蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略專題06圓周角壓軸題五種模型全攻略特訓(xùn)(原卷版+解析)

專題06圓周角壓軸題五種模型全攻略考點(diǎn)一圓周角概念辨析考點(diǎn)二同弧或等弧所對的圓周角相等考點(diǎn)三直徑所對的圓周角是直角，考點(diǎn)四90°的圓周角所對的弦是直徑考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)典型例題典型例題考點(diǎn)一圓周角概念辨析例題：（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·九年級專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心2．（2022·福建廈門·九年級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點(diǎn)P，連接AD．下列角中，所對圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？考點(diǎn)二同弧或等弧所對的圓周角相等例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點(diǎn)P在⊙上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．55° B．64° C．65° D．70°3．（2022·廣東·乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且的長是長的2倍，的平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A．90° B．95° C．100° D．105°考點(diǎn)三直徑所對的圓周角是直角例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是AB另一側(cè)半圓的中點(diǎn)，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長為（

）A． B．2 C． D．22．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊長BC=，P為弧AD上一點(diǎn)且AP=1，則PC=________________．3．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦與直徑相交于點(diǎn)E，連接．若，則的大小為_________度．考點(diǎn)四90°的圓周角所對的弦是直徑例題：（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（

）A． B． C． D．4【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，，連接，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為__________.考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)例題：（2022·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若，則的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【變式訓(xùn)練】1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)九年級期中）在中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)D在上，則的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°2．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·山東威海·九年級期末）如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（

）A．18° B．54° C．36° D．72°2．（2022·山西·中考真題）如圖，內(nèi)接于，AD是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°3．（2022·浙江麗水·三模）如圖，，，，四個(gè)點(diǎn)均在上，，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點(diǎn)G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°二、填空題6．（2022·湖南邵陽·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，若，則∠C的度數(shù)為___________．7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．8．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點(diǎn)D，的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，若的直徑是，則DE的長為_______．9．（2022·陜西咸陽·九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)P在BE上，連接AP，若，則面積的最大值為__________．10．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，點(diǎn)O、E分別是AB、CD的中點(diǎn)，OH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn)，連接OP，將△OHP沿著OP所在直線翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)為H′，當(dāng)H′E取最小值時(shí)邊CD的長為_____．三、解答題11．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長度．12．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使，連接BD，ED．(1)求證：；(2)若，，⊙O的直徑長為．13．（2021·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)雙溝中學(xué)一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點(diǎn)E，延長AD，BC交于點(diǎn)F，且CF=AC．(1)求證∶CD=AD；(2)若AD=，AB=，求FD的長．14．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級學(xué)業(yè)考試）如圖，、為的弦，與相交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接、，若為直徑，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，的面積為6，求的長．15．（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于圓O，高AD、CE相交于點(diǎn)H，延長AH交圓O于點(diǎn)G．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接CO，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長CO交圓O于點(diǎn)N，連接GN、DE，若，，求DH的長．專題06圓周角壓軸題五種模型全攻略考點(diǎn)一圓周角概念辨析考點(diǎn)二同弧或等弧所對的圓周角相等考點(diǎn)三直徑所對的圓周角是直角，考點(diǎn)四90°的圓周角所對的弦是直徑考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)典型例題典型例題考點(diǎn)一圓周角概念辨析例題：（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓周角的定義（角的頂點(diǎn)在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角）判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圓周角的定義可知，選項(xiàng)中的角是圓周角．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的定義，解題的關(guān)鍵是理解圓周角的定義，屬于中考基礎(chǔ)題．1．（2022·廣東·九年級專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓周角相等 B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對的弧相等 D．過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對稱軸的定義逐項(xiàng)排查即可．【詳解】解：A.

同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項(xiàng)正確；B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)．靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·福建廈門·九年級期末）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點(diǎn)P，連接AD．下列角中，所對圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可知：所對圓周角的是∠ACB或∠ADB，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握圓周角是解題的關(guān)鍵．3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？【答案】特征見解析，(c)圖中∠3、∠4、∠BAD是圓周角【解析】【詳解】解：(a)∠1頂點(diǎn)在⊙O內(nèi)，兩邊與圓相交，所以∠1不是圓周角；(b)∠2頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交，所以∠2不是圓周角；(c)圖中∠3、∠4、∠BAD的頂點(diǎn)在圓周上，兩邊均與圓相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圓周角．(d)∠5頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓不相交，所以∠5不是圓周角；(e)∠6頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓均不相交，由圓周角的定義知∠6不是圓周角.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角的定義，熟練掌握頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二同弧或等弧所對的圓周角相等例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點(diǎn)P在⊙上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算出∠A的度數(shù)，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴，∴∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】∵是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，∴∠C==40°故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或者在等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答本題關(guān)鍵．2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．55° B．64° C．65° D．70°【答案】B【解析】【分析】利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，再利用圓周角定理得到∠BAC＝∠DAC＝36°，∠ABD＝∠ACD＝44°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠ADB的度數(shù)．【詳解】解：∵BC＝CD，∴，∵∠ABD和∠ACD所對的弧都是，∴∠BAC＝∠DAC＝36°，，∵∠ABD＝∠ACD＝44°，∴∠ADB＝180°?∠BAD?∠ABD＝180°?72°?44°＝64°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟練掌握圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東·乳源瑤族自治縣教師發(fā)展中心三模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且的長是長的2倍，的平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A．90° B．95° C．100° D．105°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑和的長是長的2倍，可以求得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)CD平分∠ACB，可以得到∠ABD的度數(shù)，然后即可計(jì)算出∠CBD的度數(shù)．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵的長是長的2倍，的度數(shù)＋的度數(shù)＝180°，∴的度數(shù)為120°，的度數(shù)為60°∴∠ABC＝60°，∠CDB＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝45°，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝60°＋45°＝105°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是求出∠ABC和∠ABD的度數(shù)．考點(diǎn)三直徑所對的圓周角是直角例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．CB⊥BD B．∠CBA＝31° C． D．BD＝DE【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可判斷A，根據(jù)圓周角定理可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)圓周角與弧的關(guān)系可判斷C，根據(jù)判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：∵AB、CD分別是⊙O的直徑，，∴CB⊥BD，故A選項(xiàng)正確，如圖，連接，，且∠CDE＝62°，，，，，，，，，故B，C選項(xiàng)正確，，，，，BDDE，故D選項(xiàng)不正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是AB另一側(cè)半圓的中點(diǎn)，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長為（

）A． B．2 C． D．2【答案】A【解析】【分析】連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，證明△ADB和△ADB都是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：連接AD，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵AB是⊙O的直徑，D是的中點(diǎn)，∴∠ADB=90°，AD=DB，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABD=45°，∴∠C=∠A=45°，∴△EBC是等腰直角三角形，∵BC=4，∴EC=EB=2，∵CD=，∴DE=，∴BD=，在等腰直角△BDA中，AB=，∴⊙O的半徑長為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．2．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊長BC=，P為弧AD上一點(diǎn)且AP=1，則PC=________________．【答案】3【解析】【分析】連接，易得為直徑，在中利用勾股定理算出，再在中利用勾股定理算出．【詳解】解：連接，四邊形是正方形，，，是直徑．．在中，，在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接正多邊形，直徑所對的圓周角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟記并靈活運(yùn)用“直徑所對的圓周角是直角”．3．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦與直徑相交于點(diǎn)E，連接．若，則的大小為_________度．【答案】【解析】【分析】由直徑所對的圓周角是直角求出的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)可求得，從而得到的度數(shù)，再由同弧所對的圓心角是圓周角的兩倍求出的度數(shù)．【詳解】解：是直徑，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握圓相關(guān)性質(zhì)．考點(diǎn)四90°的圓周角所對的弦是直徑例題：（2021·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】【分析】首先連接，由的弦垂直于，即可得是直徑，又由，，根據(jù)勾股定理即可求得的長，則可求得的半徑．【詳解】解：連接，，，是的直徑，，，，的半徑為：．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理與勾股定理．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是掌握的圓周角所對的弦是直徑定理的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，，連接，則的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】A【解析】【分析】首先由題意可知：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)E，在圓E上任取一點(diǎn)F，連接EF、DF、EP、PD，可知當(dāng)點(diǎn)E、P、D在一條直線上時(shí)，PD最小，再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系即可證得，最后根據(jù)勾股定理即可求ED，據(jù)此即可求得．【詳解】解：點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為點(diǎn)E如圖：在圓E上任取一點(diǎn)F，連接EF、DF、EP、PD當(dāng)點(diǎn)E、P、D在一條直線上時(shí)，PD最小理由如下：，EP=EF(當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)P重合時(shí)取等號)此時(shí)PD最小，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，EP是圓的半徑在中，故PD的最小值為8故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，最短距離問題，勾股定理，確定點(diǎn)P的位置是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】利用已知條件，可知∠BPA=90°，P點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點(diǎn)P，CP即為最小值，進(jìn)行計(jì)算求值即可．【詳解】解：∵∠ABC=90°，∠PAB=∠PBC，∴∠PBA+∠PBC=90°，∠PBA+∠PAB=90°，∴∠BPA=90°，∴P點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，如圖，O為圓心，連接OC，OC與圓O的交點(diǎn)P，CP即為最小值∵AB=6，∴OB=OP=3，∵BC=5，∴OC=,∴CP=，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的圓中幾何問題的綜合運(yùn)用，掌握圓的基礎(chǔ)性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算求值是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)例題：（2022·湖南婁底·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若，則的度數(shù)是（

）A．50° B．60° C．70° D．100°【答案】D【解析】【分析】首先圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，∵點(diǎn)A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=2∠BAD=100°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角的性質(zhì)與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．【變式訓(xùn)練】1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)九年級期中）在中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)D在上，則的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，利用菱形性質(zhì)可得，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：，即可求出．【詳解】解：設(shè)，則∵四邊形OABC為菱形，∴，∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，∴，即．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是找出．2．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（

）．A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，可求出∠C的度數(shù)，然后利用三角形的外角可得∠DEB＞∠C，即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=60°，∴∠C=180°-∠A=120°，∵∠DEB是△DCE的一個(gè)外角，∴∠DEB＞∠C，∴∠DEB的度數(shù)可能是：125°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·山東威?！ぞ拍昙壠谀┤鐖D，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，若＝36°，則∠OAB＝（

）A．18° B．54° C．36° D．72°【答案】B【解析】【分析】利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半得到∠AOB，再用等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵∠AOB＋∠OAB＋∠OBA＝180°，∴∠OAB＝（180°－∠AOB）＝54°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，利用一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半解答是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山西·中考真題）如圖，內(nèi)接于，AD是的直徑，若，則的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°【答案】C【解析】【分析】首先連接CD，由AD是的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得，又由圓周角定理，可得，再用三角形內(nèi)角和定理求得答案．【詳解】解：連接CD，∵AD是的直徑，∴．∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江麗水·三模）如圖，，，，四個(gè)點(diǎn)均在上，，，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接AB，由△AOB是等腰三角形，∠AOB＝70°，求得∠OBA的度數(shù)，由得到∠DAO的度數(shù)，由得到∠ADC的度數(shù)，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可得到答案．【詳解】解：連接AB，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∵∠OAB＋∠OBA＋∠AOB＝180°，∠AOB＝70°，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝55°，∵，∴∠DAO＝∠AOB＝70°，∵，∴∠ADC＝180°－∠DAO＝180°－70°＝110°，∵，，，四個(gè)點(diǎn)均在上，∴四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，∴∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠ABO＋∠OBC＝180°，∴∠OBC＝180°－∠ADC－∠ABO＝15°．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，是的兩條直徑，E是劣弧的中點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】連接OE，由題意易得，則有，然后可得，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理可求解．【詳解】解：連接OE，如圖所示：∵OB=OC，，∴，∴，∵E是劣弧的中點(diǎn)，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及垂徑定理，熟練掌握圓周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點(diǎn)G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°【答案】C【解析】【分析】先求出∠COB的度數(shù)，由圓周角定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系求出∠ABD=45°，即可得到答案．【詳解】解：∵∠COD=126°，∴∠COB=54°，∴，∵BD是圓O的直徑，∴∠BAD=90°，∵，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，直徑所對的圓周角是直角，等弧所對的弦相等，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·湖南邵陽·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的兩點(diǎn)，若，則∠C的度數(shù)為___________．【答案】36°##36度【解析】【分析】連接AD，由直徑所對的圓周角是直角得∠ADB=90°，即可求得∠DAB的度數(shù)，由同圓中相等的弧所對的圓周角相等即可得∠C的度數(shù)．【詳解】如圖，連接AD．∵AB是直徑，∴∠ADB=90°．∴．∴∠C=∠DAB=36°．故答案為：36°．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角、同圓中相等的弧所對的圓周角相等，掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·浙江湖州·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足為C，OC的延長線交⊙O于點(diǎn)D．若∠APD是所對的圓周角，則∠APD的度數(shù)是______．【答案】30°##30度【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理得出∠AOB=∠BOD，進(jìn)而求出∠AOD=60°，再根據(jù)圓周角定理可得∠APD=∠AOD=30°．【詳解】∵OC⊥AB，OD為直徑，∴，∴∠AOB=∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°，∴∠APD=∠AOD=30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵．8．（2022·安徽宿州·模擬預(yù)測）如圖，是的外接圓，，的平分線交于點(diǎn)D，的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，若的直徑是，則DE的長為_______．【答案】1【解析】【分析】連接CD，根據(jù)AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，結(jié)合圓周角定理和三角形外角性質(zhì)，得出，根據(jù)直徑所對的圓周角為90°，結(jié)合BD=CD，，利用勾股定理，求出，即可求出．【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴，∴，，∵為直徑，且，∴∠BDC=90°，∴，∴，∴，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵，，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，作出輔助線，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．9．（2022·陜西咸陽·九年級期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，連接BE，點(diǎn)P在BE上，連接AP，若，則面積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】若要使的面積最大，底AB固定，故只要AB邊上的高最大時(shí)，即三角形面積最大；可證，故可知點(diǎn)P在△APB的外接圓的劣弧上，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧的中點(diǎn)處，△APB的面積最大，求出AB邊上的高即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=6，AB//CD，∴∵，∴即，∵，∴，∵，∴點(diǎn)P在在△APB的外接圓上，若要使的面積最大，底AB固定，，故只要AB邊上的高最大時(shí)，即三角形面積最大；此時(shí)點(diǎn)P在劣弧的中點(diǎn)處，如圖，設(shè)點(diǎn)O為△APB的外接圓的圓心，OP⊥AB于點(diǎn)F，∴，,∴∴由勾股定理得，∴∴PF=∴即面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的面積公式，解直角三角形，垂徑定理等知識(shí)，正確作出輔助圓，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8，BC=6，∠B=60°，∠C=120°，點(diǎn)O、E分別是AB、CD的中點(diǎn)，OH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)P是邊BC上的一點(diǎn)，連接OP，將△OHP沿著OP所在直線翻折，點(diǎn)H的對應(yīng)點(diǎn)為H′，當(dāng)H′E取最小值時(shí)邊CD的長為_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，CD∥AB，當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE長最短；當(dāng)O、H′、E三點(diǎn)共線時(shí)，H′E取得最小值，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵∠B=60°，∠C=120°，∴CD∥AB，∴當(dāng)OE⊥AB時(shí)，OE長最短；根據(jù)折疊的性質(zhì)，OH=OH′，∴點(diǎn)H′在以O(shè)為圓心，OH為半徑的一段弧上，當(dāng)O、H′、E三點(diǎn)共線時(shí)，H′E取得最小值，如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，∴四邊形OECF為矩形，∴OF=CE，∵∠B=60°，BC=6，∴BF=BC=3，∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，且AB=8，∴OB=4，∴CE=OF=1，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴CD=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓的相關(guān)概念，矩形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．三、解答題11．（2022·廣東·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．(1)試判斷的形狀，并給出證明；(2)若，，求的長度．【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；證明見解析；(2)；【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根據(jù)等弧對等角可得∠ACB=∠CAB，即可證明；（2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可；(1)證明：∵AC是圓的直徑，則∠ABC=∠ADC=90°，∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，∴∠ACB=∠CAB，∴△ABC是等腰直角三角形；(2)解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AB=，∴AC=，Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，則CD=，∴CD=．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；掌握等弧對等角是解題關(guān)鍵．12．（2022·遼寧沈陽·二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使，連接BD，ED．(1)求證：；(2)若，，⊙O的直徑長為．【答案】(1)見解析(2)10【解析】【分析】（1）根據(jù)同弧所對的弦相等可得AD=CD，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠A=∠DCE，證明△ABD≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論；（2）連接OA，OD，根據(jù)圓周角定理，可得∠AOD=60°，根據(jù)等邊三角形的判定定理可得△AOD是等邊三角形，故半徑為5，即可求得直徑．(1)證明：∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴，∴AD=CD，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A=∠DCE，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD=ED．(2)解：連接OA，OD，如圖，∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴，∴∠ABD=∠CBD=，∴∠AOD=2∠ABD=2×30°=60°，∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形，∴半徑OA=AD=5，∴直徑長=10．故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同弧所對的弦相等、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)．13．（2021·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)雙溝中學(xué)一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB=AC，BD交AC于點(diǎn)E，延長AD，BC交于點(diǎn)F，且CF=AC．(1)求證∶CD=AD；(2)若AD=，AB=，求FD的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAF=∠F，再由圓周角定理即可證明；（2）過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AG=FG，然后根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．(1)證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CF=AC，∴∠CAF=∠F，∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，∴∠CAD=∠ACD，∴CD=AD；(2)如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，∵AC=CF=AB=2，∴AG=FG，在Rt?ACG中，根據(jù)勾股定理可得：，在Rt?DCG中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，由（1）知：CD=AD=，∴AG=AD+DG=+DG，∴8-3=，解得：，∴AG=，∴FD=，∴FD的長為．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．14．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級學(xué)業(yè)考試）如圖，、為的弦，與相交于點(diǎn)，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接、，若為直徑，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，的面積為6，求的長．【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析(3)10【解析】【分析】(1)連接BD，由得到∠B=∠D即可證明BE=DE；(2)連接AF，由AB⊥CD得到∠BED=90°，由(1)中結(jié)論得到∠EBD=∠EDB=45°，由同弧所對的圓周角相等得到∠EBD=∠AFD=45°，最后根據(jù)DF是直徑得到∠DAF=90°即可證明；(3)連接EF，過F點(diǎn)作FH⊥AB于H點(diǎn)，證明CF∥BE，設(shè)CF=a，CE=b，得到，進(jìn)而得到；再證明四邊形CEHF為矩形得到a+b=8，進(jìn)而求出a、b的值，最后在在Rt△CDF中由勾股定理求出，在等腰Rt△ADF中，．(1)證明：連接DB，如下圖所示：∵，∴∠B=∠D，∴△EDB為等腰三角形，∴ED=EB．(2)證明：連接AF，如下圖所示：∵AB⊥CD，∴∠BED=90°，由(1)中結(jié)論得到∠EBD=∠EDB=45°，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠EBD=∠AFD=45°，∵DF是直徑，∴∠DAF=90°，在Rt△ADF中，∠ADF=90°-∠AFD=90°-45°=45°．(3)解：連接EF，過F點(diǎn)作FH⊥AB于H點(diǎn)，如下圖所示：∵DF為直徑，∴∠DCF=90°=∠DEB，∴CF∥BE，設(shè)CF=a，CE=b，∴，∴，∵∠DCF=∠CEH=∠EHF=90°，∴四邊形CEHF為矩形，∴EH=CF=a，HF=CE=b，由(2)知，∠ABF=∠ADF=45°，∴△BFH為等腰直角三角形，∴HB=HF=b，又ED=EB=8，∴EB=EH+HB=a+b=8，聯(lián)立：，解得：或，又已知，即，∴舍去，∴CF=2，CE=6，∴在Rt△CDF中，由勾股定理可知：,在等腰Rt△ADF中，．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理、勾股定理運(yùn)用、等腰三角形的性質(zhì)等，綜合性強(qiáng)，難度較大．15．（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校模擬預(yù)測