高考總復習理數(shù)（北師大版）課時作業(yè)提升54拋物線及其性質(zhì)

eq\a\vs4\al(課時作業(yè)提升五十四)拋物線及其性質(zhì)A組夯實基礎(chǔ)1．(2018·巴彥淖爾一模)平面上的動點M到點F(0,3)的距離等于M到直線y＝－3的距離，則動點M滿足的方程為()A．y2＝6x B．y2＝12xC．x2＝6y D．x2＝12y解析：選D由拋物線的定義知，過點F(0,3)且和直線y＋3＝0相切的動圓圓心的軌跡是以點F(0,3)為焦點，直線y＝－3為準線的拋物線，故其方程為x2＝12y.2．(2018·青海一模)若直線AB與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，且AB⊥x軸，|AB|＝4eq\r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為()A．1 B．2C．3 D．5解析：選A由|AB|＝4eq\r(2)及AB⊥x軸，不妨設(shè)點A的縱坐標為2eq\r(2)，代入y2＝4x得點A的橫坐標為2，從而直線AB的方程為x＝2.又y2＝4x的焦點為(1,0)，所以拋物線的焦點到直線AB的距離為2－1＝1，故選A．3．(2018·開封模擬)已知點A(2,0)，拋物線C：x2＝4y的焦點為F，直線FA與拋物線在第一象限交于點M，與其準線l相交于點N，則|FM|∶|MN|＝()A．2∶eq\r(5) B．3∶eq\r(5)C．1∶eq\r(5) D．1∶2eq\r(5)解析：選C如圖所示，過M作MH⊥l，垂足為H，由拋物線的定義知|MF|＝|MH|，所以|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA，則eq\f(|MH|,|HN|)＝eq\f(|OF|,|OA|)＝eq\f(1,2)，則|MH|∶|MN|＝1∶eq\r(5)，即|FM|∶|MN|＝1∶eq\r(5).4．(2018·天水一模)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，若|AF|＝3，則△AOB的面積為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：選C由題意得xA＞xB＞0.設(shè)∠AFx＝θ(0＜θ＜π)，|BF|＝m，則由點A到準線l：x＝－1的距離為3，得3＝2＋3cosθ?cosθ＝eq\f(1,3).又m＝2＋mcos(π－θ)，得m＝eq\f(2,1＋cosθ)＝eq\f(3,2)，所以△AOB的面積S＝eq\f(1,2)×|OF|×|AB|×sinθ＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(3,2)))×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3\r(2),2).5．(2018·汕頭一模)過拋物線C：x2＝2y的焦點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，若拋物線C在點B處的切線的斜率為1，則|AF|＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A由x2＝2y，得y＝eq\f(1,2)x2，求導得y′＝x，又∵B處切線斜率為1，∴x＝1，∴點B的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，又∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).∴AB⊥y軸，∴|AF|＝|BF|＝1.6．(2018·贛州一模)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線C上一點，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的2倍，且△OAF的面積為2(O為坐標原點)，則p的值為________.解析：設(shè)A(a，b)，則b2＝2pa，eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×|b|＝2，a＋eq\f(p,2)＝2a，得p＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)7．(2018·揭陽一模)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，－2)到焦點的距離為4，則m的值為________.解析：由題意可設(shè)拋物線的標準方程為x2＝－2py(p＞0)．由定義知P到準線的距離為4，故eq\f(p,2)＋2＝4，得p＝4，所以拋物線的方程為x2＝－8y，代入點P的坐標得m＝±4.答案：±48．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過該拋物線的焦點F且與x軸不垂直的直線AB交拋物線于A，B兩點，過點A，B分別作AM，BN垂直于拋物線的準線，分別交準線于M，N兩點，則∠MFN必為________.(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)解析：由拋物線的定義可知|BN|＝|BF|，△BNF為等腰三角形，∠BNF＝∠BFN.因為BN∥OF，所以∠BNF＝∠NFO，從而∠BFN＝∠NFO，所以NF平分∠OFB．同理MF平分∠OFA，又∠BFO＋∠AFO＝180°，所以∠NFO＋∠MFO＝90°，即∠MFN為直角．答案：直角9．(2018·洛陽模擬)已知拋物線C：x2＝2py(y＞0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點．(1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線C的方程；(2)設(shè)M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N，證明：直線AN與拋物線相切．(1)解：∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p.∴S△ABD＝p2＝1.∴p＝1.∴拋物線C的方程為x2＝2y.(2)證明：設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋eq\f(p,2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(p,2)，,x2＝2py，))得x2－2kpx－p2＝0.①設(shè)方程①的兩根分別為x1，x2，則x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2.設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x\o\al(2,1),2p)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x\o\al(2,2),2p))).則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，k2p＋\f(p,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kp，－\f(p,2))).∴kAN＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－kp)＝eq\f(\f(x\o\al(2,1),2p)＋\f(p,2),x1－\f(x1＋x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)＋p2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(\f(x\o\al(2,1)－x1x2,2p),\f(x1－x2,2))＝eq\f(x1,p).又∵x2＝2py，∴y′＝eq\f(x,p).∴拋物線x2＝2py在點A處的切線斜率k＝eq\f(x1,p).∴直線AN與拋物線相切．B組能力提升1．已知點P為拋物線y2＝2px(p＞0)上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過P且與x軸平行，若同時與直線l、直線PF、x軸相切且位于直線PF左側(cè)的圓與x軸切于點Q，則()A．Q點位于原點的左側(cè) B．Q點與原點重合C．Q點位于原點的右側(cè) D．以上均有可能解析：選B如圖，設(shè)拋物線的準線為l′，l′與x軸交于點B，直線l與l′交于點A，圓心為C，由題意可知，點C到PA，PF和x軸的距離相等，則點C是∠APF的平分線和∠BFP的平分線的交點，因為∠APF＋∠BFP＝180°，所以∠PCF＝90°，由拋物線的定義知|PA|＝|PF|，所以C為AF的中點．又O為BF的中點，所以O(shè)C∥AB，又AB垂直于x軸，所以圓心C在y軸上，所以圓C與x軸相切于點O，即O，Q重合．2．已知點F為拋物線y2＝－8x的焦點，O為坐標原點，點P是拋物線準線上一動點，點A在拋物線上，且|AF|＝4，則|PA|＋|PO|的最小值為()A．6 B．2＋4eq\r(2)C．2eq\r(13) D．4eq\r(3)解析：選C由已知可得拋物線y2＝－8x的焦點為F(－2，0)，準線方程為x＝2.設(shè)點A的坐標為(x0，y0)，根據(jù)拋物線的定義可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O點關(guān)于準線的對稱點為O′(4,0)，則當點P為AO′與準線x＝2的交點時，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值為|AO′|＝2eq\r(13).3．拋物線y2＝2px的焦點為F，點A、B、C在此拋物線上，點A坐標為(1,2)．若點F恰為△ABC的重心，則直線BC的方程為()A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0解析：選C∵點A在拋物線上，∴4＝2p，p＝2，拋物線方程為y2＝4x，焦點F(1,0)，設(shè)點B(x1，y1)，點C(x2，y2)，則有yeq\o\al(2,1)＝4x1，①yeq\o\al(2,2)＝4x2，②由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，得kBC＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2).又∵eq\f(y1＋y2＋2,3)＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2.又∵eq\f(x1＋x2＋1,3)＝1，∴x1＋x2＝2，∴BC中點為(1，－1)，則BC所在直線方程為y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.4．已知點A(1,0)，B(b,0)，若拋物線y2＝4x上存在點C，使△ABC為等邊三角形，則b＝________.解析：不妨設(shè)C(x0，y0)(y0＞0)，因為△ABC為等邊三角形，所以由拋物線的定義有eq\f(y0,x0＋1)＝eq\f(\r(3),2)，解得x0＝3或x0＝eq\f(1,3)，當點B在點A的右邊時，b＝3×2－1＝5.當B點在A點的左邊時，b＝2×eq\f(1,3)－1＝－eq\f(1,3).答案：5或－eq\f(1,3)5．如圖，在底面半徑和高均為2的圓錐中，AB，CD是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，E是母線PB的中點，已知過CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為________.解析：如圖1所示，過點E作EH⊥AB，垂足為H，因為E是母線PB的中點，圓錐的底面半徑和高均為2，所以|OH|＝|EH|＝1，|OE|＝eq\r(2).在平面CED內(nèi)建立平面直角坐標系，如圖2所示，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，F(xiàn)為拋物線的焦點，C(eq\r(2)，2)，所以4＝2eq\r(2)p，p＝eq\r(2)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，即F為OE的中點，所以該拋物線的焦點到圓錐頂點P的距離為eq\r(|PE|2＋|EF|2)＝eq\r(\r(2)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)6．(2018·石家莊檢測)在平面直角坐標系中，已知點F(1,0)，直線l：x＝－1，動直線l′垂直l于點H，線段HF的垂直平分線交l′于點P，設(shè)點P的軌跡為C．(1)求曲線C的方程；(2)以曲線C上的點Q(x0，y0)(y0＞0)為切點作曲線C的切線l1，設(shè)l1分別與x，y軸交于A，B兩點，且l1恰與以定點M(a,0)(a＞2)為圓心的圓相切，當圓M的面積最小時，求△ABF與△QAM面積的比．解：(1)由題意得|PH|＝|PF|，∴點P到直線l：x＝－1的距離等于它到定點F(1,0)的距離，∴點P的軌跡是以l為準線，F(xiàn)為焦點的拋物線，∴點P的軌跡C的方程為y2＝4x.(2)由y2＝4x，當y＞0時，y＝2eq\r(x)，∴y′＝eq\f(1,\r(x))，∴以Q為切點的切線l1的斜率為k＝eq\f(1,\r(x0))，∴以Q(x0，y0)(y0＞0)為切點的切線方程為y－y0＝eq\f(1,\r(x0))(x－x0)，即y－y0＝eq\f(2,y0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y\o\al(2,0),4)))，整理得4x－2y0y＋yeq\o\al(2,0)＝0.令x＝0，則y＝eq\f(y0,2)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y0,2)))，令y＝0，則x＝－eq\f(y\o\al(2,0),4)＝－x0，∴A(－x0,0)，點M(a,0)到切線l1的距離d＝eq\f(y\o\al(2,0)＋4a,2\r(y\o\al(2,0)＋4))＝eq\f(\r(y\o\al(2,0)＋4),2)＋eq\f(2a－2,\r(y\o\al(2,0)＋4))≥2eq\r(a－1)(當且僅當y0＝2eq\r(a－2)時，取等號)．∴當點Q的坐標為(a－2,2eq\r(a－2))時，滿足題意的圓M的面積最?。藭rA(2－a,0)，B(0，eq\r(a－2))．S△ABF＝eq\f(1,2)|1－(2－a)||eq\r(a－2)|＝eq\f(1,2)(a－1)eq\r(a－2)，S△AQM＝eq\f(1,2)|a－(2－a)||2eq\r(a－2)|＝2(a－1)eq\r(a－2).∴eq\f(S△ABF,S△AQM)＝eq\f(1,4)，∴△ABF與△QAM面積之比為1∶4.7．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F與橢圓C′：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1的一個焦點重合，點A(x0,2)在拋物線上，過焦點F的直線交拋物線于M，N兩點．(1)求拋物線C的方程以及|AF|的值；(2)記拋物線C的準線與x軸交于點B，若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(FN,\s\up6(→))，|BM|2＋|BN|2＝40，求實數(shù)λ的值．解：(1)在橢圓C′：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1中，a2＝6，b2＝5，故c2＝a2－b2＝1.依題意，在拋物線C中，F(xiàn)(1,0)，故eq\f(p,2)＝1，則2p＝4，故拋物線C的方程為y2＝4x.將點A(x0,2)代入y2＝4x，解得x0＝1，故|AF|＝1＋eq\f(p,2)＝2.(2)由(1)知F(1,0)，設(shè)過點F的直線方程為x＝my＋1.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1，))消去x，得y2－4my－4＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y