兩點間的距離公式高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.3.2兩點間的距離公式[目標導航]課標要求1.掌握兩點間的距離公式及應用2.會運用坐標法證明簡單的平面幾何問題新知導學·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育當堂即練·素養(yǎng)達成新知導學·素養(yǎng)啟迪1.兩點間的距離公式平面內(nèi)兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式|P1P2|=

.新知梳理2.利用“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟教材拓展兩點間距離的特殊情況特別地(1)當P1P2∥x軸(y1=y2)時,|P1P2|=|x2-x1|.(2)當P1P2∥y軸(x1=x2)時,|P1P2|=|y2-y1|.小試身手A

2.已知點P1(4,2),P2(2,-2),則|P1P2|=

.

答案:1或-53.已知點A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,則a的值為

.

4.已知△ABC的頂點坐標為A(7,8),B(10,4),C(2,-4),則BC邊上的中線AM的長為

.

5.設點A在x軸上,點B在y軸上,AB的中點P(2,-1),則|AB|=

.

課堂探究·素養(yǎng)培育探究點一求兩點間的距離[例1]如圖,已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.思路點撥:可求出三條邊的長,據(jù)所求長度判斷三角形的形狀.變式訓練1-1:本例條件不變,求BC邊上的中線AM的長.變式訓練1-2:本例條件不變,求BC邊上的中線所在直線的方程.方法總結(jié)兩點間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用.易錯警示:本例中容易忽視直角的判定.探究點二求點的坐標思路點撥:利用距離公式建立關于未知數(shù)的方程求解.即時訓練2-1:已知直線l1:x+y-2=0,直線l2過點A(-2,0)且與直線l1平行.(1)求直線l2的方程;(2)點B在直線l1上,若|AB|=4,求點B的坐標.方法總結(jié)利用坐標平面內(nèi)兩點間的距離公式可以求平面上任意兩個已知點間的距離,反過來,已知兩點間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個點的坐標.探究點三坐標法的應用[例3]已知Rt△ABC,∠B為直角,AB=a,BC=b,建立適當?shù)淖鴺讼?寫出頂點A,B,C的坐標,并求證斜邊AC的中點M到三個頂點的距離相等.思路點撥:取直角邊所在的直線為坐標軸建立坐標系,再寫出各頂點坐標,給出證明.即時訓練3-1:已知:等腰梯形ABCD中,AB∥DC,對角線為AC和BD.求證:|AC|=|BD|.方法總結(jié)(1)坐標法解決幾何問題時,關鍵要結(jié)合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:①讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算.②如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.(2)利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟:①建立坐標系,盡可能將有關元素放在坐標軸上.②用坐標表示有關的量.③將幾何關系轉(zhuǎn)化為坐標運算.④把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系.易錯警示:建立的坐標系不合適,使計算變得煩瑣.數(shù)學窗數(shù)形結(jié)合思想的典范——坐標法[典例]如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.審題視角:建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?設出各頂點的坐標,應用兩點間的距離公式證明.方法點睛根據(jù)圖形的特點,建立適當?shù)淖鴺讼?可使運算量減小,因此要注意建系方法.即時訓練:已知正三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2

最小,并求此最小值.當堂即練·素養(yǎng)達成當堂即練A2.直線y=x+2被坐標軸截得的線段長為

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3.若直線l1:3x-y=0與l2:x+y-4=0交于點A,且B