天津市南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第2次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷

2025屆南開中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高三數(shù)學(xué)統(tǒng)練第2次2024年9月25日一?單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.如圖，已知5個成對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下，若去掉點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.變量與變量呈正相關(guān)B.變量與變量的相關(guān)性變強(qiáng)C.殘差平方和變大D.樣本相關(guān)系數(shù)變大4.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.5.已知，則（）A.B.C.D.6.已知向量，且，則的值為（）A.B.C.1D.27.已知，則在上的投影向量是（）A.B.C.D.8.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①若，則；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱.其中所有正確結(jié)論的編號是（）A.①②③B.①③④C.③④D.②④9.已知函數(shù)，關(guān)于的方程在上有四個不同的解，且.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二?填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則__________.11.在中，已知是延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，且，則__________.12.袋中有2個紅球，2個白球，2個黑球共6個球，現(xiàn)有一個游戲：從袋中任取3個球，恰好三種顏色各取到1個則獲獎，否則不獲獎.則獲獎的概率是__________，有3個人參與這個游戲，則恰好有1人獲獎的概率是__________.13.已知函數(shù)（其中），為的最小正周期，且滿足.若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個極值點(diǎn)，則的取值范圍是__________.14.在平面四邊形中，__________；若為邊上的動點(diǎn)，且，則的取值范圍為__________.15.已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個零點(diǎn)，則的取值范圍是__________.三?解答題：本題共5小題，共67分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.（本小題15分）中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知的面積為.（1）求和的值；（2）求的值17.（本小題12分）設(shè)函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱中心；（2）若函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最值.18.（本小題12分）已知向量，且函數(shù).（1）若，求的值；（2）在中，角的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍.19.（本小題12分）已知.（1）求在處的切線方程以及的單調(diào)性；（2）對，有恒成立，求的最大整數(shù)解；（3）令，若有兩個零點(diǎn)分別為且為的唯一的極值點(diǎn)，求證：.20.（本小題16分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)有極大值，試確定的取值范圍；（3）若存在使得成立，求的值.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合交?并?補(bǔ)混合運(yùn)算，為基礎(chǔ)題.先求集合的補(bǔ)集，再求即可.【解答】解：，則.2.【答案】B【解析】解：可得，，反之成立，“”是“”的必要不充分條件.故選：B由可得，即可判斷出結(jié)論.本題考查了三角函數(shù)求值?簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】B【解析】【分析】本題考查了利用散點(diǎn)圖判斷兩個變量的相關(guān)關(guān)系，以及相關(guān)系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)圖中的點(diǎn)，計算去掉前后的相關(guān)系數(shù)?殘差平方和?，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【解答】解：由散點(diǎn)圖可知，去掉點(diǎn)后，與的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為負(fù)相關(guān)，所以正確，錯誤；由于與的線性相關(guān)加強(qiáng)，所以殘差平方和變小，所以錯誤；由于與的線性相關(guān)加強(qiáng)，且為負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)的絕對值變大，而相關(guān)系數(shù)為負(fù)的，所以樣本相關(guān)系數(shù)變小，所以D錯誤.故選：B.4.【答案】D【解析】【分析】本題考查奇偶函數(shù)圖象的對稱性，考查極限思想的運(yùn)用，考查排除法的應(yīng)用，屬于中檔題.由于函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除，結(jié)合特殊情況可排除，從而得到答案D.【解析】解：令，定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除A；當(dāng)時，，排除B；當(dāng)，故可排除C；而D均滿足以上分析，故選：D.5.【答案】D【解析】【分析】本題考查不等式比較大小，掌握對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.利用，即可得到答案.【解答】解：，，即，，即，.故選：D.6.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題.求出的坐標(biāo)后可求的值.【解答】，由可得，解得，故選：C7.【答案】B【解析】【分析】本題考查投影向量的概念，屬于基礎(chǔ)題；根據(jù)在上的投影向量是計算即可解決.【解答】解：由題知，，所以，設(shè)與夾角為，所以在上的投影向量是，故選：B.8.【答案】C【解析】解：由可得是的圖像上的兩個對稱中心，則，又因?yàn)?，故①錯誤；，所有是的對稱中心，故②錯誤；由，解得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故③正確；的圖象向右平移個單位長度后所得函數(shù)為，是偶函數(shù)，所有圖像關(guān)于軸對稱，故④正確，故選：C.①根據(jù)對稱中心性質(zhì)可得是的圖像上的兩個對稱中心，則則，故可判斷①的正誤；②可根據(jù)對稱中心對應(yīng)的函數(shù)值特征進(jìn)行分析；③根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性判斷即可；④求出平移后的解析式并根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.9.【答案】D【解析】解：由己知借助于余弦函數(shù)?對勾函數(shù)的性質(zhì)，作出的圖象：由解得或，顯然，故無解，即有四個解，且，這四個解，分別為的橫坐標(biāo)，由余弦函數(shù)的對稱性知：，而為，即的兩個根，（當(dāng)時，解得或9，故），故，故，所以可化為：恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，即.故選：D.作出的圖象，然后結(jié)合在有四個解，結(jié)合余弦函數(shù)的對稱性，一元二次方程的解法找到四個根滿足的條件，可將結(jié)論表示成關(guān)于根的函數(shù)，最后借助于基本不等式求解.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，同時考查學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，屬于中檔題.10.【答案】【解析】解：由，得，；故答案為：.把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后代入復(fù)數(shù)模的計算公式求解.本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.11.【答案】【解析】【分析】本題考查向量的加法?減法?數(shù)乘運(yùn)算，平面向量的基本定理及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.通過利用向量的運(yùn)算法則，代入化簡即可得出.【解答】解：.故答案為.12.【答案】；【解析】【分析】本題考查了古典概型的概率計算，二項(xiàng)分布中的概率求解，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)計數(shù)原理，所有的取球方法共有種，而三種球各有一個共包含個，故獲獎的概率可求.有3個人參與這個游戲，設(shè)中獎人數(shù)為，則，故的概率可求.【解答】解：設(shè)中獎為事件，則事件包含的基本事件個數(shù)為，所有的基本事件共有個，所以中獎概率為；有3個人參與這個游戲，設(shè)中獎人數(shù)為，則，所以.故答案為：.13.【答案】【解析】【分析】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)以及極值點(diǎn)概念，考查學(xué)生邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中檔題.由且，可求出，由在上恰有兩個極值點(diǎn)可得，解不等式即可.【解答】解：由且，則，得，解得（舍）或，又因?yàn)?，得，由在上恰有兩個極值點(diǎn)，可得，解得，則的取值范圍是.故答案為：.14.【答案】；【解析】解：如圖，設(shè)交于.不妨設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離大于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，且，平面四邊形是平行四邊形，設(shè)，，平面四邊形是菱形，又，，又，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，又易知的最小值為，的最大值為，的最小值為的最大值為，的取值范圍為.故選：A.由可知平面四邊形是平行四邊形，由可知四邊形是菱形且邊長為2，由可知，即可求出相關(guān)的角度和長度，再利用向量極化恒等式，即可求解.本題考查向量數(shù)量積的范圍的求解，向量的線性運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量極化恒等式的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.15.【答案】【解析】解：當(dāng)時，對任意的在上至多2個零點(diǎn)，不合乎題意，所以，.函數(shù)的對稱軸為直線.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.①當(dāng)時，即當(dāng)時，則函數(shù)在上無零點(diǎn)，所以，函數(shù)在上有5個零點(diǎn)，當(dāng)時，，則，由題意可得，解得，此時不存在；②當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，則，則函數(shù)在上只有3個零點(diǎn)，此時，函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)為4，不合題意；③當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有2個零點(diǎn)，則函數(shù)在上有3個零點(diǎn)，則，解得，此時；④當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)在上有1個零點(diǎn)，則函數(shù)在上有4個零點(diǎn)，則，解得，此時，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.分析可知，對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)，然后再確定函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.16.【答案】解：（1）中，面積為，又為鈍角，所以；所以又，所以；所以；所以；由正弦定理得，所以；（2）由題意知，為銳角，所以；所以【解析】本題考查了三角函數(shù)求值運(yùn)算問題，兩角和與差的余弦公式，二倍角公式，，屬于中檔題.（1）根據(jù)的面積公式和余弦定理，即可求得的值，再利用正弦定理求出的值；（2）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角恒等變換，計算即可.17.【答案】解：（1）由已知，有最小正周期為，由，得.對稱中心為；（2）由，得，當(dāng)時，，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減.又.【解析】（1）把已知函數(shù)解析式變形，再由輔助角公式化積，利用周期公式求周期，再由求得值，可得函數(shù)的對稱中心；（2）求出的解析式，得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，則最值可求.本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是中檔題.18.【答案】解：（1）由題意得因?yàn)椋?，所?（2）因?yàn)?而由余弦定理可得，又，所以.所以，所以.【解析】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的運(yùn)用，考查計算能力，屬于較難題.（1）由已知可得，再由得，而，從而可求得結(jié)果；（2）由結(jié)合余弦定理可得，得角的值，從而可得角的范圍，進(jìn)而可求出的取值范圍.19.【答案】解：（1）的導(dǎo)數(shù)為，可得，所以在處的切線方程為即；由，由，可得；由，可得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由已知可得，等價于，可令，記，所以為上的遞增函數(shù)，且，所以，即，所以在上遞減，在上遞增，且，所以的最大整數(shù)解為3；（3）證明：，，若要有極值點(diǎn)，顯然，所以令，可得，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，而要使有兩個零點(diǎn)，要滿足，即可得，因?yàn)椋睿?，即，而，即，由，只需證，令，則，令則，故在上遞增，；故在上遞增，；.【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值?最值，考查構(gòu)造函數(shù)法和分析法，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡運(yùn)算能力，屬于難題.（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域；（2）等價于，可令，求得導(dǎo)數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性可得的單調(diào)性，以及最小值，即可得到所求的最大整數(shù)解；（3）求得的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，由極小值小于0，可得，再由分析法，注意構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，即可得證.20.【答案】解：（1）當(dāng)時，，依題意，，可得，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，此時無極大值；②當(dāng)時，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處取得極大值，符合題意；③當(dāng)時，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處取得極大值，符合題意；④當(dāng)時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時無極大值；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）等價于，可以看作是動