江西省萍鄉(xiāng)市萍鄉(xiāng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2025屆高三上學(xué)期起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試卷-A4答案卷尾

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學(xué)年第一學(xué)期萍實(shí)高三年級起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試卷時間：120分鐘總分：150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）（2024·全國·高考真題）1．已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2（2024·青海海西·模擬預(yù)測）2．已知向量，若，則（

）A．1 B． C． D．（22-23高二下·重慶江津·期末）3．

則（

）A．41 B．40 C． D．（23-24高三下·湖南婁底·階段練習(xí)）4．在中，角的對邊分別為，若，則的面積為（

）A． B． C． D．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）5．如圖，圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入3個相同的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球，則一個鐵球的表面積為（

）A． B． C． D．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的射線分別與橢圓和圓相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C．2 D．（2023·福建福州·二模）7．已知函數(shù)的定義域均為，是奇函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C． D．（2024·江蘇宿遷·三模）8．若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）9．在某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，高三班的男生數(shù)學(xué)平均分為120，方差為2，女生數(shù)學(xué)平均分為112，方差為1，已知該班級男女生人數(shù)分別為25、15，則下列說法正確的有（

）A．該班級此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的均分為118B．該班級此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的方差為16.625C．利用分層抽樣的方法從該班級抽取8人，則應(yīng)抽取5名男生D．從該班級隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動，則至少有1名女生的概率為（2024·重慶九龍坡·三模）10．在棱長為2的正方體中，P，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線平面B．直線與平面所成角的正切值為C．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球表面積為9π（2024·重慶九龍坡·三模）11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，，且對任意，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）（2024·上?！と＃?2．二項(xiàng)式的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是．（2024高三·全國·專題練習(xí)）13．若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是．（2024·重慶九龍坡·三模）14．古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，在直線上的射影為，則的最小值為.四、解答題（共5小題，77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（23-24高三下·湖南婁底·階段練習(xí)）15．農(nóng)民專業(yè)合作社是在農(nóng)村家庭承包經(jīng)營的基礎(chǔ)上，同類農(nóng)產(chǎn)品的生產(chǎn)經(jīng)營者或同類農(nóng)業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營服務(wù)的提供者?利用者?自愿聯(lián)合?民主管理的互助性經(jīng)濟(jì)組織，國家給予農(nóng)民專業(yè)合作社在生產(chǎn)?經(jīng)營?銷售等方面全方位的優(yōu)惠政策.某地大型農(nóng)民專業(yè)合作社不斷探索優(yōu)化生產(chǎn)?經(jīng)營?銷售等方面的科學(xué)方案，引入人工智能管理系統(tǒng)，合作社的市場營銷研究人員調(diào)研該合作社的10個主體項(xiàng)目，統(tǒng)計分析人工智能管理的實(shí)際經(jīng)濟(jì)收益（單位：萬元），與市場預(yù)測的經(jīng)濟(jì)收益（單位：萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：（注：10個主體項(xiàng)目號分別記為）項(xiàng)目號12345678910實(shí)際收益5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23預(yù)測收益5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并計算得(1)求該合作預(yù)測收益與實(shí)際收益的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并判斷它們是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；(2)規(guī)定：數(shù)組滿足為“類營銷誤差”；滿足為“類營銷誤差”；滿足為“類營銷誤差”.為進(jìn)一步研究，該合作社的市場營銷研究人員從“類營銷誤差”，“類營銷誤差”中隨機(jī)抽取3組數(shù)據(jù)與“類營銷誤差”數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，記抽到“類營銷誤差”的數(shù)據(jù)的組數(shù)為隨機(jī)變量.求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：相關(guān)系數(shù).（2024·四川成都·模擬預(yù)測）16．如圖所示，斜三棱柱的各棱長均為，側(cè)棱與底面所成角為，且側(cè)面底面．

(1)證明：點(diǎn)在平面上的射影為的中點(diǎn)；(2)求二面角的正切值．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）17．已知橢圓：，焦點(diǎn)為，，橢圓上有一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過作軸的垂線交橢圓于另一個點(diǎn)，求證直線過定點(diǎn).（2024·江西南昌·三模）18．給定數(shù)列，若對任意m，且，是中的項(xiàng)，則稱為“H數(shù)列”．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)若，試判斷數(shù)列是否為“H數(shù)列”，并說明理由；(2)設(shè)既是等差數(shù)列又是“H數(shù)列”，且，，，求公差d的所有可能值；(3)設(shè)是等差數(shù)列，且對任意，是中的項(xiàng)，求證：是“H數(shù)列”．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）19．若y=fx為上的非負(fù)圖像連續(xù)的函數(shù)，點(diǎn)將區(qū)間劃分為個長度為的小區(qū)間．記，若無窮和的極限存在，并稱其為區(qū)域的精確面積，記為．(1)若有導(dǎo)函數(shù)，則．求由直線以及軸所圍成封閉圖形面積；(2)若區(qū)間被等分為個小區(qū)間，請推證：．并由此計算無窮和極限的值；(3)求有限項(xiàng)和式的整數(shù)部分．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】由復(fù)數(shù)模的計算公式直接計算即可.【詳解】若，則.故選：C.2．D【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由，得，所以．故選：D．3．A【分析】利用賦值法得到，兩式相加即可求解.【詳解】在中依次令，，可得，所以.故選：A.4．C【分析】先由正弦定理推出，，再將等式中的邊替換并與聯(lián)立，求出即可算出面積.【詳解】由和正弦定理可得，，解得,因，又，則，故.由和勾股定理得，①，因②，由①②聯(lián)立解得：，故的面積為.故選：C.5．B【分析】設(shè)鐵球的半徑為，根據(jù)體積關(guān)系列出方程，求得，結(jié)合球的表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)鐵球的半徑為，有，解得，則一個鐵球的表面積為．故選：B．6．C【分析】根據(jù)題意，得到，由橢圓的定義得到，則，得到為的中點(diǎn)，結(jié)合中位線定理，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，則，又由圓可化為，可得圓心，半徑，則，根據(jù)橢圓的定義，可得，則，因?yàn)椋傻脼榈闹悬c(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得.故選：C.7．D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)已知條件推出是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)，f?x=fx，故A錯誤；C選項(xiàng)，推出f1=0，f3=0，f2+f4=0，從而求出；B選項(xiàng)，由f1【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，則有，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，即有fx+2=?fx與即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù).因?yàn)榍襢x+2=?fx.所以所以為偶函數(shù).故A錯誤，C選項(xiàng)，由是奇函數(shù)，則f1=0因?yàn)閒x+2=?fx又，是周期為4的周期函數(shù)，故，所以，所以C錯誤；B選項(xiàng)，由f1=0得，故不是奇函數(shù)，所以B錯誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?所以，所以，所以D選項(xiàng)正確故選：D【點(diǎn)睛】設(shè)函數(shù)y=fx，x∈R，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為4a．8．C【分析】過點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出球半徑計算作答.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，因是正三角形，則，又是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，則，，，平面，則平面，又平面，所以，而，則，顯然，由球的對稱性和正四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切，分別于，，有四邊形為正方形，設(shè)，又，，則球的半徑，又四棱錐的表面積為，由，解得，，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是過點(diǎn)作出四棱錐的內(nèi)切球截面大圓，利用等體積法求出內(nèi)切球半徑和.9．BCD【分析】利用均值、方差、分層隨機(jī)抽樣、古典概型等知識逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對于A，該班級此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的均分，故A錯誤；對于B，該班級此次練習(xí)數(shù)學(xué)成績的方差，故B正確；對于C，利用分層抽樣的方法從該班級抽取8人，則應(yīng)抽取的男生人數(shù)為，C正確；對于D，從該班級隨機(jī)選擇2人參加某項(xiàng)活動，則至少有1名女生的概率，故D正確．故選BCD．10．ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量，根據(jù)空間關(guān)系的向量證明判斷A，利用線面角的向量公式求解判斷B，利用等體積法求出相應(yīng)三棱錐的體積判斷C，利用補(bǔ)體法求得外接球的半徑，即可求解外接球的表面積判斷D.【詳解】由題意，在正方體中，棱長為2，分別為棱的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，

則對于A項(xiàng)，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，又，因?yàn)橹本€平面，所以直線平面，A正確；對于B項(xiàng)，

，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以，故，故B正確；對于C項(xiàng)，

，故C不正確；對于D項(xiàng)，如圖，

三棱錐恰好在長方體上，且為體對角線，所以為三棱錐外接球的直徑，由幾何知識，所以三棱錐的外接球表面積為，故D正確.故選：ABD.11．BCD【分析】根據(jù)賦值法，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性，奇、偶函數(shù)的定義、函數(shù)周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】由，令，則，因?yàn)?，所以，故A錯誤；令，則，①所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以f′x為偶函數(shù)，，所以，②由①②并整理得，即，所以，所以是周期為的周期函數(shù)，故，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；由上知，在①中，令，得，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的奇偶性、周期性及導(dǎo)數(shù)的計算.解題關(guān)鍵在于熟練地應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性的定義及導(dǎo)數(shù)的計算，利用賦值法推導(dǎo)出函數(shù)，f′x12．【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是.故答案為：.13．【分析】設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，再利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案.【詳解】方程，整理可得，因?yàn)?，則，設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解．又方程對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱軸為，

故有，即，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：.14．【分析】先求出點(diǎn)的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得，從而可得出答案.【詳解】設(shè)Px,y則，化簡整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心為半徑的圓，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，則，當(dāng)且僅當(dāng)（兩點(diǎn)在兩點(diǎn)中間）四點(diǎn)共線時取等號，所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程.15．(1)該合作預(yù)測收益與實(shí)際收益具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)和公式計算相關(guān)系數(shù)，然后進(jìn)行判斷即可；（2）先求出每類的組數(shù)，然后由題意可得的所有可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）因?yàn)椋傻闹到咏?，所以該合作預(yù)測收益與實(shí)際收益具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（2）由題意得，“類營銷誤差”有5組，“類營銷誤差”有3組，“類營銷誤差”有2組，若從“類營銷誤差”和“類營銷誤差”數(shù)據(jù)中抽取3組，抽到“類營銷誤差”的組數(shù)的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123所以.16．(1)證明見解析；(2)2【分析】（1）于，由平面平面，證得平面，再證得為等邊三角形，可得為中點(diǎn)；（2）過作于，則是二面角的平面角，由已知數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】（1）過作于，由平面平面，平面平面，平面，，得平面，因此，

又，從而為等邊三角形，為中點(diǎn)．（2）由于是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，則有，過作于，連接，，平面，所以平面，由平面，則，則是二面角的平面角．由于，，所以中，．因此二面角的正切值為.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求出，再根據(jù)焦點(diǎn)和之間的關(guān)系即可求出橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線的方程用所設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示，根據(jù)對稱性可知所過定點(diǎn)在軸上，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合根于系數(shù)之間的關(guān)系即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1），∴，又，∴，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，∴，∴則，直線的斜率，直線的方程為，令，有即，∴直線過定點(diǎn)18．(1)是“H數(shù)列”；理由見解析(2)1，2，3，6；(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“H數(shù)列”定義判斷即可.（2）由等差數(shù)列和“H數(shù)列”的定義得到公差的等式關(guān)系即可求解.（3）由等差數(shù)列的