山東省青島第二中學(xué)2025屆高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷（解析）

青島市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年8月份階段練習(xí)-高三數(shù)學(xué)試題學(xué)生版一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)真數(shù)要大于0和集合交集的運(yùn)算法則即可求解．【詳解】，故．故選：D．2.某高中為鼓勵(lì)全校師生增強(qiáng)身體素質(zhì)，推行了陽(yáng)光校園跑的措施，隨機(jī)調(diào)查7名同學(xué)在某周周日校園跑的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：.則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別為（）A.60，58 B.60，60 C.55，58 D.55，60【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)定義，以及平均數(shù)公式即可求得.【詳解】將樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為.易得中位數(shù)為60，平均數(shù)為.故選：B3.已知為實(shí)數(shù)，則（）A. B.2 C.1 D.【答案】D【解析】【分析】利用為實(shí)數(shù)求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式求解．【詳解】由題意可得，由為實(shí)數(shù)，得，即，則，故．故選：D．4.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程.【詳解】因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線斜率為，所以切線方程為，即.故選：C.5.已知銳角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式以及兩角差的余弦公式可得，再根據(jù)角的范圍以及余弦函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)闉殇J角，則，而在上單調(diào)遞減，從而，即.故選：A.6.過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知曲線是以為圓心，1為半徑的半圓，結(jié)合圖形，利用過(guò)兩點(diǎn)直線的斜率和直線與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意易知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，曲線是以為圓心，1為半徑的半圓（如圖所示），設(shè)曲線的下端點(diǎn)為，要使與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)位于直線和切線之間，所以，因?yàn)?，易知，又與曲線相切，由，解得，所以，所以直線斜率的取值范圍為.故選：B.7.已知橢圓右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別聯(lián)立直線和橢圓，利用的坐標(biāo)相等建立齊次方程，求解離心率即可.【詳解】設(shè)Ax1,y1線段的中點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，所以，另一方面，聯(lián)立，得易知，由韋達(dá)定理得，解得，所以，故離心率，故D正確.故選：D.8.如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，利用共線定理設(shè)，表示出，，根據(jù)建立等式求解，分別求出各邊的長(zhǎng)度，然后即可求解．【詳解】由，知為銳角，又因?yàn)?，所以．設(shè)，即，．由，得，又，故．則，因此，即．在中，由正弦定理，以及，整理計(jì)算得．故選：B．二、多選題9.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是B.時(shí)，的漸近線方程為C.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D.可以是等軸雙曲線【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用求雙曲線漸近線的求法，即可求解；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知焦點(diǎn)在軸上，再由，即可求解；選項(xiàng)D，利用等軸雙曲線的定義，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楸硎倦p曲線，所以，解得，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A得0，所以焦點(diǎn)在軸上，設(shè)的半焦距為，則，解得，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若為等軸雙曲線，則，解得，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.10.下列函數(shù)中，存在數(shù)列使得和都是公差不為0的等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，即可滿足題意，A選項(xiàng)，根據(jù)為奇函數(shù)，過(guò)原點(diǎn)的直線滿足要求，A正確；BC選項(xiàng)，不會(huì)有3個(gè)交點(diǎn)，舍去；D選項(xiàng)，判斷出為奇函數(shù)，與過(guò)原點(diǎn)的直線會(huì)和函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，且原點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，D正確.【詳解】該題可轉(zhuǎn)化為判斷選項(xiàng)所給函數(shù)與一次函數(shù)是否存在3個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，即可滿足題意，A選項(xiàng)，為奇函數(shù)，過(guò)原點(diǎn)的直線與有多個(gè)交點(diǎn)（包含原點(diǎn)），其中原點(diǎn)為兩個(gè)對(duì)稱交點(diǎn)的中點(diǎn)，滿足題意，故A正確；B選項(xiàng)，由于與一次函數(shù)最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，為偶函數(shù)，且與二次函數(shù)圖象形狀類似，與一次函數(shù)最多兩個(gè)交點(diǎn)，不可能有三個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，令，解得，故的定義域?yàn)?1,1，又，故奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，fx在上單調(diào)遞增，且，時(shí)，趨向于，故過(guò)原點(diǎn)的直線可以與奇函數(shù)存在三個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)為原點(diǎn)，且原點(diǎn)是另外兩個(gè)交點(diǎn)的中點(diǎn)，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：數(shù)列新定義問(wèn)題，主要針對(duì)于等差，等比，遞推公式和求和公式等綜合運(yùn)用，對(duì)常見(jiàn)的求通項(xiàng)公式和求和公式要掌握牢固，同時(shí)涉及數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與解析幾何，數(shù)列與二項(xiàng)式定理，數(shù)列與排列組合等知識(shí)的綜合，要將“新”性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用到“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性的解決問(wèn)題.11.已知定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.是以8為周期的周期函數(shù)C.D【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及表達(dá)式可知滿足，可判斷A正確；化簡(jiǎn)可得可知B正確；又可得，即C正確；利用賦值法可求得，可知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由題意，且，即①，用替換中的，得②，由①+②得，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且，故A正確；對(duì)于B，由，可得，，所以，所以是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由①知，則，所以，故C正確；對(duì)于D，又因?yàn)?，所以，令，則有2，令，則有，令，則有，所以，所以，故D錯(cuò)誤故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)性質(zhì)綜合問(wèn)題經(jīng)常利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性中的兩條性質(zhì)去推導(dǎo)第三個(gè)性質(zhì)，再將3個(gè)性質(zhì)綜合運(yùn)用即可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題求解.三、填空題12.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】15【解析】【分析】先寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)，再依題意求解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得其展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：1513.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由正弦型函數(shù)可知：兩個(gè)零點(diǎn)之間必存在極值點(diǎn)，兩個(gè)極值點(diǎn)之間必存在零點(diǎn)，利用正弦型函數(shù)的極值點(diǎn)可得即可求解.【詳解】由題意可得，當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，可知，解得.故答案為：14.將正整數(shù)分解成兩個(gè)正整數(shù)的積，即，當(dāng)兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)是的最優(yōu)分解時(shí)，定義，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)，按照最優(yōu)分解定義，求數(shù)列的通項(xiàng)，再求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)新概念的理解，并對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.四、解答題15.在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且.（1）求；（2）若，且，則的面積為，求、.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，進(jìn)而可求的值；（2）由題意利用三角形的面積公式可求，由余弦定理可得，聯(lián)立方程即可求解，的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得：，所以，可得：，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，且，則的面積為，所以，又由余弦定理可得：，所以，由，解得：，或因?yàn)?，所?6.已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，為的焦點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）或【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程消元，利用根的判別式來(lái)證明；（2）設(shè)，根據(jù)建立等式，將代入等式得出關(guān)于，利用偶次方的非負(fù)性解不等式即可．【小問(wèn)1詳解】由題意聯(lián)立得，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由（1）得，，，即，即，整理得，將代入并整理得，，，且，解得：或．17.如圖，點(diǎn)O為正四棱錐的底面中心，四邊形為矩形，且，.（1）求正四棱錐的體積；（2）設(shè)E為側(cè)棱PA上的點(diǎn)，且，求直線BE與平面PQC所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求棱錐的體積即可；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PQC的一個(gè)法向量，利用線面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，，故底面正方形ABCD的邊長(zhǎng)，所以正四棱錐的體積為；【小問(wèn)2詳解】以O(shè)為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)閤、y與z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得、、、、.設(shè)平面PQC的一個(gè)法向量為，則，所以.又，，即，解得，可取，依題意可得，設(shè)，則，則有，故，故，從而，設(shè)直線BE和平面PQC所成角為，則，因?yàn)椋?，故直線BE和平面PQC所成角的大小為.18.某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開(kāi)發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)（2）（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤(rùn)是元，一件等品芯片的利潤(rùn)是元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.【答案】（1）（2）（i）分布列見(jiàn)解析，；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率.（2）（i）先求出的取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值時(shí)的即可.【小問(wèn)1詳解】由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：．即，，所以，因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值近似服從正態(tài)分布，所以，所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.【小問(wèn)2詳解】（i），所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為：，，，，隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望.（ii）設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有件，則每箱產(chǎn)品中等品有件，設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，由題意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，所以，所以，所以.令，由得，，又，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以當(dāng)時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤(rùn)最大.19.定義：若對(duì)于任意，數(shù)列滿足：①；②，其中的定義域?yàn)?，則稱關(guān)于滿足性質(zhì).（1）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，使得關(guān)于滿足性質(zhì)；（2）設(shè)，若關(guān)于滿足性質(zhì)，證明：；（3）設(shè)，若關(guān)于滿足性質(zhì)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（注：所有的定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)均符合題意）（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，得到任意，，且，故滿足要求；（2）因?yàn)?，所以，變形得到，利用基本不等式得到結(jié)論；（3）求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式，求出導(dǎo)數(shù)恒大于0，故在R上單調(diào)遞增，而，故?x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，因?yàn)?，結(jié)合性質(zhì)，得到，求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】令，定義域?yàn)镽，顯然任意，，且，故滿足要求，（注：所有的定義域?yàn)镽的偶函數(shù)均符合題意）【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，移?xiàng)得，因?yàn)?，所以，故，由基本不等式，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，而，故，即.【小問(wèn)3詳解】由題意，，故，設(shè)，則，故在R上單調(diào)遞增，而，故時(shí)，時(shí)，?'x<0因此?x在上單