6.3 利用遞推公式求通項(xiàng)（精練）（教師版）

6.3利用遞推公式求通項(xiàng)（精練）1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列滿足,,則（

）A． B．C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列【答案】BC【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，，，則當(dāng)時(shí)，，，……，，所有的式子相乘得，即，當(dāng)時(shí)也符合通項(xiàng)，故，數(shù)列為遞增數(shù)列，故選：BC3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，若，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意知，故，故，故答案為：4．（2023廣東）已知數(shù)列滿足．求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】數(shù)列滿足，，，且，所以當(dāng)n=1時(shí)成立.所以.5．（2023·福建）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】由可得：，因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以，則，……，，將這個(gè)式子相乘，則，又因?yàn)?，所?．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，．求的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】由及，得，所以，當(dāng)時(shí)，有．當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以．（2023·廣東汕頭·金山中學(xué)?？既＃┤鐖D的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，則第30層小球的個(gè)數(shù)為【答案】465【解析】設(shè)三角垛第層小球的個(gè)數(shù)為.由題意可知，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，有.所以，，，，，，兩邊同時(shí)相加可得，，所以，.當(dāng)時(shí)，，滿足題意.所以，.所以，.8．（2023春·廣東佛山）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的通項(xiàng)公式為【答案】【解析】由得，兩式相減得:,即，即，即，.所以，，，…，.相乘得：……，即，因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，所以.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則【答案】107【解析】∵能被3除余2且被7除余2，∴既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，即是21的倍數(shù)，且，∴，即，∴．10．（2023春·黑龍江雙鴨山·）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)之差成等差數(shù)列．現(xiàn)有一高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為_(kāi)______.【答案】4951【解析】設(shè)該高階等差數(shù)列為，由其前7項(xiàng)分別為1，2，4，7，11，16，22，得，，，，，，所以，即.即該數(shù)列的第100項(xiàng)為.故答案為：.11．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，且滿足，（，），則的通項(xiàng)公式__________．【答案】【解析】，則，設(shè)，，則，，而也符合該式，故，故.故答案為：12．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】6【解析】由得，當(dāng)時(shí)，，，…，，將這個(gè)式子累加得，則，時(shí)也適合，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：6.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.【答案】【解析】等式兩側(cè)同除，得，所以，令，所以，則，，，……，，累加得：，而，故，即，整理得.故答案為：14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則______【答案】【解析】由已知可得，.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，有，，兩式相減得，，所以.所以有，，，，，兩邊同時(shí)相乘可得，，整理可得，.當(dāng)時(shí)，，滿足該式，，滿足該式，故.故答案為：.15．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的通項(xiàng)公式是______．【答案】【解析】，，且，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．，．時(shí)，，且不滿足上式，所以．故答案為：.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.【答案】【解析】∵，等式兩側(cè)同除，可得，令，則，∴，又，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴，即.故答案為：.17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.【答案】【解析】因?yàn)?，設(shè)，即，根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等則，解得，故，所以是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即.故答案為：18．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，．則數(shù)列的通項(xiàng)公式________；數(shù)列的通項(xiàng)公式________．【答案】【解析】因?yàn)棰?，所以有，②，得，即，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為；由可得，上述式子相加可得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足所以數(shù)列的通項(xiàng)公式故答案為：；19．（2023春·河南平頂山）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______，的最大值為_(kāi)_______.【答案】/0.4【解析】空①,由可得，當(dāng)時(shí)，，則，有，有，即.可得數(shù)列成等比數(shù)列，有，可得.空②,記，有，可得，當(dāng)時(shí)，，有.故答案為：；.20．（2023·江蘇）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.求的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】對(duì)任意的，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，符合，所以，.21．（2023春·廣東佛山·高二順德市李兆基中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】【解析】因?yàn)椋@然，所以，當(dāng)時(shí)，由累乘法得，則，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，也符合，所以.22．（2023春·云南臨滄·高二云南省鳳慶縣第一中學(xué)校考期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.求=【答案】【解析】由，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得：，①所以有，②①-②可得，所以為等差數(shù)列，因?yàn)椋怨顬?，所?23．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，求的通項(xiàng)公式．【答案】．【解析】，，則，則，，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．于是，．24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求.【答案】【解析】因?yàn)樗詢蛇呁瑫r(shí)加上得：，所以，，當(dāng)時(shí)，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.于是25．（2023春·江西南昌）已知數(shù)列中，，且.(1)求，并證明是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；(2)【解析】（1）由，，得，，，∴，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；（2）由（1）知.74．（2021秋·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校?shù)列的前項(xiàng)和為，已知.(1)時(shí)，寫(xiě)出與之間的遞推關(guān)系；(2)求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，②，得：，即，在①中：令得，也符合上式，所以.（2）因?yàn)?，則，且所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故.1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江）（多選）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為C．為遞增數(shù)列D．的前n項(xiàng)和【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所?3，所以，又因?yàn)椋詳?shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；，即，故B正確；因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；，則，故D正確.故選：ABD.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________.【答案】【解析】∵，則當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，等式兩側(cè)同除，可得，則，令，則，，利用疊加法可得：，，，疊加得，即，所以，即，可得；綜上所述：.故答案為：.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，求【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所?4．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，；(2).【解析】（1）由已知可得．故，.（2）由題得當(dāng)時(shí),，上面兩式相減得整理得：，于是當(dāng)時(shí)相減得由（1），此關(guān)系式對(duì)于也成立所以．5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，，，求{an}的通項(xiàng).【答案】【解析】∵……①∴……②②-①得：……③∵{a}的特征函數(shù)為：，由x=1.設(shè)，……④將④代入③得：，∴，∵，∴，∴.6．（2023·安徽）已知數(shù)列中，，求的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】化為，即，，可得或，（所得兩組數(shù)值代入上式等價(jià)），不妨令，，所以是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，累加法可得：，又符合上式，故.7．（2023·黑龍江）已知數(shù)列的遞推公式，且首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【解析】令．先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)，解得．將不動(dòng)點(diǎn)代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．∴的通項(xiàng)公式為．將代入，得．∴．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，求=【答案】=．+．【解析】法1：已知，所以，則是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，故，則，得，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，，，，，累加可得，，所以