4.2.1 等差數(shù)列的概念（精講）（解析版）人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽百分百】4.2.1等差數(shù)列的概念（精講）考點一等差數(shù)列的通項公式及相關(guān)計算【例1-1】（2023秋·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，，，求；(2)已知，，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由，，，則．（2）由，，，則，解得．（3）由，，則．（4）由，，則．【例1-2】（2023·上海）已知等差數(shù)列中，且，為方程的兩個實根．(1)求此數(shù)列的通項公式；(2)268是不是此數(shù)列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由．【答案】(1)；(2)268是此數(shù)列的第136項.【解析】（1）由已知條件得，，又∵為等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，∴，，解得，．∴．∴數(shù)列的通項公式為．（2）令，解得．∴268是此數(shù)列的第136項．【一隅三反】1．（2023秋·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求d；(3)已知，，，求n.(4)已知，，求，；(5)已知，，求；(6)已知，，求．(7)已知，，求首項與公差；(8)已知，，求通項．【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)28；(6)17.(7)，；(8).【解析】（1）由知：；（2）因為，，所以，所以，解得；（3）由知：，解得.（4）在等差數(shù)列中，由，得：，解得，所以.（5）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：，解得，所以.（6）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得：，解得，所以.（7）由已知可得，解得.（8）由已知可得，解得.所以，.2（2023云南）在等差數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)判斷96是不是數(shù)列中的項？【答案】(1)；(2)不是.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，而，于是得，，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）知，，由得：不是正整數(shù)，所以96不是數(shù)列中的項.3．（2023春·高二課時練習(xí)）已知為等差數(shù)列，且以，，若在每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，求：(1)原數(shù)列的第12項是新數(shù)列的第幾項？(2)新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第幾項？【答案】(1)第45項(2)第8項．【解析】（1）設(shè)新數(shù)列為，則，，根據(jù)，有，即，所以，所以．又因為，所以．即原數(shù)列的第n項為新數(shù)列的第項．當(dāng)時，，故原數(shù)列的第12項為新數(shù)列的第45項．（2）由(1)，令，得，即新數(shù)列的第29項是原數(shù)列的第8項．考點二等差數(shù)列的判定與證明【例2-1】（2023·全國·高二課堂例題）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：(1)1，1，1，1，1；(2)4，7，10，13，16；(3)－3，－2，－1，1，2，3．【答案】(1)是等差數(shù)列(2)是等差數(shù)列(3)不是等差數(shù)列【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，所給數(shù)列是首項為1，公差為0的等差數(shù)列．（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，所給數(shù)列是首項為4，公差為3的等差數(shù)列．（3）因為，所以這個數(shù)列不是等差數(shù)列．【例2-2】（2023秋·江蘇南通）已知數(shù)列中，，.(1)求的值，并猜想數(shù)列的通項公式；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【解析】（1）在數(shù)列中，，，令，得；令，得；令，得；所以，猜想數(shù)列的通項公式為.（2）由，，得，，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的是等差數(shù)列.【一隅三反】1．（2023·全國·高二課堂例題）判斷以下數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，指出公差；如果不是，說明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)．【答案】(1)是，公差為6(2)不是等差數(shù)列(3)是，公差為【解析】（1）因為，所以是等差數(shù)列，且公差為6．（2）因為，所以，因此不是等差數(shù)列．（3）因為，所以是等差數(shù)列，且公差為2.（2023·黑龍江）在數(shù)列中，是1與的等差中項，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】證明見解析【解析】證明：因為是1與的等差中項，所以，即，所以，所以，即，是常數(shù)，故數(shù)列是等差數(shù)列.3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】的兩邊同時除以，得2，∴數(shù)列{}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列4．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）設(shè)數(shù)列的前n項和，滿足，且(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列(2)求的通項公式【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（1）數(shù)列的前n項和，，又，顯然，因此，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差為2.（2）由（1）知，，則當(dāng)時，，顯然不滿足上式，所以的通項公式是.考點三等差中項及其應(yīng)用【例3-1】（2023春·安徽蕪湖）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A．9 B．0 C．-3 D．-6【答案】B【解析】數(shù)列是等差數(shù)列又故選：B.【例3-2】（2023春·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（

）A．36 B．48 C．60 D．72【答案】C【解析】由題設(shè)，，則，所以.故選：C【例3-3】（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，所以，故選：A【例3-4】（2023北京）在等差數(shù)列中，若，則.【答案】24【解析】因為在等差數(shù)列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：24【一隅三反】1．（2023春·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）在等差數(shù)列中，若，則（

）A． B．1 C．0 D．【答案】D【解析】在等差數(shù)列中，，解得，所以．故選：D2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則②-①可得：，所以.故選：A.3．（2023春·廣西崇左·高二?？计谥校┤鬭是4+m，4-m的等差中項，則a=【答案】4【解析】a是4+m，4-m的等差中項，，解得，故答案為：4.4．（2023春·西藏日喀則·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，則.【答案】24【解析】因為在等差數(shù)列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：245．（2023·高二課時練習(xí)）若正項等差數(shù)列滿足：，則的最小值為.【答案】【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即，解得：，即的最小值為.故答案為：.6．（2023春·江西上饒·高二校聯(lián)考期中）已知，成等差數(shù)列，則.【答案】2【解析】由對數(shù)定義有：，由成等差數(shù)列，所以，即，化簡得：，解得：或，由，所以：，故答案為：2.考點四等差數(shù)列的設(shè)法與求解【例4-1】（2023高二課時練習(xí)）已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個數(shù).【答案】4，6，8【解析】設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，由已知得由①得a＝6，代入②得d＝±2.∵該數(shù)列是遞增數(shù)列，∴d>0，即d＝2，∴這三個數(shù)依次為4,6,8.【例4-2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知4個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為20，中間兩項之積為24，求這個4個數(shù)．【答案】2，4，6，8或8，6，4，2．【解析】設(shè)此四個數(shù)分別為：，，，．由題意可得：，．解得，．∴這四數(shù)為2，4，6，8或8，6，4，2．【一隅三反】1．（2023湖北）（多選）已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項的積為40，則這四個數(shù)依次為（

）A．-2，4，10，16 B．16，10，4，-2C．2，5，8，11 D．11，8，5，2【答案】AB【解析】設(shè)這四個數(shù)分別為，，，，則解得或所以這四個數(shù)依次為-2，4，10，16或16，10，4，-2.故選：AB2．（2023湖北）已知5個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為5,平方和為165,求這5個數(shù).【答案】見解析【解析】根據(jù)題意設(shè)這5個數(shù)分別為,則,即,解得.當(dāng)時,這5個數(shù)分別為；當(dāng)時,這5個數(shù)分別為.3．（2023·河南）已知五個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為5，平方和為，求這5個數(shù)．【答案】－，，1，，或，，1，，－【解析】設(shè)第三個數(shù)為a，公差為d，則這5個數(shù)分別為，由已知有，整理得，所以.當(dāng)時,這5個數(shù)分別為－，，1，，；當(dāng)時,這5個數(shù)分別為，，1，，－.綜上，這5個數(shù)分別是－，，1，，或，，1，，－.考點五等差數(shù)列的實際應(yīng)用【例5-1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二萍鄉(xiāng)市安源中學(xué)?？计谀┠呈谐鲎廛嚨挠媰r標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km（不含4km）計費10元.如果某人乘坐該市的出租車去往16km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付的車費為（

）A．23.2 B．24.4 C．25.6 D．26.8【答案】C【解析】根據(jù)題意，當(dāng)出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，車費增加1.2元，可知車費構(gòu)成等差數(shù)列，記表示走4km的車費，公差，那么，當(dāng)出租車行駛至16km時，，所以.故選：C.【例5-2】（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中學(xué)校聯(lián)考期中）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，上面記載了一道有名的“孫子問題”，后來南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《算書九章·大衍求一術(shù)》中將此問題系統(tǒng)解決．“大衍求一術(shù)”屬于現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題，后傳入西方，被稱為“中國剩余定理”．現(xiàn)有一道同余式組問題：將正整數(shù)中，被4除余3且被6除余1的數(shù)，按由小到大的順序排成一列數(shù)，則（

）A．115 B．117 C．119 D．121【答案】A【解析】被4除余3的正整數(shù)為，被6除余1的正整數(shù)為，令，得，因為，所以，所以，所以.故選：A.【一隅三反】1．（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長為9.5尺，春分當(dāng)日日影長為6尺，則小滿當(dāng)日日影長為（

）A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】設(shè)十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，公差為，則由題意可得，，，則小滿當(dāng)日日影長．故選：D．2．（2023春·河南駐馬店·高二河南省駐馬店高級中學(xué)?？计谥校爸袊Ｓ喽ɡ怼庇址Q“孫子定理”，1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于同余的問題．現(xiàn)有這樣一個問題：將正整數(shù)中能被3除余1且被2除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．55 B．49 C．43 D．37【答案】A【解析】正整數(shù)中既能被3除余1且被2除余1的數(shù)，即被6除余1，那么，有.故選：A3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）2022北京冬奧會開幕式將我國二十四節(jié)氣融入倒計時，盡顯中國人之浪漫．倒計時依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降