高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第02章函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)函數(shù)的奇偶性2015·全國(guó)卷Ⅰ·T13·5分利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2014·全國(guó)卷Ⅰ·T3·5分判斷函數(shù)的奇偶性2014·全國(guó)卷Ⅱ·T15·5分解不等式函數(shù)的周期未單獨(dú)考查命題分析函數(shù)的奇偶性的判斷及應(yīng)用、周期性及應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，與函數(shù)概念、圖象、其他性質(zhì)等綜合考查.1．函數(shù)奇偶性定義及圖象特征奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期．提醒：(1)函數(shù)奇偶性的重要結(jié)論①如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．④奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．⑤在公共定義域內(nèi)，有下列結(jié)論成立“奇函數(shù)±奇函數(shù)＝奇函數(shù)”，“偶函數(shù)±偶函數(shù)＝偶函數(shù)”；“奇函數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)”，“偶函數(shù)×偶函數(shù)＝偶函數(shù)”，“奇函數(shù)×偶函數(shù)＝奇函數(shù)”．(2)函數(shù)周期性的重要結(jié)論①周期函數(shù)的定義式f(x＋T)＝f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x是恒成立的，若f(x＋a)＝f(x＋b)，則函數(shù)f(x)的周期為T＝|a－b|.若在定義域內(nèi)滿足f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)(a>0)．則f(x)為周期函數(shù)，且T＝2a為它的一個(gè)周期．②對(duì)稱性與周期的關(guān)系：a．若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a和直線x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．b．若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a－b|是它的一個(gè)周期．c．若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x＝b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，4|a－b|是它的一個(gè)周期．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0.()(2)偶函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)．()(3)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件．()(4)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．()(5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù)答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√2．(教材習(xí)題改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)等于()A．－2 B．0C．1 D．2解析：選Af(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.3．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：選B依題意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝eq\f(1,3)，則a＋b＝eq\f(1,3).4．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2x解析：選B選項(xiàng)A，f(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sinx＝－f(x)，所以為奇函數(shù)；選項(xiàng)B，f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cosx＝f(x)，所以為偶函數(shù)；選項(xiàng)C，f(－x)＝|ln(－x)|，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，所以非奇非偶函數(shù)；選項(xiàng)D非奇非偶函數(shù)．判斷函數(shù)的奇偶性[明技法]判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：即根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義來(lái)判斷；(2)圖象法：即利用奇、偶函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)判斷；(3)性質(zhì)法：即利用在公共定義域內(nèi)奇函數(shù)、偶函數(shù)的和、差、積的奇偶性來(lái)判斷．[提能力]【典例】(1)(2018·肇慶模擬)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝ln(eq\r(x2＋1)－x)C．y＝ex D．y＝lneq\r(x2＋1)(2)(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析：(1)選D由函數(shù)奇偶性的定義知D項(xiàng)為偶函數(shù)．(2)選Cf(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，故f(x)g(x)為奇函數(shù)，|f(x)|g(x)為偶函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，|f(x)g(x)|為偶函數(shù)，故選C.[刷好題]1．(金榜原創(chuàng))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上遞增的函數(shù)為()A．y＝x3 B．y＝|log2x|C．y＝－x2 D．y＝|x|解析：選Dy＝x3是奇函數(shù)；函數(shù)y＝|log2x|的定義域(0，＋∞)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是非奇非偶函數(shù)；y＝－x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y＝|x|是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上遞增，∴D正確．2．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝x3＋3x－3－xC．y＝log3x D．y＝ex解析：選B選項(xiàng)A，y＝－eq\f(1,x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，但其在定義域上不是單調(diào)遞增函數(shù)；選項(xiàng)B，y＝f(x)＝x3＋3x－3－x在其定義域R上是增函數(shù)，又f(－x)＝－x3＋3－x－3x＝－(x3＋3x－3－x)＝－f(x)，所以y＝f(x)為奇函數(shù)；選項(xiàng)C，y＝log3x的定義域?yàn)?0，＋∞)，是增函數(shù)但不是奇函數(shù)；選項(xiàng)D，y＝ex在其定義域R上是增函數(shù)，但為非奇非偶函數(shù)．函數(shù)的周期性[明技法]函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．[提能力]【典例】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)．當(dāng)－3≤x<－1時(shí)，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時(shí)，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝()A．335 B．338C．339 D．340解析：選C由f(x＋6)＝f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[母題變式]本例中若將條件“f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)”改為“f(x)滿足f(x＋3)＝－f(x)”，其他條件不變，則結(jié)果又是什么？解：∵f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期為6.∴f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，故在一個(gè)周期內(nèi)有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(1)＋f(2)＋336×1＝1＋2＋336＝339.[刷好題](2018·阜陽(yáng)檢測(cè))設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.解析：∵f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝2.又當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝2x－x2，∴f(0)＝0，f(1)＝1，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010.答案：1010函數(shù)性質(zhì)的綜合[析考情]函數(shù)的奇偶性、周期性以及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命制試題，其中奇偶性多與單調(diào)性相結(jié)合，而周期性常與抽象函數(shù)相結(jié)合，并以結(jié)合奇偶性求函數(shù)值為主．多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)．[提能力]命題點(diǎn)1：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)【典例1】(2015·全國(guó)卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________.解析：由題意得f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))＝f(－x)＝－xln(eq\r(a＋x2)－x)，所以eq\r(a＋x2)＋x＝eq\f(1,\r(a＋x2)－x)，解得a＝1.答案：1命題點(diǎn)2：利用函數(shù)的奇偶性求值【典例2】(2017·武漢聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝()A．ex－e－x B.eq\f(1,2)(ex＋e－x)C.eq\f(1,2)(e－x－ex) D.eq\f(1,2)(ex－e－x)解析：選D∵f(x)＋g(x)＝ex，①∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)－g(x)＝e－x，②由①②可解得g(x)＝eq\f(ex－e－x,2).故選D.命題點(diǎn)3：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式【典例3】已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，若f(a)≥f(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析：∵y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0]上是減函數(shù)，∴函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．∴當(dāng)a>0時(shí)，由f(a)≥f(2)可得a≥2，當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)≥f(2)＝f(－2)，可得a≤－2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)命題點(diǎn)4：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合【典例4】(2018·煙臺(tái)月考)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)<f(11)解析：選D∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．[悟技法]函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問(wèn)題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性．(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．[刷好題]1．(2018·石家莊質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)解析：選A∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)<1，即eq\f(a－4,a＋1)<0，解得－1<a<4，故選A.2．(2018·哈爾濱質(zhì)檢)定義在R上的偶函