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）（

）A． B．61 C．75 D．60【答案】D【解析】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：D．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）物體受到一個(gè)水平向右的力及與它成60°角的另一個(gè)力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（

）A．3N B． C．2N D．【答案】C【解析】由題得,所以,