【關(guān)于對數(shù)的歷史溯源5500字（論文）】

關(guān)于對數(shù)的歷史溯源目錄TOC\o"1-3"\h\u1引言 12對數(shù)的歷史溯源 12.1納皮爾的對數(shù) 12.1.1早期的探索 22.1.2納皮爾對數(shù)及其性質(zhì) 32.1.3比爾吉的對數(shù) 42.1.4布里格斯常用對數(shù)的發(fā)明 52.2對數(shù)的發(fā)展 62.2.1研究現(xiàn)狀 62.2.2對數(shù)的發(fā)展 73結(jié)束語 8參考文獻(xiàn)： 8摘要：對數(shù)的基本思想可以追溯到古希臘時代，不同時期數(shù)學(xué)家們在對數(shù)方面有不同的貢獻(xiàn)。天文學(xué)的興起，大數(shù)的計算，為對數(shù)的產(chǎn)生提供了土壤。隨著航海、工學(xué)、貿(mào)易、軍事的發(fā)展，改善數(shù)值計算方法變得更加迫切。納皮爾對數(shù)、布里格斯常用對數(shù)等相繼發(fā)明，經(jīng)過各國數(shù)學(xué)家的努力，對數(shù)理論得到不斷完善。關(guān)鍵詞：對數(shù)萌芽；納皮爾對數(shù)；常用對數(shù)關(guān)于對數(shù)的歷史溯源1引言早在古希臘時期，對數(shù)的萌芽就已經(jīng)出現(xiàn)。最初是在公元前500年，阿基米德偶然發(fā)現(xiàn)了幾個相同的數(shù)字的乘積與這些數(shù)字的個數(shù)之間是存在著相互對應(yīng)的關(guān)系的，但是他卻并未把這個工作持久地推進(jìn)下去。直到16世紀(jì)末，越來越多的科學(xué)家們開始關(guān)注地球以外的世界，那時哥白尼的“太陽中心說”轟動了整個科學(xué)界，天文學(xué)吸引了越來越多的學(xué)者前來參與研究，而讓天文學(xué)家們頭疼的“天文數(shù)字”接踵而至，這些數(shù)字的計算既費時又費力。因為確定一顆星球的位置，通常要在計算上花費幾個月甚至更久的時間，簡化運算便成了科學(xué)家們的“燃眉之急”。天文學(xué)的興起，大數(shù)的計算，為對數(shù)的產(chǎn)生提供了土壤。隨著航海、工學(xué)、貿(mào)易、軍事的發(fā)展，改善數(shù)值計算方法變得更加迫切。納皮爾對數(shù)、布里格斯常用對數(shù)等相繼發(fā)明，經(jīng)過各國數(shù)學(xué)家的努力，對數(shù)理論得到不斷完善。2對數(shù)的歷史溯源2.1納皮爾的對數(shù)16世紀(jì)的中后期，是一個數(shù)字的時代，科學(xué)界的許多領(lǐng)域都會使用數(shù)值計算技術(shù)，而天文學(xué)和航海技術(shù)的發(fā)展更是對復(fù)雜三角計算的技術(shù)提出了更為嚴(yán)苛的要求?！凹訙p法則”被認(rèn)為是從天文學(xué)各個方面進(jìn)行簡化加乘運算的主要方法。不僅僅是斯蒂菲爾，還有許多數(shù)學(xué)家們都已經(jīng)認(rèn)同了算術(shù)級數(shù)與幾何級數(shù)的級數(shù)項之間確實存在著相互對應(yīng)的關(guān)系，但是，他們的思想都沒有停留在尋找更稠密的幾何級數(shù)這件事上。而正是對于這種思想深刻的認(rèn)識和理解，成就了納皮爾，也成就了堪稱17世紀(jì)最偉大的發(fā)明：對數(shù)。其實納皮爾很早就開始構(gòu)思如何簡化數(shù)字的運算，并付出了行動，眾所周知的納皮爾算籌就是納皮爾為了簡化大數(shù)運算，于1571年發(fā)明的一種較為機(jī)械的方法。納皮爾的第一部關(guān)于對數(shù)的著作是《奇妙的對數(shù)定理說明書》，于1614年在愛丁堡被發(fā)表，這本著作給出了里“根表”以及它們的使用方法，可惜的并是沒有給出證明過程。納皮爾的第二部關(guān)于對數(shù)的著作是《奇妙的對數(shù)造表法》，發(fā)表于1619年。相對于第一部的《奇妙的對數(shù)定理說明書》來說，這本著作中新增了詳細(xì)的對數(shù)表和證明過程。2.1.1早期的探索納皮爾曾經(jīng)研究過球面三角，因此他并沒有從整數(shù)入手，而是先計算正弦的對數(shù)，從而簡化正弦的乘法與除法成為了納皮爾的首要目標(biāo)，那時的一個角的正弦并不是像今天一樣被定義為這個角在直角三角形中的對邊比上斜邊，而是表示這個角的兩倍在圓中所對應(yīng)的弦長的一半，例如圖1中角的正弦是。圖1示意圖顯然，一條弦的長度取決于這一條弦所在的圓的半徑，同時半徑大小與計算的精確程度之間又存在著密不可分的關(guān)系，因此如何選擇半徑的大小是至關(guān)重要的。半徑越大，三角函數(shù)的值就越接近一個整數(shù)，并且理論上來說它能夠達(dá)到任意的精確度。納皮爾的表中給出的數(shù)字精確到了小數(shù)點后的位，因此可知他認(rèn)為將圓的半徑設(shè)定為更為合理。以現(xiàn)在的視角來看，納皮爾用于減少計算量的正弦是近似于的整數(shù)，的單位是“分”，大小在到之間，而，，因此正弦一定是一個大于且小于的數(shù)。納皮爾確定了算術(shù)級數(shù)和幾何級數(shù)之后，將它們的項一一對應(yīng)起來作比較，考慮到公比要盡可能的接近1，這樣才能使得相鄰的兩項的差值盡可能的小，所以納皮爾決定以作為幾何級數(shù)的首項，作為幾何級數(shù)的公比，這一奇妙構(gòu)想的可以說是很高明的。接著，納皮爾寫出了如下的表格(表1)：表1其中，.2.1.2納皮爾對數(shù)及其性質(zhì)納皮爾的對數(shù)定義如下：如圖2中有兩個質(zhì)點和，它們的初速度是相同的，質(zhì)點從起點開始，向點運動，線段的長度為，點的初速度為，點任何時刻的速度在數(shù)值上恒等于的值；質(zhì)點從起點開始，向點運動，為射線，點的速度在數(shù)值上恒等于。圖2同一時刻，讓兩個質(zhì)點和分別從和出發(fā)，那么點在按幾何級數(shù)運動，而點按算術(shù)級數(shù)運動。若在某一個時刻，點與的距離為；點與的距離為，那么，納皮爾定義線段是線段的對數(shù)，用表示。由于點的速度的變化是連續(xù)的，因此要想真正地將它表達(dá)出來就必須要用到微積分。但如果時間足夠小，并且假設(shè)點通過每一段長度都是在時間內(nèi)完成的，同時假設(shè)點在這段時間里面作勻速直線運動，并將點開始時的速度定為參數(shù)，則,,,,……就形成了幾何數(shù)列，如果考慮，并且假設(shè)點速度的值與它到點的距離的值之比是，則點在運動到點時的速度為，于是，所以，這樣如果得知序列,,,,……中的任何一項的長度，再乘以就可以得出它后面一項的長度，而點的速度是恒定不變的，因此距離,,……很顯然是算術(shù)數(shù)列，這樣就可以得出如下事實：如果真數(shù)的增長速度與幾何級數(shù)的增長速度相同，那么它所對應(yīng)的對數(shù)的增長速度就會和算術(shù)級數(shù)的增長速度相同。納皮爾將一個完整的圓的半徑分成份，這樣圓弧的半徑就是正弦，從開始計算。于是，是角的正弦，是它的對數(shù)，令，，，那么，點的速度是，即得，（為常數(shù)）當(dāng)時，，所以.另一方面，Q的速度，即.將，的值帶入得，即.于是可以得到以下關(guān)系：.因此，我們今天定義的自然對數(shù)和納皮爾對數(shù)之間是不可以畫等號的，它們之間是有著根本的區(qū)別的。2.1.3比爾吉的對數(shù)比爾吉（1552-1632）是來自瑞士的一名著名的鐘表設(shè)計師和制造商，還曾多次擔(dān)任過著名的天文學(xué)家開普勒的助手，也許正因為這些年經(jīng)常與天文和數(shù)字打交道的原因，比爾吉也獨立地發(fā)明了一種對數(shù)，他雖然不是一位數(shù)學(xué)家，卻是第一個掌握了對數(shù)概念和思想的人。比爾吉在1600年左右就發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，1608年左右完成了他的著作《等差數(shù)列和等比數(shù)列表》，這本書承載了比爾吉將近8年的心血，但比爾吉一直未將它出版，直到1620年，在開普勒的強烈建議下比爾吉才把它出版，那時納皮爾的《奇妙的對數(shù)原理的說明書》已經(jīng)風(fēng)靡整個歐洲6年之久了，盡管如此，科學(xué)家們一般都認(rèn)為比爾吉和納皮爾都是對數(shù)的創(chuàng)立者。值得一提的是，納皮爾對數(shù)與比爾吉對數(shù)中都沒有關(guān)于對數(shù)的“底”的概念，因為當(dāng)時指數(shù)還沒有被明確。但他們都取了一個非常接近于1的數(shù)作為底數(shù)（和），不同的是，比爾吉的對數(shù)會隨著指數(shù)的增大而增大，納皮爾的對數(shù)恰好相反。過度注重與如何避免小數(shù)導(dǎo)致比爾吉的對數(shù)的定義實際上要比納皮爾的復(fù)雜很多。[6]2.1.4布里格斯常用對數(shù)的發(fā)明英國著名數(shù)學(xué)家布里格斯通過不斷對納皮爾早年發(fā)明的對數(shù)的運算方法進(jìn)行優(yōu)化和改革，成為最先認(rèn)識到對數(shù)發(fā)展在整個科學(xué)界中的必要性的數(shù)學(xué)家之一。1614年，納皮爾首次正式公開發(fā)表了他關(guān)于對數(shù)的學(xué)術(shù)交流，并展示他的研究成果：一本名為《奇妙的對數(shù)定理說明書》的書。布里格斯研究了這本“奇妙的”書后，對這本對數(shù)著作的內(nèi)容表現(xiàn)出了極大的興趣，在此之前，布里格斯正被復(fù)雜的“天文數(shù)字”所困擾，毫無疑問這本書的出版對布里格斯來說簡直是如魚得水。一番研究后，他便開始思考如何對納皮爾的對數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。1617年，納皮爾不幸離世。布里格斯運用插值法繼續(xù)研究對數(shù)，算出了從1到1000的所有整數(shù)的對數(shù)，并且將計算的結(jié)果精確到了小數(shù)點后的14

位，這件事幾乎花費了他所有的精力，但對數(shù)強大的吸引力使得執(zhí)著的布里格斯依然廢寢忘食地投入到研究之中，最終完成了著作《一千個數(shù)的對數(shù)》，并于1617年發(fā)表，下面是《一千個數(shù)的對數(shù)》的一小段內(nèi)容：這張對數(shù)表是第一張常用對數(shù)表，也是唯一的一張，布里格斯深知這張常用對數(shù)表對于天文學(xué)來說，還不能完全地滿足需求，于是他決定在計算所有數(shù)的對數(shù)這條漫長而艱辛的道路上繼續(xù)堅持下去。經(jīng)過了漫長的7年，布里格斯終于計算出了1到20000以及從90000到100000之間的數(shù)的對數(shù)，并把它們收錄到他的第二部關(guān)于對數(shù)的著作《對數(shù)的算術(shù)》中。后來一位荷蘭的書商阿德蘭弗拉克也參與了計算對數(shù)的工作，他將布里格斯尚未完成的部分計算了出來，雖然其結(jié)果的精確度沒有布里格斯本人計算的高，但也足夠簡化大部分的計算了，于是布里格斯于1628年把他們兩個的結(jié)果整合在了一起，于是便有了一張完整的常用對數(shù)表。布里格斯還在《對數(shù)的算術(shù)》中詳細(xì)地介紹了他所使用的方法以及思路：就是將10

這個數(shù)字不停地開平方，即:

，，……，這樣便得到一個近似于1的數(shù)。2.2對數(shù)的發(fā)展2.2.1研究現(xiàn)狀法國數(shù)學(xué)家許凱（1445—1488）曾經(jīng)在他的著作《算術(shù)三編》中給出了利用算術(shù)級數(shù)與幾何級數(shù)的對應(yīng)關(guān)系來簡化運算的方法：算術(shù)級數(shù)1，2，3，4，……與幾何級數(shù)2，4，8，16，……相對應(yīng)，例如：對應(yīng)。許凱是這樣來解釋這種關(guān)系的：用4乘以8，得到32。因為4乘以8對應(yīng)2加3，而2加3等于5，5對應(yīng)32。所以，第二項乘以第三項等于第五項，對應(yīng)第二項加上第三項等于第五項。雖然許凱的這段話抓住了簡化乘法的核心思想，但是很遺憾，許凱并沒有看出它具有如此巨大的運用價值。實際上，他僅僅是用于定義單項式的乘除法。德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾也曾考慮過用簡單的加減運算來代替較為麻煩的乘除運算。在他的著作《整數(shù)算術(shù)》中，使用了和許凱相同的兩個系列。中間的項的立方根、算術(shù)序列項的分割對應(yīng)于幾何序列項的平方根。斯蒂菲爾不僅探究了和的形式，而且將幾何級數(shù)與算術(shù)級數(shù)的表向左邊延伸。例如:32除以得128，而7是128的指數(shù)，所以5減去（-2）得7，即。斯蒂菲爾也有許凱一樣的遺憾，沒有將這種對應(yīng)關(guān)系繼續(xù)深入地研究下去，他們都認(rèn)為這種對應(yīng)關(guān)系的價值應(yīng)該體現(xiàn)在計算某些復(fù)雜的單項式方面。但是斯蒂菲爾對上述法則的研究也有一些新的突破，他認(rèn)為指數(shù)也可以是負(fù)數(shù)，并且與正數(shù)一樣遵循相同的規(guī)律。1545年，歐洲的數(shù)學(xué)發(fā)展達(dá)到質(zhì)的飛躍，一時間踴躍出了許多著名的數(shù)學(xué)家，其中對數(shù)學(xué)的發(fā)展做出極大貢獻(xiàn)的是一位意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾，他在同年出版了他的著作《大術(shù)》，當(dāng)時的“冪”還沒有一個被人們廣泛認(rèn)知的符號，而這本著作已經(jīng)開始討論一元四次方程的解法了。即使是數(shù)學(xué)發(fā)展如此迅速的歐洲，也沒有人能夠統(tǒng)一和完善“冪”的符號和定義。這個現(xiàn)象一直持續(xù)到了17世紀(jì)的早期。2.2.2對數(shù)的發(fā)展16世紀(jì)和17世紀(jì)交替之際，隨著天文學(xué)、航海、工學(xué)、貿(mào)易的發(fā)展，數(shù)值計算方法的改善成為了最優(yōu)先事項，納皮爾深知簡化計算是科學(xué)發(fā)展的必要條件，要想促進(jìn)其發(fā)展就必須創(chuàng)造出解決方案，從而發(fā)明對數(shù)。恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何學(xué)的確立、微積分的建立稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成果。伽利略還說：“給我空間、時間和對數(shù)，我就能創(chuàng)造宇宙”。[16]在300多年的時間里，對數(shù)計算規(guī)則對于科學(xué)家、特別是工程師和技術(shù)人員來說是必要的計算工具，直到1970年代被電子計算機(jī)取代為止。如今，對數(shù)的使用方法以及對數(shù)表的制作與使用已經(jīng)顯得沒那么重要了，但是發(fā)明對數(shù)的思想?yún)s永遠(yuǎn)不會過時?？v觀對數(shù)的歷史溯源，可以發(fā)現(xiàn)納皮爾是通過運動學(xué)并運用幾何術(shù)語來解釋和介紹對數(shù)的概念的，他的介紹中沒有提及指數(shù)的概念，這是因為當(dāng)時數(shù)學(xué)上還沒有出現(xiàn)“指數(shù)”和“冪”這些概念。瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在18世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了指數(shù)和對數(shù)之間的關(guān)系：對數(shù)與指數(shù)互為反函數(shù)。從今天來看，我們的教科書是將指數(shù)安排在對數(shù)之前的，這是因為對數(shù)源于指數(shù)，但對數(shù)思想的孕育卻在指數(shù)之前，使得對數(shù)的發(fā)明在數(shù)學(xué)史上成為一段佳話。對數(shù)的發(fā)明是艱難的，但也是必要的，這個必要性來自于社會經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，而正是它們的必要性在推動著數(shù)學(xué)發(fā)展，并成為主要動力。事實上，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)符號可以大大減輕人們的思考負(fù)擔(dān)。3結(jié)束語17世紀(jì)以前，阿基米德、休蓋等數(shù)學(xué)家已經(jīng)進(jìn)一步地發(fā)現(xiàn)由某些特殊的數(shù)字構(gòu)造而來的等差數(shù)列與等比數(shù)列之間可能會有某種相互對應(yīng)的關(guān)系，并且人們對于具體的對數(shù)運算方式及其法則也已經(jīng)有了進(jìn)一步的認(rèn)識，但也正是由于這些數(shù)字的特殊性，使數(shù)學(xué)家們在遇到一些比較大的數(shù)字的乘除運算時就顯得心有余而力不足了，這一障礙使很多數(shù)學(xué)家們都沒能繼續(xù)堅持研究下去。

這種狀態(tài)一直持續(xù)到了納皮爾和比爾吉的出現(xiàn)，納皮爾認(rèn)為運用幾何的方法更能將對數(shù)的性質(zhì)玲離盡致地體現(xiàn)出來，并且選擇0.999999作為底數(shù)；而比爾吉則更傾向于使用代數(shù)，底數(shù)為1.0001?？梢园l(fā)現(xiàn)他們都選擇了非常接近1的數(shù)作為底數(shù)，使得各個真數(shù)之間的空隙可以盡可能地縮小，這也解決了之前的數(shù)學(xué)家們遇到的只能解決特殊數(shù)字運算的問題，最終都獨立發(fā)明了對數(shù)。

為了提高納皮爾發(fā)明的對數(shù)的通俗性和實用性，布里格斯和納皮爾最終決定把對數(shù)的底規(guī)定為10，之后，布里格斯在納皮爾發(fā)明的對數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出了完善，他將數(shù)字10進(jìn)行了高達(dá)54次的開方后，終于得出了一個比1稍大的數(shù)，取10作為對數(shù)的底，最終運用插值法發(fā)明了第一張常用對數(shù)表。參考文獻(xiàn)：[1]陳元芳,沙志貴,顧圣華,許圣斌.可考慮歷史洪水對數(shù)正態(tài)分布線性矩法的研究[J].河海大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003(01):80-83.[2]姜珊珊.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)[J].經(jīng)濟(jì)師,2020(07):201+203.[3]王鑫,栗小妮,汪曉勤.20世紀(jì)中葉以前西方早期教科書中的對數(shù)概念[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2020(02):5