4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練選擇性必修二

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（精講）考點(diǎn)一等差數(shù)列基本量的計(jì)算【例1-1】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)已知，，求；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)44(2)(3)370(4)-42【解析】(1)等差數(shù)列中，，，，解得，．．等差數(shù)列中，，，，即得，解得．(3)等差數(shù)列中，，，，解得，，．(4)等差數(shù)列中，，，，，成等差數(shù)列，，即，解得．【例1-2】（2022年1月廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題）古代《九章算術(shù)》記載：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等，問(wèn)各得幾何”其意思為：“今有人分錢(qián)，各人所得錢(qián)數(shù)依次成等差數(shù)列，其中前人所得之和與后人所得之和相等，問(wèn)各得多少錢(qián)”.由此可知第一人分得的錢(qián)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)第分到錢(qián)，設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得，所以，，解得.故選：A.【一隅三反】1．（2022·江蘇南京）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則解得：故選：B2．（2021·江蘇省震澤中學(xué)高二月考）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下比中層多729塊，則第三層（即下層）共有扇面形石板（）A．1539塊 B．1863塊C．3402塊 D．3339塊【答案】C【解析】由題意可知，從上到下，從內(nèi)到外，每環(huán)的扇面形石板數(shù)構(gòu)成以9為首項(xiàng)，9為公差的等差數(shù)列，設(shè)為，設(shè)上層有環(huán)，則上層扇面形石板總數(shù)為，中層扇面形石板總數(shù)為，下層扇面形石板總數(shù)為，三層扇面形石板總數(shù)為，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以構(gòu)成等差數(shù)列，公差為，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?29塊，所以，解得：，所以.故選：C3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知，求；(4)已知，，求．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)在等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得.(2)在等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得.(3)解：在等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，解得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.(4)解：在等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為且，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)，可得構(gòu)成等差數(shù)列，因?yàn)椋礃?gòu)成的等差數(shù)列，所以，解得.考點(diǎn)二等差數(shù)列前n項(xiàng)和與中項(xiàng)性質(zhì)【例2-1】（2022·遼寧）若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列,故故選:C【例2-2】（2022·北京·北理工附中高二期中）已知兩等差數(shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】?jī)傻炔顢?shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，滿足，所以.故選：B【例2-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由．故選：D【例2-4】（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B．C． D．3【答案】B【解析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式滿足形式，設(shè)，則，故.故選：B.【一隅三反】1．（2022·湖北·武漢情智學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B2．（2022·海南華僑中學(xué)高二期末）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，.故選：C.3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A4．（2022·安徽滁州·高二期中）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，由，得，故選：B5．（2022·浙江·杭州市富陽(yáng)區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，故，且，故，故選：D考點(diǎn)三等差數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)【例3-1】（2022·遼寧·沈陽(yáng)二中高二期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)知：，，成等差數(shù)列，，即，解得：.故選：C.【例3-2】2022·甘肅·寧縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A．120 B．60 C．160 D．80【答案】A【解析】為等差數(shù)列，，，，解得..故選：A.【例3-3】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，成等差數(shù)列，設(shè)，則，即成等差數(shù)列，故，解得，故即，故，，故故選：D【例3-4】（2022·全國(guó)·高二）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒【例3-5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，則，，中間項(xiàng)為，故，，故選：B.【一隅三反】1．（2022·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第五師教育局高二階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）.A．39 B．29 C．28 D．24【答案】A【解析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，，也構(gòu)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列，所以，即，解得.故選：A.2．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)之和為，奇數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的公差為（

）．A．B．C．D．【答案】D【解析】，，，.故選：D．3.（2022·海南）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)的和為40，偶數(shù)項(xiàng)的和為32，則（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列有奇數(shù)項(xiàng)，．公差為．奇數(shù)項(xiàng)和為40，偶數(shù)項(xiàng)和為32，，，，，，即等差數(shù)列共項(xiàng)，且故選：．4.（2022·遼寧·高二期中）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，解得：，又，，.故選：B.5．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則________．【答案】【解析】等差數(shù)列中，記首項(xiàng)為，公差為，利用等差數(shù)列求和公式，可得，又所以是首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列，由，，得，所以的公差為所以所以故答案為：考點(diǎn)四等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【例4-1】（2022·河南信陽(yáng)）數(shù)列{an}中，如果an=49﹣2n，則Sn取最大值時(shí)，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】B【解析】由題意，可知數(shù)列為等差數(shù)列，則，則當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B.【例4-2】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，若，則公差d的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知可得，即，解得，故選：A．【例4-3】（2022·北京八中高二期中）等差數(shù)列中，，，則當(dāng)前項(xiàng)和最小時(shí)，（

）A．7 B．8 C．6或7 D．7或8【答案】C【解析】設(shè)公差為，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，所以?dāng)或時(shí)，取得最小值.故選：C【例4-4】（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)n的值為（）A．4041 B．4039 C．2021 D．2020【答案】B【解析】∵等差數(shù)列存在最大值且，∴首項(xiàng)，公差，即等差數(shù)列為遞減數(shù)列，∴，∵，所以∴，.所以滿足的最大正整數(shù)的值為.故選：B．【一隅三反】1．（2022·福建省福州第一中學(xué)高二期末）已知{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，則當(dāng){an}的前n項(xiàng)和Sn，取得最大值時(shí)，n=（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】∵{an}是以10為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，∴，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，取得最大值.故選：B.2．（2022·安徽省臨泉第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則使得前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為（

）A．2022 B．2021 C．1012 D．1011【答案】D【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為，，，所以，所以，，所以，，即等差數(shù)列的公差，所以，時(shí)，；時(shí)，，所以，使得前項(xiàng)和取得最大值時(shí)的值為.故選：D3．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，已知，且，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴，∴，，∴取得最大值.故選：C.4．（2022·山西·康杰中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由條件可知，當(dāng)時(shí)，，，解得：，因?yàn)?，所以，得，，解得：或（舍?故選：D5．（2022·吉林）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，給出下列五個(gè)命題：①公差②③④數(shù)列中的最大項(xiàng)為⑤其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】等差數(shù)列中，最大，且，，，①正確；，，，，，，最大，④不正確；，，③⑤正確，②錯(cuò)誤.故選：B．考點(diǎn)五含有絕對(duì)值等差數(shù)列的求和【例5】（2022·陜西·西安市鄠邑區(qū)第二中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的值.【答案】(1)(2).【解析】（1）設(shè)首項(xiàng)為公差為，由解得，所以.（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng),時(shí)，當(dāng),時(shí)，故.【一隅三反】1．（2022·海南）等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意得：，解得，；（2），當(dāng)時(shí)，，；時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即，綜上所述：.2．（2022·四川省）已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為d，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1