蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練專題23一次函數(shù)與二元一次方程組、一元一次方程、一元一次不等式(原卷版+解析)

專題23一次函數(shù)與二元一次方程組、一元一次方程、一元一次不等式考點一兩直線的交點與二元一次方程組的解考點二圖象法解二元一次方程組考點三求直線圍成的圖形面積考點四已知直線與坐標軸交點求方程的解考點五由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點考點六利用圖象法解一元一次方程考點七由直線與坐標軸的交點求不等式的解集考點八根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集考點一兩直線的交點與二元一次方程組的解例題：（2022·上?！y試·編輯教研五八年級期中）已知函數(shù)與的交點坐標為，則方程組的解為______．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東省臨邑縣宿安中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知直線與的交點為，則方程組的解是___________．2．（2022·福建·上杭縣第三中學(xué)八年級階段練習(xí)）如果直線與直線的交點坐標是，則方程組的解是____________．考點二圖象法解二元一次方程組例題：（2022·陜西·無八年級期中）如圖，直線與交點的橫坐標為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系內(nèi)，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則關(guān)于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．2．（2022·山東·夏津縣萬隆實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，直線l1：y=x+2與直線l2：y=mx+n相交于點P（2，4），則關(guān)于x，y的方程組的解為___________．3．（2022·江西·贛州市贛縣區(qū)思源實驗學(xué)校八年級期末）如圖，一次函數(shù)與圖像的交點是，觀察圖像，直接寫出方程組的解為__________．考點三求直線圍成的圖形面積例題：（2022·江西·南城縣教育體育事業(yè)發(fā)展中心八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點和點，與軸交于點，經(jīng)過點的另一直線與軸的正半軸交于點，與軸交于點．(1)求點的坐標及直線的解析式；(2)求四邊形的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西·西安市第三中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線AC交軸于點，交直線于點，有一動點M在線段和線段上運動．(1)求直線的表達式．(2)分別求出與的面積．(3)是否存在點M，使的面積是的面積的？若存在求出點M的坐標．2．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點、，的圖象與軸，軸分別交于點、，且兩個函數(shù)圖象相交于點．(1)填空：______，______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(4)點在線段上，連接，若是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點坐標．考點四已知直線與坐標軸交點求方程的解例題：（2022·四川·西昌市川興中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知直線，則方程的解等于（

）A．0 B．2 C．4 D．1【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·夏津縣萬隆實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）直線過點（2，0）和點（0，），則關(guān)于x的方程的解是___________．2．（山東省濟南市高新區(qū)2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）一次函數(shù)的圖像如圖所示，則方程的解是___________．3．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，直線AB是一次函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程的解是，則直線AB的函數(shù)關(guān)系式為_________．考點五由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點例題：（2022·四川·江油外國語學(xué)校八年級期末）已知關(guān)于x的方程ax﹣b＝1的解為x＝﹣2，則一次函數(shù)y＝ax﹣b﹣1的圖象與x軸交點的坐標為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖北·思源實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知方程的解是，則函數(shù)與軸的交點坐標是______．2．（2022·山東濱州·八年級期末）已知關(guān)于的方程的解為，則一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標為___________．考點六利用圖象法解一元一次方程例題：（2022·遼寧·遼陽市第二十六中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點，則關(guān)于x的方程的解是___________.【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·吳川市第一中學(xué)八年級期末）如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像交于點P（1，3），則關(guān)于x的方程的解是_____．2．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y＝﹣x+2．(1)求該直線與坐標軸的交點坐標；(2)畫出一次函數(shù)的圖象；(3)由圖可知，若方程﹣x+2＝0，則方程的解為．考點七由直線與坐標軸的交點求不等式的解集例題.（2022·山東省臨邑縣宿安中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)，的圖象經(jīng)過、兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·上杭縣第三中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，直線與軸的交點坐標是，則時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海奉賢·九年級階段練習(xí)）如圖，直線與x軸交于點，那么不等式的解集為_____．3．（2022·安徽·無為縣實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象解決下列問題：(1)求方程的解；(2)求不等式＜0的解集；(3)若，求y的取值范圍．考點八根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集例題：（2022·安徽安慶·八年級期中）如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點P（1，3），則關(guān)于x的不等式的解集是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽合肥·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，若直線與直線相交于點P，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式組的解集是D．方程組的解是2．（2022·江蘇·如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，直線和交于點，直線交x軸于點，那么不等式組的解集是_____．3．（2022·安徽·鳳陽縣大溪河中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知直線分別與x，y軸交于點A、B，與直線相交于點C，點P為直線上一點．(1)求n和k的值；(2)若點P在射線上，且，求點P的坐標；(3)觀察函數(shù)圖象，請直接寫出不等式的解集．一、選擇題1．（2022·浙江·杭州外國語學(xué)校九年級期中）函數(shù)和的圖象交于點，則不等式的解集為()A． B． C． D．2．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與函數(shù)的圖象交于點，則關(guān)于的方程的解為（

）A． B． C． D．3．（2022·山東省平邑賽博中學(xué)八年級期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，直線和直線相交于點，根據(jù)圖象可知，不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)和的圖象如圖所示，則二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．5．（2022·重慶市潼南區(qū)教育科學(xué)研究所八年級期末）一次函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示．根據(jù)圖象有下列五個結(jié)論：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題6．（2022·山東濟南·八年級期中）如圖，直線（）過點，則關(guān)于的方程的解為___________；7．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)八年級期中）如圖，直線交坐標軸于，，當(dāng)時，y的取值范圍是________．8．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，直線與直線交于點，則方程的解為______．9．（2021·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)八年級期中）如圖，直線：與直線：相交于點，則關(guān)于，的方程組的解為_________．10．（2022·四川·渠縣東安雄才學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線（k，b是常數(shù)，）與直線相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集為________．三、解答題11．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知直線和直線，(1)當(dāng)時，與相交于一點，這個點的坐標是；(2)當(dāng)時，，此時方程組的解的情況是；(3)當(dāng)時，與重合，此時方程組的解的情況是．12．（2022·甘肅酒泉·八年級期中）在平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：(1)方程的解為；(2)時，的取值范圍是．13．（2022·安徽合肥·八年級期中）如圖，直線AB：與坐標軸的交點分別為，，直線與坐標軸交于C，D兩點．(1)求直線AB與直線的交點E的坐標．(2)直接寫出不等式的解集．(3)求四邊形的面積．14．（2022·安徽省安慶市外國語學(xué)校八年級期中）如圖所示，直線：，過點，交y軸于點B，將直線向上平移6個單位得到直線與y軸交于點C，已知直線：與直線交于點D，且過點C，連接．(1)求直線的解析式和點D的坐標；(2)直接寫出關(guān)于x的不等式的解集；(3)求的面積．專題23一次函數(shù)與二元一次方程組、一元一次方程、一元一次不等式考點一兩直線的交點與二元一次方程組的解考點二圖象法解二元一次方程組考點三求直線圍成的圖形面積考點四已知直線與坐標軸交點求方程的解考點五由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點考點六利用圖象法解一元一次方程考點七由直線與坐標軸的交點求不等式的解集考點八根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集考點一兩直線的交點與二元一次方程組的解例題：（2022·上?！y試·編輯教研五八年級期中）已知函數(shù)與的交點坐標為，則方程組的解為______．【答案】##【分析】根據(jù)兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標為兩個函數(shù)解析式組成的方程組的解，即可得出答案．【詳解】解：方程組可變?yōu)椋?，函?shù)與的交點坐標為，方程組的解為：，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程（組），解題的關(guān)鍵是掌握兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標與兩個函數(shù)解析式組成的方程組的解之間的關(guān)系．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東省臨邑縣宿安中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知直線與的交點為，則方程組的解是___________．【答案】【分析】由兩個一次函數(shù)的交點坐標同時滿足兩個一次函數(shù)的解析式，從而可得方程組的解．【詳解】∵方程組的解是直線與的交點的交點坐標，∴方程組，即的解是．故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖像的交點坐標與方程組的解的聯(lián)系，掌握“兩個一次函數(shù)的交點坐標是由函數(shù)解析式組成的方程組的解”是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·上杭縣第三中學(xué)八年級階段練習(xí)）如果直線與直線的交點坐標是，則方程組的解是____________．【答案】【分析】根據(jù)兩條直線的交點坐標應(yīng)該是，聯(lián)立兩個一次函數(shù)解析式所組方程組的解，即可直接得到答案．【詳解】解：∵直線與直線的交點坐標是，∴方程組的解是，故答案為：【點睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)與方程組的關(guān)系．考點二圖象法解二元一次方程組例題：（2022·陜西·無八年級期中）如圖，直線與交點的橫坐標為1，則關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可以得到兩個函數(shù)交點坐標，從而可以得到兩個函數(shù)聯(lián)立的二元一次方程組的解．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖可知，直線與交點的橫坐標為1，把代入，可得，可變形為，可變形為，故關(guān)于x、y的二元一次方程組的解為，故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)與二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系內(nèi)，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則關(guān)于x，y的方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解，求解即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=k1x+b1與y=k2x+b2交于點A（-4，-2），∴方程組的解是，故選：B．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，函數(shù)解析式與圖象的關(guān)系，滿足解析式的點就在函數(shù)的圖象上，在函數(shù)的圖象上的點，就一定滿足函數(shù)解析式．函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解．2．（2022·山東·夏津縣萬隆實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，直線l1：y=x+2與直線l2：y=mx+n相交于點P（2，4），則關(guān)于x，y的方程組的解為___________．【答案】##【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，方程組的解就是兩函數(shù)的交點，從而得到答案．【詳解】與相交于點，關(guān)于x，y的方程組的解為，故答案為．【點睛】此題主要考察了二元一次方程組和一次函數(shù)的關(guān)系，掌握方程組的解就是兩函數(shù)交點這一規(guī)律是此題的解題關(guān)鍵．3．（2022·江西·贛州市贛縣區(qū)思源實驗學(xué)校八年級期末）如圖，一次函數(shù)與圖像的交點是，觀察圖像，直接寫出方程組的解為__________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖像即可得．【詳解】解：由圖像得，兩直線相交于點（2，3），∴方程組的解為：，故答案為：．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像求二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)的圖像．考點三求直線圍成的圖形面積例題：（2022·江西·南城縣教育體育事業(yè)發(fā)展中心八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線經(jīng)過點和點，與軸交于點，經(jīng)過點的另一直線與軸的正半軸交于點，與軸交于點．(1)求點的坐標及直線的解析式；(2)求四邊形的面積．【答案】(1)點的坐標為，(2)【分析】（1）待定系數(shù)法求得直線的解析式為：，繼而求得點的坐標，待定系數(shù)法求解析式求得的解析式；（2）過點作，垂足為，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得：，直線的解析式為：，當(dāng)時，，點的坐標為，把點代入得，，解得：，點的坐標為，設(shè)直線的解析式為：，把，代入得：，解得：，直線的解析式為：；（2）過點作，垂足為，點的坐標為，，，，，，，，，四邊形的面積為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，求三角形面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·陜西·西安市第三中學(xué)八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線AC交軸于點，交直線于點，有一動點M在線段和線段上運動．(1)求直線的表達式．(2)分別求出與的面積．(3)是否存在點M，使的面積是的面積的？若存在求出點M的坐標．【答案】(1)(2)，(3)存在，或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）求利用三角形的面積公式即可求解；（3）當(dāng)?shù)拿娣e是的面積的時，根據(jù)面積公式即可求得M的橫坐標，然后代入解析式即可求得M的坐標．【詳解】（1）解：設(shè)直線的關(guān)系式為，將代入中得：，①代入②得，∴；（2）解：，當(dāng)時，，∴，∴，∴；（3）解：設(shè)直線的關(guān)系為，將代入得，∴解析式為：，設(shè)的橫坐標為∵，∴，∴，∴，又∵M在線段和線段，∴，當(dāng)時，代入得：，當(dāng)時，代入，得，∴或．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形面積求法、坐標與圖形等知識，利用面積求出M點橫坐標再分別求解是解題關(guān)鍵．2．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點、，的圖象與軸，軸分別交于點、，且兩個函數(shù)圖象相交于點．(1)填空：______，______；(2)求的面積；(3)在線段上是否存在一點，使得的面積與四邊形的面積比為？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(4)點在線段上，連接，若是直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點坐標．【答案】(1)，(2)(3)存在的坐標為(4)，【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)，相交于點，將點戴如意解析式，解方程組即可求解；（2）先求得的坐標，求得的長，繼而根據(jù)三角形面積公式即可求解；（3）根據(jù)的面積與四邊形的面積比為，求得，即可就得點的坐標，（4）當(dāng)點在線段上時，是銳角，若是直角三角形，則或，分類討論，即可求解．【詳解】（1）∵一次函數(shù)，相交于點．∴解得；（2）一次函數(shù)，令，得，令，得，∴，∴一次函數(shù)中，當(dāng)，∴∴，∴即的面積為；（3）存在一點，使得的面積與四邊形的面積比為則，∴，即，∴，∴，即的坐標為；（4）當(dāng)點在線段上時，是銳角，若是直角三角形，則或①當(dāng)時，∴軸∵∴②如圖，當(dāng)時∵，，∴，設(shè)則，∵是直角三角形，，∴∴解得∴綜上所述，點的坐標為，．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，勾股定理，直線圍成的三角形的面積，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點四已知直線與坐標軸交點求方程的解例題：（2022·四川·西昌市川興中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知直線，則方程的解等于（

）A．0 B．2 C．4 D．1【答案】A【分析】觀察圖形可直接得出答案．【詳解】解：根據(jù)圖形知，當(dāng)y=-1時，x=0，即ax+b=-1時，x=0．∴方程ax+b=-1的解x=0，故選A．【點睛】此題考查一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系，滲透數(shù)形結(jié)合的解題思想方法．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東·夏津縣萬隆實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）直線過點（2，0）和點（0，），則關(guān)于x的方程的解是___________．【答案】【分析】一次函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為一元一次方程的解．【詳解】解：∵直線與x軸的交點坐標是（2，0），∴關(guān)于x的方程的解是x=2．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：一次函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為一元一次方程的解．2．（山東省濟南市高新區(qū)2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）一次函數(shù)的圖像如圖所示，則方程的解是___________．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像可知，當(dāng)時，即一次函數(shù)圖像與軸的交點，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，當(dāng)時，一次函數(shù)圖像與軸的交點是，∴方程的解是，故答案是：．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)圖像與坐標軸的交點，根據(jù)一次函數(shù)圖像在坐標軸中與軸，軸的交點即可求解一次函數(shù)的解析式，解決本題的關(guān)鍵是理解一次函數(shù)圖像與軸，軸的交點．3．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，直線AB是一次函數(shù)的圖象，若關(guān)于x的方程的解是，則直線AB的函數(shù)關(guān)系式為_________．【答案】【分析】將代入進行求解即可得到解答．【詳解】解：∵的解是，∴將其代入得，解得，∴直線AB的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：．【點睛】本題考查了求解一次函數(shù)，將代入已知方程進行求解是解決本題的關(guān)鍵．考點五由一元一次方程的解判斷直線與x軸的交點例題：（2022·四川·江油外國語學(xué)校八年級期末）已知關(guān)于x的方程ax﹣b＝1的解為x＝﹣2，則一次函數(shù)y＝ax﹣b﹣1的圖象與x軸交點的坐標為_____．【答案】（?2，0）【分析】當(dāng)y＝0時，ax?b?1＝0，可得ax?b＝1，根據(jù)題意可得圖象與x軸的交點坐標．【詳解】解：當(dāng)y＝0時，ax?b?1＝0，∴ax?b＝1，∵關(guān)于x的方程ax?b＝1的解為x＝?2，∴一次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），故答案為：（?2，0）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標特征是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖北·思源實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）已知方程的解是，則函數(shù)與軸的交點坐標是______．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系交點坐標即可．【詳解】解：方程的解是，函數(shù)與軸的交點坐標是．故答案為：．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，正確把握方程與函數(shù)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．（2022·山東濱州·八年級期末）已知關(guān)于的方程的解為，則一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標為___________．【答案】（-5，0）【分析】根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的解為，∴一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標為（-5，0），故答案為：（-5，0）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，熟練掌握兩者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．考點六利用圖象法解一元一次方程例題：（2022·遼寧·遼陽市第二十六中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，直線與相交于點，則關(guān)于x的方程的解是___________.【答案】【分析】首先利用函數(shù)解析式求出的值，然后再根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點橫坐標就是關(guān)于的方程的解可得答案．【詳解】解：直線與相交于點，，，，當(dāng)時，，關(guān)于的方程的解是，故答案為：．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是求得兩函數(shù)圖象的交點坐標．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·吳川市第一中學(xué)八年級期末）如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像交于點P（1，3），則關(guān)于x的方程的解是_____．【答案】x=1【分析】根據(jù)已知得到兩函數(shù)的交點P的坐標，然后利用兩個一次函數(shù)圖像的交點的橫坐標就是方程的解，即可解答．【詳解】解：∵一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像交于點P（1，3）∴關(guān)于x的方的解是．故答案為：．【點睛】本題主要考查兩個一次函數(shù)的交點與一元一次方程的解的關(guān)系，兩個一次函數(shù)的交點的橫坐標即為對應(yīng)一元一次方程的解．2．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y＝﹣x+2．(1)求該直線與坐標軸的交點坐標；(2)畫出一次函數(shù)的圖象；(3)由圖可知，若方程﹣x+2＝0，則方程的解為．【答案】(1)與x軸的交點坐標為（4，0），與y軸的交點坐標為（0，2）(2)見解析(3)x=4．【分析】（1）分別令x=0和y=0即可求出與y軸和x軸的坐標；（2）根據(jù)（1）中結(jié)果即可畫出圖象；（3）直接根據(jù)圖象解答即可．（1）解：當(dāng)x=0時，y＝0+2=2，∴與y軸的交點坐標為（0，2）．當(dāng)y=0時，0＝﹣x+2，∴x=4，∴與x軸的交點坐標為（4，0）．（2）解：如圖，（3）解：圖可知，若方程﹣x+2＝0，則方程的解為x=4．故答案為：x=4．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，畫一次函數(shù)圖象，以及利用函數(shù)圖象解方程等知識，熟練掌握各知識點是解答本題的關(guān)鍵．考點七由直線與坐標軸的交點求不等式的解集例題.（2022·山東省臨邑縣宿安中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)，的圖象經(jīng)過、兩點，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】不等式表示的含義是：一次函數(shù)圖象在x軸下方部分所對自變量x的取值范圍，結(jié)合圖象即可作答．【詳解】∵一次函數(shù)，的圖象經(jīng)過、兩點，如圖，∵不等式表示的含義是：一次函數(shù)的圖象在x軸下方部分所對自變量x的取值范圍，∴結(jié)合圖象可知：的解集為：，故選：B．【點睛】此題考查的是一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系，掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)與一元一次不等式的解集的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵．解答此類題目時要注意數(shù)形結(jié)合的思想．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·上杭縣第三中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，直線與軸的交點坐標是，則時，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察函數(shù)圖象可知：y隨x的增大而增大，結(jié)合直線與x軸交于點，即可得出當(dāng)時x的取值范圍．【詳解】解：觀察函數(shù)圖象，可知：y隨x的增大而增大．∵直線與x軸交于點，∴當(dāng)時，．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及一次函數(shù)的性質(zhì)，觀察函數(shù)圖象，找出y隨x的增大而增大是解題的關(guān)鍵．2．（2022·上海奉賢·九年級階段練習(xí)）如圖，直線與x軸交于點，那么不等式的解集為_____．【答案】【分析】利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線與x軸交于點，∴關(guān)于x的不等式的解集為．故答案為：．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次不等式，能利用數(shù)形結(jié)合求出不等式的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022·安徽·無為縣實驗中學(xué)八年級階段練習(xí)）在如圖所示的平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，并利用圖象解決下列問題：(1)求方程的解；(2)求不等式＜0的解集；(3)若，求y的取值范圍．【答案】(1)圖見解析，x=2(2)(3)【分析】（1）令求得一次函數(shù)與坐標軸的交點坐標，過兩點作出函數(shù)圖象即可，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解；（2）根據(jù)一次函數(shù)與軸的交點坐標，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解；（3）分別求得與時的函數(shù)值，然后根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．（1）解：當(dāng)時，當(dāng)時，，在坐標系中畫出的圖象，如圖，∵與軸的交點坐標為，∴方程的解為：；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，＜0，∴不等式＜0的解集為：（3）∵時，，當(dāng)時，，根據(jù)函數(shù)圖象可知，隨的增大而減小，∴當(dāng)時，．【點睛】本題考查了畫一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)與坐標軸的交點，求不等式的解集，求一次函數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．考點八根據(jù)兩條直線的交點求不等式的解集例題：（2022·安徽安慶·八年級期中）如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點P（1，3），則關(guān)于x的不等式的解集是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖象可知當(dāng)時，，整理后得到，即可得到答案．【詳解】解：由圖象可知當(dāng)時，，則，即，∴關(guān)于x的不等式的解集是．故選：C．【點睛】此題考查了根據(jù)兩直線的交點求不等式的解集，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·安徽合肥·八年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，若直線與直線相交于點P，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．不等式組的解集是D．方程組的解是【答案】D【分析】A．根據(jù)兩條直線交點P的坐標是，得到方程的解是，正確；B．根據(jù)不等式的解集與不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，正確；C．把代入，得到，當(dāng)時，，得到不等式的解集是，根據(jù)不等式的解集是，得到不等式組的解集是，正確；D．根據(jù)方程組的解才是，得到此結(jié)論錯誤．【詳解】A．∵直線與直線相交于點，∴方程的解是，∴此結(jié)論正確，不符合題意；B．∵不等式的解集是，不等式的解集是，∴不等式和不等式的解集相同，∴此結(jié)論正確，不符合題意；C．把代入，得，，解得，，∴，∴時，，∴不等式的解集是，∵不等式的解集是，∴不等式組的解集是，∴此結(jié)論正確，不符合題意；D．∵方程組的解才是，∴此結(jié)論錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式（組）的關(guān)系．2．（2022·江蘇·如皋市石莊鎮(zhèn)初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，直線和交于點，直線交x軸于點，那么不等式組的解集是_____．【答案】【分析】根據(jù)圖象，找出直線和的交點坐標和直線交x軸的交點坐標，即可解答．【詳解】解：由圖可知：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據(jù)一次函數(shù)交點坐標以及與坐標軸的交點，求解不等式的解集，解題的關(guān)鍵是具有數(shù)形結(jié)合的思想．3．（2022·安徽·鳳陽縣大溪河中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知直線分別與x，y軸交于點A、B，與直線相交于點C，點P為直線上一點．(1)求n和k的值；(2)若點P在射線上，且，求點P的坐標；(3)觀察函數(shù)圖象，請直接寫出不等式的解集．【答案】(1)，(2)P(3)【分析】（1）把點C代入解析式中，可直接求出n的值；再把點C的坐標代入中，即可求出k的值；（2）先根據(jù)解析式可求出點A和點B的值，進而可求出的面積，則可求出的面積和的面積，過點P作x軸的垂線，表示出的面積，建立方程即可；（3）根據(jù)圖象即可求得．【詳解】（1）把點C代入解析式中，得，∴C，把點C的坐標代入中，則，解得；（2）∵直線分別與x，y軸交于點A、B，∴A，B，過點C作軸于點M，∴，∴，∴，∵點P在射線上，∴，過點P作軸于點N，∴，∴，∴，令，則，解得，∴P；（3）由圖象可知，不等式的解集為．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積以及函數(shù)與不等式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想．一、選擇題1．（2022·浙江·杭州外國語學(xué)校九年級期中）函數(shù)和的圖象交于點，則不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用正比例函數(shù)解析式確定點坐標，然后觀察函數(shù)圖得到當(dāng)時，的圖象都在直線的上方，由此得到不等式的解集．【詳解】解：把代入得，解得，所以A點坐標為，把代入得解得如圖，∴當(dāng)時，．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于(或小于)0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上(或下)方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合．2．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與函數(shù)的圖象交于點，則關(guān)于的方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用正比例函數(shù)解析式確定A點坐標，兩函數(shù)圖象交點的橫坐標就是關(guān)于x的方程的解．【詳解】解：當(dāng)時，，解得，則，當(dāng)時，，關(guān)于的方程的解為，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，根據(jù)圖形找出兩函數(shù)圖象交點的橫坐標是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東省平邑賽博中學(xué)八年級期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，直線和直線相交于點，根據(jù)圖象可知，不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖象求得交點坐標，根據(jù)直線的圖象位于直線圖象的上方，即可求解．【詳解】由題意可知：直線與直線相交于，結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時，直線的圖象位于直線圖象的上方，即關(guān)于的不等式的解集為：．故選A．【點睛】本題考查了根據(jù)兩直線交點坐標求不等式的解集，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)和的圖象如圖所示，則二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是兩函數(shù)組成的方程組的解．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx和y=-x+3的圖象交于點（1，2），∴二元一次方程組的解為．故選：A．【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，關(guān)鍵是掌握二元一次方程（組）與一次函數(shù)的關(guān)系．5．（2022·重慶市潼南區(qū)教育科學(xué)研究所八年級期末）一次函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示．根據(jù)圖象有下列五個結(jié)論：①a＞0；②n<0；③方程的解是x＝1；④不等式的解集是x＞0；⑤不等式的解集是x≤-2．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，即可判斷①；根據(jù)一次函數(shù)與x軸、y軸的交點即可判斷②③；利用圖象法即可判斷④⑤．【詳解】解：∵一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，∴，故①正確；∵一次函數(shù)與y軸交于負半軸，與x軸交于（-1，0），∴，方程的解是x＝-1，故②正確，③不正確；由函數(shù)圖象可知不等式的解集是x＞0，故④正確；由函數(shù)圖象可知，不等式的解集是x≥-2，故⑤不正確；∴正確的一共有3個，故選C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，圖象法解不等式，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·山東濟南·八年級期中）如圖，直線（）過點，則關(guān)于的方程的解為___________；【答案】【分析】方程的解就是當(dāng)時一次函數(shù)與軸的交點橫坐標．【詳解】解：方程的解，即為函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標，∵直線過，∴方程的解是，故答案為：．【點睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為（為常數(shù)，）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為時，求相應(yīng)的自變量的值．從圖像上看，相當(dāng)于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值．7．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)八年級期中）如圖，直線交坐標軸于，，當(dāng)時，y的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)圖象可知：當(dāng)時，圖象在y軸的右側(cè)，此時，即可得解．【詳解】解：根據(jù)圖象可知：當(dāng)時，圖象在y軸的右側(cè)，∵,∴y的取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查一次函數(shù)取值范圍問題，屬于基礎(chǔ)題，利用數(shù)形結(jié)合思想判斷是解題關(guān)鍵．8．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，直線與直線交于點，則方程的解為______．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系即可確定．【詳解】解：根據(jù)題意，可得的解為，故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩者之間的關(guān)系．9．（2021·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)八年級期中）如圖，直線：與直線：相交于點，則關(guān)于，的方程組的解為_________．【答案】【分析】首先利用得到點坐標，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點坐標就是兩函數(shù)組成的二元一次方程組的解可得答案．【詳解】解：∵直線經(jīng)過點，∴，解得，∴，∴關(guān)于，的方程組的解為：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組與一次函數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握兩函數(shù)圖象的交點坐標就是兩函數(shù)組成的二元一次方程組的解．10．（2022·四川·渠縣東安雄才學(xué)校九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，直線（k，b是常數(shù)，）與直線相交于點，則關(guān)于x的不等式的解集為________．【答案】【分析】根據(jù)題意，可知當(dāng)時，，然后再觀察函數(shù)圖像，即可寫出不等式的解集．【詳解】解：由圖像可得，關(guān)于x的不等式的解集為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的知識，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題11．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知直線和直線，(1)當(dāng)時，與相交于一點，這個點的坐標是；(2)當(dāng)時，，此時方程組的解的情況是；(3)當(dāng)時，與重合，此時方程組的解的情況是．【答案】(1)；，(2)，；無解(3)，；方程有無數(shù)個解【分析】（1）若兩條直線有交點，那么它們的傾斜程度是不相等的，故可得，令值相等即可求出的值，從而也可以求出的值；（2）若兩條直線平行，那么它們的傾斜程度必然是相等的，且，此